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Problemas Propuestos y Resueltos

Mec´anica-FI

Kim Hauser Vavra

1

Versi´on Abril, 2010

1 e-mail: kimsanrimpoche@gmail.com

Indice

Pr´ologo

Lo que usted encontrar´a en estas p´aginas es una colecci´on de problemas de F´ısica que

comprenden la utilizaci´on de las herramientas del c´alculo infinitesimal y ´algebra lineal, funda-

mentalmente. La gran mayor´ıa de estos problemas han sido extra´ıdos de evaluaciones del curso

Mec´anica (actualmente, c´odigo FI2001, del 3

o semestre de Ingenier´ıa y Ciencias, Plan com´un,

F.C.F.M., de la Universidad de Chile) en el cual he desarrollado el cargo de Profesor Auxiliar.

Hay dos puntos que representan bien mis intenciones: 1

o

, que mediante la ejercitaci´on con

estos problemas, escogidos con mucha atenci´on, el lector encuentre comprensi´on de las materias

involucradas, y 2

o , que, en la medida de lo posible, ´estos representen la clase de problemas a los

que, como alumno, uno podr´ıa verse enfrentado. As´ı es que el prop´osito es facilitar el estudio de

cualquier estudiante de estas materias, pero este escrito podr´ıa resultar particularmente ´util a

los alumnos de la F.C.F.M. de la U. de Chile.

Este texto cuenta con las soluciones de algunos de los problemas que presenta.

Estas han

sido redactadas por m´ı, algunas veces bas´andome en resoluciones de otras personas (profesores

de c´atedra, auxiliares, etc). Pese a que he buscado ser explicativo, muchas veces, al redactar,

me pareci´o que una lectura liviana y poco profunda por parte del lector no ser´ıa suficiente para

comprender su contenido; creo que es inherente al proceso del aprendizaje la necesidad de una

lectura activa. En particular, si el lector encuentra partes del desarrollo que no comprende o que

no son explicadas con suficiente detalle, ser´a de gran beneficio desentra˜narlas, por su cuenta o

con ayuda.

Los problemas con soluci´on en el texto son menos que los que se dejan propuestos. Esto

responde a mi convicci´on de que una buena forma de aprender a resolver problemas de F´ısica

de este nivel es abordar los problemas, en primera instancia, sin mirar las pautas de soluci´on.

De todas formas, al final se agrega una secci´on de respuestas de los problemas, lo que a veces

ayuda a orientarse. De cualquier manera, recomiendo enf´aticamente resolver o tratar de resolver

por cuenta propia los problemas que tienen pauta antes de mirar la pauta.

En la mayor´ıa de las soluciones, usted encontrar´a zonas de desarrollo algebraico que

expl´ıcita e intencionalmente he dejado como trabajo personal, pues considero que esto es una

forma concreta de no inhibir la ejercitaci´on; no quisiera que el texto se vuelva un compendio

de c´alculos de integrales, derivadas, productos cruz, etc. Busco, m´as bien, mostrar las l´ıneas de

razonamiento que llevan a entender y resolver los problemas.

Con el paso del tiempo, he ido encontrando diversos errores en las respuestas a los proble-

mas y/o en la redacci´on de sus soluciones. He hecho el esfuerzo de corregirlos, pero no tengo du-

das: siempre quedar´an errores escondidos a mis ojos. Usted, probablemente, los encontrar´a antes

que yo.

Buena suerte!!!

1 CINEM

ATICA

1. Cinem´atica

1.1. Problemas

P.1.

Una part´ıcula se mueve con rapidez 푣 0

constante, sobre un riel circular de radio 푅 colocado

en posici´on horizontal sobre una superficie tambi´en horizontal. La part´ıcula se encuentra atada

mediante una cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a una

distancia 푅/2 del centro del riel. Suponga que 푣표 es suficientemente peque˜no para que la cuerda

no se destense.

(a) Determine la rapidez del bloque en funci´on del ´angulo 휃.

(b) Obtenga la rapidez m´axima del bloque.

(c) Determine la aceleraci´on푎⃗ del bloque cuando la part´ıcula que se mueve sobre el riel pasa

por la posici´on 휃 = 0.

g

Fig. P.1.

