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Fuerza de gravedad.
Campo gravitatorio
(2019 – 2013)
Problemas resueltos
(Oviedo. 2018-2019/ 4.1)
Una satélite para observar el clima se encuentra a una distancia de 705 km sobre la superficie de la Tierra
describiendo una órbita circular. Calcule:
a) A qué velocidad se desplazará el satélite.
b) A qué distancia sobre la superficie de la Tierra deberá de situarse para fuera un satélite
geoestacionario.
DATOS: G= 6,67 10 -11^ N m^2 /kg^2 ; RT= 6370 km; MT= 5,98 10^24 kg.
Solución:
a) Teniendo en cuenta la condición para que un objeto describa una circunferencia (FN= m an), y
sabiendo que la fuerza centrípeta es la de gravedad y el valor de la aceleración normal en un
movimiento circular, se llega fácilmente a la expresión que nos da la velocidad orbital:
b) Para que la órbita sea geoestacionaria el periodo orbital deberá de ser igual al de rotación del
planeta. Para la Tierra Trot= 24 h = 8,64 10
4 s:
RT
r
h = r- RT
N n
m F m a ; G 2
M
r
m
2 v
r
o
G M
; v r
2 11
o
N m 6,67 10 G M v r
2 kg
24 5,98 10 kg
6 7,075 10 m
m km km 7509 7,51 27 036 s s h
2 2 3
2 11 24 (^2 ) 2 4 2 7 3 2 3 2
T r G M
N m 6,6710 5,98 10 kg G M (^) kg r T 8,6410 s 4,23 10 m 4 4
^
^ ^
7 6 7 h r RT 4,23 10 6,37 10 m 3,59 10 m
r R T h (6370 705)km 7075 km
(Oviedo. 2018-2019/ 3.1)
Se envía a Marte en un cohete un vehículo explorador cuyo peso en la Tierra es de 6860 N. Calcule:
a) La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte.
b) El peso del vehículo en la superficie de Marte.
DATOS: G= 6,67 10 -11^ N m^2 /kg^2 ; RT= 6370 km; MT= 5,98 10^24 kg; RM= 3400 km; MM= 6,42 10^23 kg.
Solución:
a) El valor de la aceleración de la gravedad en un planeta depende de la masa y radio del planeta y se
puede calcular a partir de:
Para Marte:
b) El peso de un objeto (fuerza con que es atraído por el planeta) se calcula multiplicando su masa por
el valor de la aceleración de la gravedad:
Para Marte: PM = m gM
Para la Tierra: PT = m gT
Calculamos la gravedad en la Tierra:
(Oviedo. 2018-2019/ 2.1)
En el año 2019 una astronauta que forma parte de una misión espacial internacional llega a un planeta
esférico en una lejana galaxia. Una vez en la superficie del planeta, la astronauta observa que al dejar caer
una pequeña roca desde una altura de 1,90 m llega al suelo con una velocidad de 8 m/s. Si el radio del
planeta es 8,60 10^7 m, calcule:
a) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.
b) La velocidad de escape del planeta.
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2
Solución:
a) El valor de la aceleración de la gravedad se puede calcular considerando las ecuaciones del MRUA:
s s o v t 0
2
0
g t 2
v v
2 2 2 2
m 8 1 v v s g ; g 2 g 2 s g t
^
^ ^
^
2 s
2 .1,90 m
2
m 16, s
b) La velocidad de escape del planeta vendrá dada por:
Considerando la expresión que nos da la gravedad en un planeta:
Combinando ambas expresiones
2
M
g G R
2 M 11 M (^2) M
M (^) N m g G 6,67 10 R
2 kg
23 6,42 10 kg
6 2 2 (3,4 10 ) m
2
m 3, s
M M M T T T
P m g m ; P P P m g
gM
m
M T T T
g P g g
2 11 T (^2) T
MT N m g G 6,67 10 R
2 kg
24 5,98 10 kg
6 2 2 (6,37 10 ) m
2
m 9, s
2 M M T T
m 3, g (^) s P P 6860 N g
2
m 9, s
2582 N
e
2 G M
v R
2
e
2 G M 2 g R v R
R
7 2
m m m km 2 .16,8 8,60 .10 m 53 755 53,8 193 680 s s s h
2 2
M
g G ;G M g R R
(Oviedo. 2017-2018/ 4.1)
Un satélite artificial de comunicaciones, de 500 kg de masa, describe una órbita circular de 9000 km de
radio en torno a la Tierra.:
a) Calcule su energía en esta órbita.
b) En un momento dado, se decide variar el radio de la órbita, para lo cual se enciende uno de los
cohetes propulsores del satélite, comunicándole un impulso tangente a su trayectoria antigua. Si el
radio de la nueva órbita descrita por el satélite, en torno a la Tierra, es de 13 000 km, calcule el
trabajo de los motores en el proceso.
c) Determine el periodo de la nueva órbita.
