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Revista del programa del matem´aticas (2015) 59-
Soluci ´on aproximada del oscilador arm ´onico simple
utilizando el m´etodo de las diferencias finitas.
Approximate solution of simple harmonic oscillator using the finite
difference method
Cesar MAESTRE^1 (^1) Doc. Facultad de ingenier´ıa, Universidad de la Guajira, Km 5 v´ıa Maicao, Colombia e-mail: cdmaestre@uniguajira.edu.co
Eder ALFARO^2 (^2) Doc. Facultad de ingenier´ıa, Universidad de la Guajira, Km 5 v´ıa Maicao, Colombia e-mail: ealfaro@uniguajira.edu.co
Francisco RACEDO^3 (^3) Doc. Facultad de Ciencias B´asicas, Universidad del Atl´antico, Km 7 Puerto Colombia - Colombia e-mail:fran@mail.uniatlantico.edu.co
Recibido:09/05/2015 - Aceptado:11/06/
Resumen
En el presente estudio se utiliz ´o el m´etodo de las diferencias finitas (MDF) para la descripci ´on matem´atica del movimiento arm ´onico simple de un sistema masa resorte. Este m´etodo consiste en una aproximaci ´on de las derivadas parciales por expresiones algebraicas con los valores de la variable dependiente en un limitado n ´umero de puntos seleccionados. Como resultado de la aproximaci ´on, la ecuaci ´on diferencial parcial que des- cribe el problema es reemplazada por un n ´umero finito de ecuaciones algebraicas, en t´erminos de los valores de la variable dependiente en puntos seleccionados. El valor de los puntos seleccionados se convierte en las inc ´ognitas y de esta forma el sistema de ecuaciones algebraicas puede ser resuelto a trav´es de operaciones aritm´eticas. La soluci ´on de este m´etodo se compar ´o con las resueltas anal´ıticamente.
Palabras claves: MDF, sistema masa resorte, movimiento arm ´onico simple, ecuaciones diferenciales parciales.
Abstract
In the present study used the method of the finite differences for the mathematical description of the simple harmonic movement of system mass spring. The method consists of an approach of the partial derivatives for algebraic expressions with the values of the dependent variable in a limited number of chosen points. As result of the aprroach, the partial differential equation that describes the problem is replaced by a finite number of algebraic equation, in terms of the values of the dependent variable in chosen points. The value of the chosen
points turns into the unknowns and thus the system of algebraic equations can be solved across arithmetical operations. The solution of this method is compared with the ones solves analytically.
Keywords: MDF, mass spring system, simple harmonic motion, partial differential equations.
1. Introducci ´on
El movimiento arm ´onico simple es un fen ´omeno f´ısico de tipo peri ´odico el cual puede ser descrito a trav´es de las ecuaciones diferenciales homog´eneas de segundo orden. A trav´es del presente estudio se pretende re- solver la ecuaci ´on diferencial de segundo orden a trav´es del m´etodo de las diferencias finitas. La aplicaci ´on de este m´etodo se debe a que muchos problemas f´ısicos que nos rodean se comportan regidos por ecuacio- nes diferenciales, de esta forma cuando el fen ´omeno se compone de varios par´ametros independientes, este se puede asociar a una funci ´on de varias variables independientes o a una ecuaci ´on diferencial en derivadas parciales. Cuanto m´as fiel a la realidad se desea que sea la representaci ´on matem´atica que modela el problema f´ısico que se quiere estudiar, m´as complejas se vuelven estas ecuaciones diferenciales, siendo de mayor orden e introduciendo m´as derivadas parciales. [1]
Aunque existen muchos m´etodos para resolver este tipo de ecuaciones, el estudio se enfocara en la aplicaci ´on del m´etodo de las diferencias finitas, esto debido a que aporta una gran versatilidad para dar soluci ´on a las ecuaciones diferenciales.