표

Fig. P.1.

P.1.

Una part´ıcula se mueve por el interior de un tubo de largo 2푅 que gira con una velocidad angular

constante 휔 표

. La part´ıcula inicia su movimiento desde el punto medio del tubo, desplaz´andose

por su interior con una rapidez constante 푣 표

respecto al mismo. Determine:

(a) El radio de curvatura de la trayectoria descrita, en funci´on del tiempo.

1.1 Problemas 1 CINEM ATICA

Fig. P.1.

P.1.

La trayectoria de un punto 푃 , en coordenadas cil´ındricas, se define con:

0

Se sabe que 휃(푡) es una funci´on mon´otona, 휃(0) = 0 y que

휃(0) = 휔 0 y donde ℎ, 퐵 y 휔 0 son

cantidades positivas conocidas.

(a) Obtenga las expresiones para los vectores velocidad y aceleraci´on en este ejemplo.

(b) Obtenga una expresi´on para el vector tangente ˆ푡 y para la rapidez de 푃. Comente sobre

los signos de estas cantidades.

(c) Obtenga expresiones para las aceleraciones centr´ıpeta y tangencial:

푐푒푛푡

푡푔

(d) ¿Cu´al es la funci´on 휃(푡) si se sabe que la aceleraci´on apunta todo el tiempo perpendicular

al eje Z?

P.1.

Una barra r´ıgida de largo 퐿 se mueve apoyada en dos paredes r´ıgidas que forman un ´angulo

recto entre ellas.

Suponga que el ´angulo 휃 = 휃(푡) es una funci´on arbitraria del tiempo.

(a) Determine el vector posici´on푟⃗ (푡), velocidad푣⃗ (푡) y aceleraci´on푎⃗ (푡) del punto medio de la

barra.

(b) El radio de curvatura de una trayectoria se define como 휌 = 푣

3 / ∥푣⃗ ×푎⃗ ∥. Calcule el radio

de curvatura de esta trayectoria. Interprete el resultado y dibuje la trayectoria.

1.1 Problemas 1 CINEM ATICA

(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante 푣표 a partir

del momento en que la barra est´a en la posici´on vertical. Encuentre la funci´on 휃(푡) que da

lugar a ese movimiento.

Fig. P.1.

P.1.

Considere una curva espiral c´onica descrita en coordenadas esf´ericas por las ecuaciones:

o

,

donde 푅 es una constante conocida. Una part´ıcula se mueve sobre la espiral partiendo desde el

origen manteniendo una velocidad radial constante y conocida, ˙푟 = 푐. Se pide:

(a) Determine la distancia radial del punto 푃 en el cual la rapidez de la part´ıcula es 3푐.

(b) Encuentre una expresi´on para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la

part´ıcula tarda en recorrerla. Nota: Est´a bien si deja su soluci´on en t´erminos de una

integral muy complicada.

(c) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto 푃.

Fig. P.1.

표

Fig. P.1.

1.2 Soluciones 1 CINEM ATICA

1.2. Soluciones

S.1.

(a) Dado que estamos describiendo la posici´on de la part´ıcula en coordenadas cil´ındricas, el

vector posici´on es, por definici´on:

푘휃 휌ˆ + ℎ퐴푒

푘휃 ˙ 휃 휌ˆ + 퐴푒

푘휃 ˙ 휃

푘휃 ˙ 휃

푘휃 ˙ 휃(푘 휌ˆ +

No conocemos a´un el valor de

휃, pero sabemos que la rapidez de la part´ıcula vale siempre

표

, esto es: ∣∣

표

푘휃

2

• 1 + ℎ

2 푘

2 = 푣 표

푘휃

=

표

√

2

• 1 + ℎ

2 푘

2

표

√

2

• 1 + ℎ

2 푘

2

(b) Con el resultado anterior, calculamos푎⃗ =

표

√

2

• 1 + ℎ

2 푘

2

2

• 1 + ℎ

2 푘

2

Pero de (∗):

푣표

퐴푒

푘휃

√

푘

2 +1+ℎ

2 푘

2

표

2

푘휃 (푘

2

• 1 + ℎ

2 푘

2 )

(c) Definamos primero, para simplificar la notaci´on, 퐵 ≡ 푣 표

2

• 1 + ℎ

2 푘

2 .