DATOS: RT= 6380 km; g 0 = 9,8 m/s
2 .
Solución:
a) La energía total para una órbita circular es:
T Tot
1 1 G M m E Ep 2 2 r
El valor de la gravedad en la superficie de la Tierra (g 0 ):
T^2 0 2 T 0 T T
M
g G ; G M g R R
Combinando ambas expresiones obtenemos:
T
2 0 Tot
m 9, 1 1 g^ R^ m 1 E Ep 2 2 r 2
6 2 2 2
6
(6,38 .10 ) m 500 kg s
9 10 m
10 1,11.10 J
b) La energía para la nueva órbita será:
Por tanto los motores deberán de suministrar la diferencia de energía entre ambas órbitas:
c) Según la tercera ley de Kepler:
2 2 3 3
3 3 7 3 3
2 0 T
T k r r G M
r r (1,3 .10 ) m T 2 2 2 G M g R
m 9,
6 2 2 2 (6,38 .10 ) m s
14 746 s 4 h 5 min 46 s
T
2 0 2 2 2
m 9, 1 1 g^ R^ m 1 E Ep 2 2 r 2
6 2 2 2
7
(6,38 .10 ) m 500 kg s
1,3 10 m
9 7,67 .10 J
9 10 9 Ep Ep 2 Ep 1 ( 7,67 .10 1 ,11.10 ) J 3,43 .10 J
(Oviedo. 2017-2018/ 3.1)
Un satélite gira en órbita circular alrededor de la Tierra a 3000 km de distancia de su centro. Si hubiese otra
satélite girando también en órbita circular, con la mitad de velocidad que el anterior pero alrededor de
Plutón:
a) ¿A qué distancia del centro de Plutón estaría situado?
b) ¿Cuál sería la relación entre los periodos de ambos satélites?
DATOS: La masa de Plutón es aproximadamente el 2% de la masa de la Tierra.
Solución:
a) Para un objeto que describa una trayectoria circular debe de cumplirse:
Planteando las velocidades orbitales para la Tierra y Plutón:
Teniendo en cuenta la relación entre las velocidades y las masas:
b) Si suponemos órbitas circulares podemos relacionar velocidad orbital con periodo según:
Aplicando la ecuación a Plutón y la Tierra y teniendo en cuenta la relación entre las velocidades
orbitales y los radios, tendremos:
N n
m F m a ; G 2
M
r
m
2 v
r
G M
; v r
T (^) T T T (^) T T T P
P P^ P P^ T P P P
G M G M
v r (^) v r M r
G M v^ G M M^ r v r r
^
T T^ P^ T
P P T
v M r^ v ; v M r
v T
M T
P
T
r
0,02 M
P
T T
P T
r ; 2 r 0,02 r
r 0,08 r 0,08 .3000 km 2400 km
v r r T
T T T (^) T T P
P P P T P P
P T P T
T P T
r v 2 T (^) v r T
r v r T v 2 T
T v r v
T v r
0,08 rT
v T r T 2
0,16 ; T P 0,16 TT
(Oviedo. 2017-2018/ 1.1)
El planeta Marte dista del Sol 2,28 10
11 m, mientras que la Tierra dista 1,5 10
11 m. Considerando para ambos
planetas órbitas circulares:
a) ¿Cuántos años terrestres transcurren en un periodo orbital de Marte?
b) Determine la masa del Sol.
DATOS: 1 año terrestre= 365,25 días, G= 6,67 10
2 /kg
2
Solución:
a) Según la tercera ley de Kepler la relación entre periodo orbital y distancia (media) al Sol viene
dada por:
Como en este caso el astro central (Sol) es el mismo para ambos planetas la constante será la
misma, por tanto:
Si consideramos un año terrestre (365,25 días), el año marciano (una vuelta alrededor del Sol)
serán: 683 días terrestres.
b) Partiendo de la tercera ley de Kepler y teniendo en cuenta que la masa que aparece en la
constante es la del astro central, Sol en este caso:
(Oviedo. 2016-2017/ 4.1)
El planeta X tiene el mismo radio que la Tierra pero su densidad es el doble de la terrestre.
a) ¿Qué valor tendrá la intensidad del campo gravitatorio en su superficie (gX0)?
b) ¿A qué altura el valor de gX será el mismo que en la superficie terrestre?
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2 ; RT= 6370 km; MT= 5,98 10
24 kg; g 0 = 9,8 m/s
2 .
