Conceptos de Fluidos: Capítulo 1 - Propiedades de Fluidos, Apuntes de Mecánica de Fluidos

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Instituto Tecnol´ogico Superior Zacatecas

Norte

Manual de Clase

Mec´anica de fluidos

Ingenier´ıa Electromec´anica

presenta

D.Sc. Anuar Manuel Badillo Olvera

Rio Grande, Zacatecas 2020

Cap´ıtulo 1

Propiedades de los fluidos

Este capitulo tiene el objetivo de brindar los conocimientos previos en la mec´anica de fluidos previo al an´alisis de la interacci´on del fluido con el movimiento y las fuerzas en el ceno de un fluido. En el capitulo presenta la definici´on de un fluido pasando por sus propiedades b´asicas hasta llegar al concepto de flujo y presi´on.

1.1. Conceptos de fluidos

La mec´anica es la ciencia f´ısica m´as antigua que trata tanto de los cuerpos en reposo as´ı como de aquellos en movimiento bajo la influencia de fuerzas. La rama de la mec´anica que trata los cuerpos en reposo se llama est´atica, y la que trata de los cuerpos en movimiento se llama din´amica. La subcategor´ıa mec´anica de fluidos se define como la ciencia que estudia el comportamiento de los fluidos en reposo (est´atica de fluidos) o en movimiento (din´amica de fluidos), y la interacci´on de ´estos con s´olidos o con otros fluidos en las fronteras. La mec´anica de fluidos tambi´en se menciona como din´amica de fluidos al considerar a los fluidos en reposo como un caso especial con velocidad cero. De acuerdo con el aspecto f´ısico que tiene la naturaleza, la materia se puede clasificar en tres estados: s´olidos, l´ıquidos y gaseosos, de los cuales los dos ´ultimos de conocen como fluidos. Sin embargo, desde el punto de vista de la Mec´anica de Fluidos, la materia s´olo puede presentarse en dos estados: s´olido y fluido. La distinci´on t´ecnica radica en la reacci´on de ambos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un s´olido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformaci´on est´atica; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cu´an peque˜no sea, provocar´a el movimiento del fluido. Este se mueve y se deforma continuamente mientras´

1.4. VOLUMEN ESPEC´IFICO 3

se conoce como densidad relativa y no tiene dimensiones. En algunos textos es tambi´en llamada gravedad especifica y se hace referenciando al peso especifico con el del agua a 4 ◦C con un valor en el Sistema Internacional de Unidades (SI) es 9.80665 [m/s^2 ], y en el Sistema Ingl´es es de 32.174 [f t/s^2 ].

1.4. Volumen espec´ıfico

Otro concepto utilizado es el volumen especifico o volumen ocupado por unidad de masa y rec´ıproco de la densidad, esto es:

v =

V–

m

ρ

donde v es el volumen especifico con dimensiones en el sistema absoluto de [L^3 M −^1 ].

1.4.1. Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.4.1: Serie de ejercicios de densidad y peso especifico

1. Si 6 m^3 de un aceite pesan 47 kN, calcular su peso espec´ıfico γ, densidad ρ y densidad relativa ρr.
2. La densidad del ´acido muri´atico es de 1200 kg/m^3 Calcule su peso especifico y gravedad espec´ıfica.
3. La glicerina tiene una gravedad espec´ıfica de 1.258 ¿Cuanto pesar´ıa 0.5 m^3 de ella?
4. Si un barril de aceite pesa 1.5 kN, calcule el peso espec´ıfico, la densidad y la densidad relativa de este aceite. el barril contiene 0.159 m^3 y el peso propio es de 110 N.
5. El amoniaco l´ıquido tiene una gravedad espec´ıfica de 0.826. Calcule el volumen que tendr´ıa una cantidad que pesara 22. N.