Demostrar que푎⃗ ⊥푣⃗ se puede hacer de dos formas, pero ambas para concluir que푎⃗ 푣⋅⃗ = 0.

La primera, m´as simple, es considerar que푣⃗ ⋅푣⃗ = 푣 표

2

. As´ı:

La otra es calcular directamente푎⃗ ⋅푣⃗ :

3

푘휃

3

푘휃

1.2 Soluciones 1 CINEM ATICA

(d) Por ´ultimo, de (∗∗) tenemos que:

푘휃

푘휃

푑휃 =

Z

Z

푘휃

푑휃 =

Z

푘휃

푡 + 푐 −→ depende de las condiciones iniciales, que no tenemos.

Despejando 휃 y reemplazando el valor de 퐵 obtenemos:

ln

표

2

• 1 + ℎ

2 푘

2

S.1.

(a) El vector posici´on en coordenadas cil´ındricas es푟⃗ = 휌 표

Pero 푧 = ℎ − 퐵휃. As´ı:

표

표

2

휌ˆ + 휌

(b) ˆ푡 =

y ∥푣⃗ ∥ =

q

2

표

2

• 퐵

2

p

2

표

2 .

Como 휃(푡) es mon´otona y en 푡 = 0 [휃 = 0 ∧

휃 > 0] entonces [

휃(푡) > 0, ∀푡]

p

2

표

2

p

2

표

2

p

2

표

2

푘 y 푣 =

p

2

표

2

(c) Como푣⃗ = 푣

푡 (coordenadas intr´ınsecas),푎⃗ = ˙푣

. Ahora, ˙푣 =

p

2

표

2 y

p

2

표

2

표

2

푎푐푒푛푡

p

2

• 퐵

2

푎푡푎푛푔

1.2 Soluciones 1 CINEM ATICA

Este resultado es completo (salvo la resoluci´on de la integral) si se conoce el tiempo 푡 2 en

que la part´ıcula llega a 푃. Como escogimos 푡 1

= 0, entonces:

2

푡 2 Z

푡 1

푟 2 Z

푟 1

El teorema de la funci´on inversa respalda entonces que: 푡 2

푟 2 Z

푟 1

푑푟

푑푡

2 푅

휋 Z

0

2

(c) Para usar la f´ormula del radio de curvatura 휌 푐

3

∥푣⃗ ×푎⃗ ∥

, debemos calcular el vector

aceleraci´on en el punto 푃 , pues la velocidad ya la tenemos. De reemplazar las coordenadas

y sus derivadas en la f´ormula para la aceleraci´on en coordenadas esf´ericas, se obtiene que:

푃

2

2

2

휙, y 푣푃 = 푣∣⃗ (^) 푃 ∣ = 3푐.

Al hacer el producto cruz y calcular la norma se obtiene: ∥푣⃗ (^) 푃 ×푎⃗ (^) 푃 ∥ =

3

. Con esto,

el radio de curvatura en el punto 푃 es:

2 DIN

AMICA

2. Din´amica

2.1. Problemas

P.2.

Para pasar un bulto 푃 de masa 푚 de un lado al otro de un r´ıo de ancho 푅 se utiliza el m´etodo

que sigue. 푃 se ata a una cuerda de largo 푅 que est´a unida al extremo de una vara de largo

푅. La barra se hace girar desde su posici´on horizontal con velocidad angular 휔 0

en torno a una

r´otula que une la orilla del r´ıo con el otro extremo de la vara. Despreciando todo roce:

(a) Demuestre que mientras la carga va por tierra firme la tensi´on de la cuerda es constante.

Determine su valor.

(b) Determine el valor de 휔 0

para que 푃 se despegue del suelo justo antes de llegar al r´ıo.

표

Fig. P.2.

표

Fig. P.2.

P.2.