Partiendo del concepto del oscilador arm ´onico simple, si la fuerza de restituci ´on es directamente proporcional al desplazamiento con respecto al equilibrio, la oscilaci ´on se denomina movimiento arm ´onico simple, que se abrevia M AS. Este fen ´omeno esta descrito en t´erminos de una ecuaci ´on diferencial de segundo orden [2].
d^2 x dt^2 +^ ω
(^2) x = 0 (1)
2. Aspectos te ´oricos del MDF
La aplicaci ´on del m´etodo de las diferencias finitas para la soluci ´on de la ecuaci ´on diferenciales parte con la implementaci ´on de la Expansi ´on en Series de Taylor [3], en donde se plantea lo siguiente:
Sea f (x) una funci ´on definida en (a, b) que tiene hasta la k-´enesima derivada, entonces la expansi ´on de f (x) usando series de Taylor alrededor del punto xi contenido en el intervalo (a, b) ser´a
f (x) = f (xi) + (x^ −1!^ xi)^ dfdx |xi + (x^ −^ xi)
2 2!
d^2 f dx^2 |xi^ +^ · · ·^ +
(x − xi)k k!
dkf dxk^ |^ (2)
Donde = xi + θ(xi) y 0 < θ < 1.
Con base en la ecuaci ´on (2) se pueden encontrar aproximaciones de la primera derivada, cuyas ecuaciones se muestran a continuaci ´on:
f ′(xi) = fi+1 ∆^ −x fi (3)
3. An´alisis y discuai ´on
Con el fin de demostrar la efectividad del m´etodo:
Se considerara un sistema que genera un movimiento arm ´onico simple, cuya ecuaci ´on est´a definida por:
d^2 x dt^2 −^25 x^ = 0
Sujeto a las condiciones de frontera: en x = 0: f (x) = 4 y en x = 0 [5].
La soluci ´on anal´ıtica es la siguiente:
f (x) =^2410 e^5 x^ +^1610 e−^5 x
Aplicando el m´etodo de diferencias finitas, bajo estas condiciones de frontera se obtiene
2 A 0 0 0
B A 0 0
A B A 0
0 A B A
f 2 f 3 f 4 f 5
2 α′∆xA − αB −αA 0 0
Siendo A =
∆x^2
, B =
ω^2 − (^) ∆^2 x 2
, ∆x = 0, 1.
Se tiene que Siendo A = (^0) ,^112 = 100, B = − 25 − (^0) ,^212 = − 225 , α = 4, α′^ = 4, 16876244
f 2 f 3 f 4 f 5
f 2 = 4,91687624; f 3 = 7,06297155; f 4 = 10,9748097; f 5 = 12, 1429455
Los resultados muestran que el m´etodo de diferencias finitas arroja una gran aproximaci ´on al resultado obte- nido de forma anal´ıtica.
Figura 1: Soluci ´on del problema con desratizaci ´on ∆t = 0, 1
En la Figura 1, se aprecia que las funciones generadas por ambos m´etodos toman los mismos puntos en el intervalo de [− 0 , 1 , 0 ,3] para la soluci ´on anal´ıtica y aproximada, la desratizaci ´on que se utiliz ´o es de, ∆t = 0, 1. Si seguimos disminuyendo ∆t obtenemos la mejor aproximaci ´on, esto demuestra que el M DF es muy eficiente y eficaz en la soluci ´on de las ecuaciones diferenciales, las cuales son de gran aplicaci ´on uso en las ciencias e ingenier´ıas.
4. Conclusi ´on
A partir de una compresi ´on apropiada en los conceptos matem´aticos y f´ısicos, se pueden obtener soluciones adecuadas, las cuales son f´acil de comprender y aplicar en problemas de las ciencias aplicadas utilizando las herramientas computacionales, que son necesarias ya que com ´unmente se presentan problemas de ecuaciones diferenciales que no tienen una soluci ´on anal´ıtica, y por el MDF se llega a una muy buena soluci ´on como se pudo demostrar.
Referencias
[1] Juan A. P´erez Ruiz, un m´etodo de diferencias finitas para el an´alisis de la propagaci ´on de ondas, Tesis doctoral (2007) [2] Robert Borrelli. Courtney S. Ecuaciones diferenciales,OXFORD 2002.
[3] Steven C. Chapra, Raymond P. Canal´e- M ´ETODOS NUM ´ERICOS PARA INGENIEROS, 5ta edici ´on, © 2007, McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A.