4 CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Figura 1.1: Prefil de velocidades de un fluido

1.5. Viscosidad absoluta y viscosidad cinem´atica

La viscosidad de un fluido es una medida de sus resistencia a fluir, como resultado de la interacci´on y cohesi´on de sus mol´eculas. Si se considera el movimiento de un flujo sobre una frontera s´olida fija, donde las part´ıculas se mueven en l´ıneas rectas paralelas, se puede suponer que el flujo se produce en forma de capas o laminas de espesor diferencial cuyas velocidades var´ıa con la distancia y, normal a dicha frontera (Figura.1.1) Seg´un Newton, el esfuerzo tangencial que se produce entre dos l´aminas separadas por una distancia dy, y que se desplazan con velocidades (v) y [v + (∂v/∂y)dy] se puede estimar mediante la expresi´on:

τ = μ

∂v ∂y

es decir, el esfuerzo tangencial es proporcional al gradiente transversal de velocidades. La constante proporcional μ es una magnitud caracter´ıstica de la velocidad de la viscosidad del fluido y se conoce como viscosidad din´amica. De acuerdo con el perfil de velocidades en la Figura 1.1, el esfuerzo tangencial es mayor entre el fluido cercano a las paredes. Las dimensiones de la viscosidad din´amica, en el sistema absoluto son [M L−^1 T −^1 ]. Una unidad tambi´en utilizada para medir el grado de viscosidad es el poise en honor a Poiseuille. La equivalencia de los posise con el Sistema Internacional de unidades es:

1 poise = 1

gm cm seg

6 CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Ejemplo 1.5.1: Problema de viscosidad

Un aceite, cuya viscosidad es de 0.0303 kg seg/m^2 , fluye dentro de una tuber´ıa cil´ındrica de 0.15 m de di´ametro. La velocidad en todos los puntos de radio r est´a dada por la ecuaci´on v = 6.41(R^2 − r^2 )/μ (m/seg) donde R es el radio de la tuber´ıa en metros. Calcular la intensidad del esfuerzo cortante en los puntos cuyo radio es r = R/2. Resultado: τ = 0.48075 kg/m^2 Soluci´on. Para obtener el esfuerzo cortante

τ = μ

dv dy

Simplificando y sustituyendo en la ecuaci´on de v se tiene:

v = 6.41(0. 0752 − r^2 )/μ = 6.41(0. 005625 − r^2 )/μ

Derivando v con respecto a r se obtiene:

dv dr

μ

d dr

d dr

(r^2 )

μ

d dr

(r^2 )

2 r

=

Sustituyendo dvdr en la ecuaci´on del esfuerzo cortante:

τ = (0.0303)(15.8663) = 0.48075 kg seg/m^2

1.5. VISCOSIDAD ABSOLUTA Y VISCOSIDAD CINEM ATICA´ 7

Ejemplo 1.5.2: Problema de viscosidad

Un cilindro de 0.122 m de radio gira conc´entricamente dentro de otro cilindro fijo de 0.128 m de radio, ambos con 30m de longitud. Determinar la viscosidad del liquido que llena el espacio entre ambos cilindros si se necesita un par motor de 09.09 kgm para mantener la velocidad angular de 60 rpm en el cilindro m´ovil. Soluci´on. El par motor puede ser estimado mediante la ecuaci´on:

Pm = F × r

y la fuerza por medio de la expresi´on

F = τ × AL,

donde AL es el ´area de contacto. Considerando el area del cilindro y sustituyen en la expresi´on del par motor, se obtiene:

Pm = τ × (2π · r · h) × r.

Por medio los datos proporcionados y resolviendo la ecuaci´on para el esfuerzo cortante se obtiene el esfuerzo τ = 3. 21 kg/m^2. Para obtener la viscosidad se utiliza expresi´on:

τ = μ

dv dy

donde la velocidad tangencial es:

v = ωr =

60 × 2 π 60

× 0 .122 = 0. 0767 m/s,

y el dv/dy se estima como:

dv dy

= 128 seg−^1.