Una part´ıcula 푃 de masa 푚 se lanza por el interior de un recipiente cil´ındrico con eje vertical,

radio 푅 y altura ℎ. El roce de 푃 con la pared cil´ındrica es despreciable; domina el roce viscoso

퐹푟.푣. = −푣푐⃗ de 푃 con el fluido que llena el recipiente. La part´ıcula es lanzada en contacto con la

superficie cil´ındrica, con velocidad horizontal de magnitud 푣 0

. Determine:

(a) La velocidad vertical 푣 푧

como funci´on del tiempo y la funci´on 푧(푡).

(b) La velocidad angular de 푃 como funci´on del tiempo.

(c) Valor que debe tener el coeficiente 푐 para que 푃 alcance justo a dar una sola vuelta,

suponiendo que el recipiente es infinitamente alto (ℎ → ∞).

2.1 Problemas 2 DIN AMICA

(b) Integrando tal ecuaci´on se obtiene

2

= algo que tiene que ser positivo. Obtenga una

desigualdad para cos 휃. ¿F´ısicamente qu´e ocurrir´ıa si la desigualdad se hiciera igualdad?

(c) Encuentre una expresi´on para la fuerza normal en funci´on de los datos y de 휃(푡). Im-

poniendo que la fuerza normal apunte hacia el centro obtenga una desigualdad para cos 휃.

¿F´ısicamente qu´e podr´ıa ocurrir si la desigualdad se hiciera igualdad?

(d) ¿Para qu´e valor de 휔 0 ambas desigualdades coinciden?

(e) Si el dibujo representa a una part´ıcula que desliza apoyada en el interior de un cilindro

de eje horizontal, ¿bajo qu´e condiciones la part´ıcula oscila respecto al punto m´as bajo sin

despegarse jam´as?

(f) ¿Bajo qu´e condiciones desliza girando en un solo sentido sin despegarse jam´as?

P.2.

Considere una superficie c´onica como la indicada en la figura, que se encuentra en un ambiente

sin gravedad. En un cierto instante se impulsa una part´ıcula de masa 푚 sobre la superficie

interior del cono, con una velocidad inicial 푣 표

en direcci´on perpendicular a su eje. En ese momento

la part´ıcula est´a a una distancia 푟 표

del v´ertice del cono. El roce entre la part´ıcula y la superficie

es despreciable. El ´angulo entre el eje del cono y la generatriz es 훼.

(a) Escriba las ecuaciones de movimiento de la part´ıcula en un sistema de coordenadas que le

parezca adecuado.

(b) Determine la fuerza que la superficie c´onica ejerce sobre la part´ıcula cuando ´esta se ha

alejado hasta una distancia 푟 = 2푟 표

del v´ertice del cono. Determine la rapidez de la

part´ıcula en ese momento.

표

표

Fig. P.2.

푒

푑

0

Fig. P.2.

2.1 Problemas 2 DIN AMICA

P.2.

Considere un sistema compuesto por un resorte y una masa que se encuentran al borde de una

piscina muy profunda, como se indica en la figura. El resorte es de largo natural 푙 0

y constante

el´astica 푘. A ´este se fija una pared m´ovil de masa despreciable. El sistema se prepara de tal modo

que la part´ıcula puntual de masa 푚 se coloca junto a esta pared en su posici´on de compresi´on

m´axima, es decir en 푥 = −푙 0

, seg´un el sistema de coordenadas que se muestra en la figura, y se

suelta desde el reposo. Se pide:

(a) ¿Cu´al es la condici´on que asegura que la masa 푚 se mover´a desde 푥 = −푙 0

(b) Encuentre el valor m´aximo de 휇 푑

que permita a la masa llegar al borde de la piscina

(푥 = 0) con velocidad no nula. Entregue el valor de esta velocidad no nula.

(c) Considere que la masa entra a la piscina inmediatamente cuando 푥 > 0. Una vez que entra,

la masa experimenta una fuerza de roce viscoso lineal, de constante 훾. Suponga adem´as

que no hay fuerza de empuje (la masa es puntual). Determine entonces el alcance m´aximo

que alcanzar´a la masa y su velocidad l´ımite.

P.2.

Una part´ıcula de masa 푚 est´a ubicada sobre la superficie de una esfera de radio 푅, en presencia

de gravedad. En el instante inicial, se lanza la part´ıcula con una velocidad horizontal푣 ⃗ 0

0

tangente a la superficie, y con un ´angulo 휃(푡 = 0) = 휋/3.