Finalmente para calcular la viscosidad:

μ =

τ dv/dr

= 0. 00251 kg seg/m^2

1.5. VISCOSIDAD ABSOLUTA Y VISCOSIDAD CINEM ATICA´ 9

1.5.1. Ejercicios propuestos de viscosidad

Ejercicio 1.5.2: Problemas de viscosidad

1. Una capa de aceite con viscosidad de 1.4 poise y de 0.025 mm de espesor separa dos discos montados coaxialmente, de 0.20 m de di´ametro. Ignorando el efecto de las orillas, calcular el par motor necesario para que un disco gire con velocidad relativa de 400 rpm respecto al otro. Resultado: T = 5.004 kg m.
2. Este ejercicio involucra un cilindro que cae dentro de una tuber´ıa que est´a lleno de aceite, como se muestra en la Figura 1.2. El peque˜no espacio entre el cilindro y la tuber´ıa est´a lubricado con una pel´ıcula de aceite. Suponga que el cilindro es conc´entrico con la tuber´ıa cuando cae. Calcule la velocidad de descenso del cilindro interior del considerando un di´ametro d = 100 mm que se desliza dentro de una tuber´ıa de di´ametro D = 100.5 mm. El cilindro tiene una longitud l = 200 mm y pesa 15 N. El lubricante es SAE Aceite 20W a 10 ◦C con una viscosidad μ = 0.35 N seg/m^2. Respuesta: 0.17 m/s.

Figura 1.2: Ejercicio 3.

3. Considere un disco de Di´ametro D que gira con velocidad angular ω dentro de un contenedor discoidal, de espacio s, lleno de aceite con viscosidad μ, como se muestra en la Figura 1.3. Obtenga una expresi´on para el par de resistencia viscoso que act´ua sobre el disco.

Figura 1.3: Ejercicio 8

10 CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.6. Fluido newtoniano y no newtoniano

Los fluidos newtonianos se comportan de acuerdo con la ley τ = μ(dV /dy), o bien que la tensi´on cortante es proporcional al gradiente de velocidades o velocidad de deformaci´on tangencial. Por tanto, para estos fluidos, la gr´afica de la tensi´on cortante en funci´on del gradiente de velocidades es una linea recta que pasa por el origen. La pendiente de esta recta determina la velocidad.

En un fluido ideal la resistencia a la deformaci´on cortante o tangencial es nula, de aqu´ı que su gr´afica coincida con el eje de las abscisas. Aunque los fluidos ideales no existen, en ciertos an´alisis esta justificada, y es ´util, la hip´otesis de fluido ideal.

Para un s´olido r´ıgido ideal no hay deformaci´on bajo ningun estado de carga, y la gr´afica coincide con el eje y de ordenadas. Los s´olidos reales sufren siempre alguna deformaci´on y, dentro del l´ımite de proporcionalidad (Ley de Hooke), la gr´afica es una linea recta casi vertical.

Los fluidos no newtonianos se deforman de manera que la tensi´on cortante no es proporcional a la velocidad de deformaci´on tangencial, excepto quiz´a a tensiones cortantes muy peque˜nas. La deformaci´on de estos fluidos pudiera clasificarse como pl´astica.

Los materiales pl´asticos ideales pueden soportar cierta cantidad de esfuerzo cortante sin deformarse, y a partir de cierto valor de aqu´el se deforman con una velocidad proporcional a la tensi´on cortante.

Figura 1.4: Tensi´on cortante en funci´on del gradiente de velocidad.

12 CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

1.95 0 20 40 60 80 100

2

2.3 x 10

8

[°C]

[kg/m

2 ]

Figura 1.6: Variaci´on del m´odulo de elasticidad del agua con la temperatura.

La mayor´ıa de los fluidos poseen un m´odulo de elasticidad volum´etrica relativamente grande que depende de la temperatura. Esto significa que ocurren variaciones peque˜nas de volumen o de densidad inclusive para variaciones grandes de presi´on, y salvo en aquellos fen´omenos en que se producen incrementos violentos de presi´on y temperatura (golpe de ariete, flujos a gran velocidad, flujos con transferencia de calor), en los restantes casos no son de importancia. Lo anterior es particularmente cierto en los l´ıquidos porque se consideran incompresibles.

Ejemplo 1.7.1: M´odulo de elasticidad

Encontrar la variaci´on de volumen que experimenta un 1 m^3 de agua a 2◦C cuando se somete a un incremento de presi´on de 20 kg/cm^2. Soluci´on. El m´odulo de elasticidad volum´etrica del agua a 20 circC es Ev = 2. 225 × 104 kg/cm^2 y la variaci´on, por la E.(1.3), resulta:

dV– = −

V– dp Ev

1. 00 × 20

2. 225 × 104

= 0. 000899 m^3

1.7. COMPRESIBILIDAD 13

Ejemplo 1.7.2: M´odulo de elasticidad

Determinar la variaci´on de volumen de 1m^3 de agua a 27◦^ C al aumentar la presi´on en 21 kg/cm^2.

A partir de los siguientes datos experimentales determinar el m´odulo de elasticidad volum´etrico del agua: a 35 kg/cm^2 el volumen es de 30 dm^3 y a 250 kg/cm^2 de 29. 70 dm^3.

Soluci´on: El modulo de elasticidad del agua a 27◦^ C es de 22.90× 103 kg/cm^2 , mediante la Ecuaci´on (1.7):

dV– = −

V– dp E

1 × 21 × 10 − 4

22. 9 × 107

= − 9. 15 × 10 −^4 m^3

La definici´on de la Ec.(1.7) nos indica que debemos considerar el cambio de presi´on y volumen, debido a esto:

E = −

dp dV– /V–

250 − 35 × 10 −^4

29. 70 − 30 × 103 / 30 × 103

= 21. 50 × 107 kg/m^2

1.9. PRESI ON´ 15

Ejercicio 1.8.1: Tensi´on superficial

Un insecto marino (Halobates) Fig. 1.7, tiene una masa de 0.36 g. Si tiene seis patas, determine la longitud de contacto de todas sus patas para soportar su propio peso en la superficie del agua a una temperatura T = 20◦^ C. Tome el valor de la tensi´on superficial como σ = 72.7 mN/m y considere las patas del insecto como peque˜nos cilindros delgados repelidos por el agua. 24. 3 mm

Figura 1.7: Insecto halobates

Un aro tiene un peso de 0.2 N y se encuentra sobre la superficie del agua, para la cual se tiene σ = 73.6 mN/m. Determine la fuerza vertical P necesaria para separar al aro del agua.Este m´etodo es com´unmente utilizado para medir la tensi´on superficial del agua.

Figura 1.8: aro de 0.2 N

1.9. Presi´on

La presi´on se define como una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de ´area. Se habla de presi´on s´olo cuando se trata de un gas o un

16 CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

l´ıquido. La contraparte de la presi´on en los s´olidos es el esfuerzo normal. Puesto que la presi´on se define como fuerza por unidad de ´area, tiene la unidad de newtons por metro cuadrado (N/m^2 ), la cual se llama pascal (Pa); es decir:

P a = 1

N

m^2

La presi´on real que se encuentra en una posici´on dada se llama presi´on absoluta, y se mide en relaci´on con el vac´ıo absoluto (es decir, presi´on cero absoluta). La mayor´ıa de los instrumentos para medir la presi´on se calibran para que den una lectura de cero en la atm´osfera, de modo que indican la diferencia entre la presi´on absoluta y la presi´on atmosf´erica local. Esta diferencia se llama presi´on manom´etrica. Las presiones por abajo de la atmosf´erica se conocen como presiones de vac´ıo y se miden con instrumentos de vac´ıo que indican la diferencia entre la presi´on atmosf´erica y la absoluta. Las presiones absoluta, manom´etrica y de vac´ıo son todas cantidades positivas y est´an interrelacionadas por:

Pman = P abs − Patm (1.8)

Pvac = Patm − Pabs (1.9)

Figura 1.9: Presi´on absoluta, manom´etrica y atmosf´erica.