(a) Encuentre la velocidad y aceleraci´on de la part´ıcula en funci´on de 휃.

(b) Determine el valor del ´angulo 휃

∗

en que la part´ıcula se despega de la superficie.

0

Fig. P.2.

2.1 Problemas 2 DIN AMICA

P.2.

Una part´ıcula 푃 de masa 푚 puede moverse solo por un riel horizontal circunferencial de radio

푅, en ausencia de gravedad.

El ´unico tipo de roce que hay es roce viscoso lineal,

푟.푣.

(a) Determine el valor que debe tener 푣 0 para que 푃 se detenga justo cuando ha avanzado

media vuelta.

z

y

x

Fig. P.2.

Fig. P.2.

P.2.

Considere una bolita de masa 푚 ensartada en una barra de manera que puede deslizar sin roce

por ella. La masa est´a atada mediante un resorte, de constante el´astica 푘 y largo natural 푙표, a un

extremo de la barra, y esta ´ultima, a su vez, gira c/r al mismo extremo en un plano horizontal

con velocidad angular 휔 constante. En 푡 = 0 la bolita se suelta con el resorte comprimido en

표

/2 y ˙휌(0) = 0:

(a) ¿Qu´e relaci´on deben cumplir 푚, 푘 y 휔 para que la bolita realice un movimiento arm´onico

simple a lo largo de la barra?

(b) Determine la compresi´on del resorte como funci´on del tiempo.

P.2.

Un bloque 퐵 de masa 푚 est´a apoyado en una superficie plana con la cual tiene coeficientes de

roce est´atico y din´amico 휇 푒

y 휇 푑

. El bloque est´a adem´as unido a un resorte (constante el´astica

푘 y largo natural 푙 표

) cuyo otro extremo est´a fijo a la superficie (figura). Inicialmente el resorte

est´a con su largo natural. La superficie se v´a inclinando muy lentamente a partir de la posici´on

horizontal (훼 = 0). Siempre es cierto que 휇푒 > 휇푑.

(a) ¿Cu´al es el ´angulo m´aximo 훼∗ antes que 퐵 deslice?

2.1 Problemas 2 DIN AMICA

(b) Suponiendo que cuando 훼 = 훼∗, se deja de mover la superficie plana y el bloque comienza

a deslizar, determine el m´aximo estiramiento del resorte y determine la m´axima rapidez

que alcanza 퐵 durante el movimiento.

(c) Determine si, una vez alcanzado el estiramiento m´aximo, 퐵 permanece en reposo o si se

debiera satisfacer una condici´on especial para que eso ocurra.

Fig. P.2.11 Fig P.2.

P.2.

Un anillo de masa 푚 desciende, debido a su propio peso, por un alambre de forma helicoidal de

radio 푅 표

y paso tal que 푧 = ℎ − 휙푅 1

. No hay roce anillo-alambre, pero s´ı hay roce viscoso: el

anillo es frenado por un roce viscoso lineal

푟푣푙

La condici´on inicial es 휙(0) = 0, 푧(0) = ℎ y

휙(0) = 0 y la aceleraci´on de gravedad es 푔.

(a) Obtenga el vector unitario tangente ˆ푡 de la trayectoria y la expresi´on m´as general posible

para la fuerza normal

(b) Descomponga la ecuaci´on (vectorial) de movimiento en ecuaciones escalares.

(c) De las ecuaciones anteriores obtenga la forma expl´ıcita de 휔(푡) =

휙(푡) en funci´on de los

datos: 푚, 푅 표

1

, 푐 y 푔.

P.2.

Una part´ıcula de masa 푚 est´a atada a 2 cuerdas independientes de igual largo, cuyos otros

extremos est´an fijos a los puntos 퐴 y 퐵, separados entre s´ı una distancia 퐻 (ver figura). La

part´ıcula rota en torno al eje vertical 퐴퐵, manteni´endose en el plano horizontal ubicado a media

distancia entre ambos puntos.

(a) Determine el m´ınimo valor de la velocidad angular 휔 que le permite a la part´ıcula mantener

un movimiento circular uniforme con ambas cuerdas tensas (Datos: 푚, 푔, 퐻).