Solución:
a) Teniendo en cuenta que: d = m/V, y considerando que los planetas son esféricos, al tener
idéntico radio tendrán el mismo volumen, de lo que se deduce que la masa del planeta X deberá
de ser doble que la Tierra por tener doble densidad.
El valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta es:
b)
2 3 T k r
T (^) T
(^2 3 2 ) T (^) T
2 3 2 3 M M M^ M
T k r T (^) r
T k r T^ r
3 3 11 3 T T M 3 M M
r^ 1,5 .10^ m T T T r
11 3 3 (2,28 .10 ) m
M
M T
0,534 T
T 1,87 T
2 2 3 3
3 11 3 3 2 2 30 2 2 11 7 2 2 2
T k r r G M
r (1,5 .10 ) m M 4 4 2,00.10 kg G T N m 6,67 .10 (3,16 .10 ) s kg
2
M
g G R
Por tanto, al tener el mismo radio y doble masa: g0X=2 g0.
T X 0 2 x x^0
2 11
x
2 M 2 G M
g g G ; R h R h g
N m 2 .6,67 10
R h
2 kg
24 5,98 .10 kg
m 9, 2
9 022 195 m 9022 km
s
h (9022 6370) km 2652 km
(Oviedo. 2016-2017/ 3.1)
Un minisatélite artificial de 310 kg utilizado para aplicaciones de observación de la Tierra con alta
resolución, gira en una órbita circular de 600 km de altura sobre la superficie terrestre.
Calcule:
a) Velocidad de la órbita y periodo orbital.
b) Energía potencial y energía mecánica del mismo.
c) Energía necesaria para que partiendo de esa órbita se coloque en otra órbita circular a una
altura de 1000 km.
DATOS: G= 6,67 10-11^ Nm^2 /kg^2 ; RT= 6370 km; MT= 5,98 10^24 kg
Solución:
a) Teniendo en cuenta la condición para que un objeto describa una circunferencia (FN= m an), y
sabiendo que la fuerza centrípeta es la de gravedad y el valor de la aceleración normal en un
movimiento circular, se llega fácilmente a la expresión que nos da la velocidad orbital:
Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler:
b) La energía potencial:
Para una órbita circular la energía mecánica (suma de cinética y potencial) es la mitad de la
potencial:
c) La energía total para una órbita situada a 1000 km de altura será:
Por tanto para cambiar de órbita habrá que suministrar la diferencia de energía entre ambas:
2 11 N m 6,67 10 G M v r
2 kg
24 5,98 10 kg
6 6,970 10 m
m km km 7565 7,57 27 252 s s h
N n
m F m a ; G 2
M
r
m
2 v
r
G M
; v r
R
r
h = r- RT
2 2 3 3
3 6 3 3
T k r r G M
r (6,97 .10 ) m T 2 2 G M
2 11 N m 6,67 10
2 kg
24 5,98 .10 kg
5789 s 1h 36 min 29 s
10 9 Tot
E Ep 1 ,77 10 J 8,85 10 J 2 2
2 MT m 11 N m Ep G 6,67 10 r
kg
2
24 5,98 10 kg 310 kg
6 6,97 10 m
10 1,77 10 J
2 11
T Tot
N m 6,67 10
1 1 G M m 1 E Ep 2 2 r 2
2 kg
24 5,98 10 kg 310 kg
6 7,37 10 m
9 8,39 10 J
9 9 8 E E 2 E 1 8,39 10 8,85 10 J 4,60 10 J
(Oviedo. 2016-2017/ 1.1)
El planeta Tierra tiene 6370 km de radio y la aceleración de la gravedad en su superficie es 9,8 m/s
Calcule:
a) La densidad media del planeta.
b) La velocidad de escape desde su superficie.
DATOS: Volumen de la esfera:
V r 3
, G= 6,67 10 -11^ N m^2 /kg^2
Solución:
a) El valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es:
Por tanto:
b) La velocidad de escape de un planeta viene dada por:
Considerando el campo gravitatorio en la superficie de la Tierra:
Combinando ambas expresiones:
(Oviedo. 2015-2016/ 8.1)
Calcula la distancia Tierra-Luna, con el dato que la Luna tarda 28 días en su órbita circular alrededor de la
Tierra. Calcule:
DATOS: RT= 6370 km, g 0 = 9,8 m/s
2 .
Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler y el valor del campo gravitatorio en la superficie de la
Tierra
T (^0 ) T
M
g G R
2 T T 0
R
M g G
2 T 0 T 0 T T 3 T
R (^) m g 9, M (^) G 3 g 3 d V 4 4 G R 4 r 3
2
2 11 6 2
s
N m 6,67 .10 6,370 .10 m kg
3 3 3
kg g 5,51 .10 5, m cm
e
2 G M
v R
2 T 0 T e T
2 G M^ 2 g^ R v R
R
6 2 T
m m km km 2 .9,8 6,37 .10 m 11 173 11,2 40 320 s s s h
T 2 0 2 T 0 T T
M
g G ;G M g R R
T^2 0 2 T 0 T 2 2 2 T (^2 3 0) T 3 2 2 2 2 3 0 T
T
M
g G ;G M g R R (^4) g R T T r ; r 4 g R^4 T r GM
^
^
(^2 2 ) 3 0 T 2
m 9, g R T (^) s r 4
2 6 2 6 2 2 6,370 .10 m (2,42 .10 ) s (^3 8 )
2
3,90 .10 m 3,90 .10 km 4
(Oviedo. 2015-2016/ 7.1)
Un satélite de masa m=250 kg describe una órbita circular sobre el Ecuador de la Tierra, a una distancia tal
que su periodo orbital coincide con el de rotación de la Tierra (satélite geoestacionario). Calcula:
a) La altura a la que se encuentra el satélite respecto a la superficie terrestre.
b) La energía mínima necesaria para situarlo en dicha órbita.
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2 ; RT= 6,40 10
6 m; MT= 5,97 10
24 kg
Solución:
a) Usamos la tercera ley de Kepler, teniendo en cuenta que al astro central es la Tierra y que el
periodo orbital para un satélite geoestacionario ha de ser igual al de rotación del planeta
(Tierra). Esto es: 24 h= 86 400 s:
b) La energía total de la órbita, considerada como circular, es igual a la mitad de su energía
potencial:
(Oviedo. 2015-2016/ 6.2)
Si la masa del Sol es aproximadamente 2.
30 kg y el radio que describe la Tierra en su movimiento
(supuesto circular) alrededor del Sol es 1,5.10^8 km, deduce el periodo de traslación de la Tierra alrededor
del Sol. Expresa el resultado en el S.I y en días.
DATOS: G= 6,67 10-11^ Nm^2 /kg^2
Solución:
Usamos la tercera ley de Kepler, teniendo en cuenta que al astro central es el Sol:
(Oviedo. 2015-2016/ 5.1)
La masa del planeta Júpiter es, aproximadamente, 318 veces la de la Tierra, y su diámetro es 11 veces
mayor. Con estos datos calcula el peso que tendrá en Júpiter una astronauta cuyo peso en la Tierra sea de
750 N
Solución:
Teniendo en cuenta la expresión que nos da el valor de la aceleración de la gravedad :
2 2 (^2 3 3) T 2 T
2 11 24 4 2 2
3 2 7 2
4 G M T
T r ; r GM 4
N m 6,67 .10 5,97 .10 kg (8,64 .10 ) s kg r 4,22 .10 m 42 200 km 4
2 11
T Tot
N m 6,67 10
1 1 G M^ m 1 E Ep 2 2 r 2
2 kg
24 5,98 10 kg 250 kg
7 4,22 10 m
12 1,18 10 J
2 2 2 3 11 3 3 7 2 11 30 2
T r ; T (1,5 .10 ) m 3,16 .10 s 366 días GM N m 6,67 .10 2,0 .10 kg kg
^
2
M
g G R
T T (^) T
J J J
P m g (^) P m
P m g P
g T
m
J J T T J T
G
g ; P P P g g
J 2 J
M
R
G
2 J T T 2 T (^) T J 2 T
M R^ 318 M
M M R
R
2 RT
M T
2 2 5,5 R (^) T
10,5 ; PJ 10,5 PT
(Oviedo. 2014-2015/ 8.2)
Calcula razonadamente el valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta cuya
masa es 3 veces la masa de la Tierra y su radio 2 veces el radio terrestre.
DATOS: Intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra: g 0 = 9,8 m/s
2
Solución:
El valor de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta viene dado por:
Aplicándolo a la Tierra y al planeta considerado:
(Oviedo. 2014-2015/ 7.1)
Determina a qué altura sobre la superficie de la Tierra la intensidad del campo gravitatorio es un 25% de su
valor sobre la superficie terrestre.
DATOS: g 0 = 9,8 m/s^2 ; RT= 6370 km; MT= 5,97 10^24 kg
Solución:
Teniendo en cuenta el valor de la intensidad del campo gravitatorio en le superficie de la Tierra:
A una altura h sobre su superficie valdría:
Combinando ambas:
(Oviedo. 2014-2015/ 5.1)
La aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es 3,7 m/s^2. Si el radio de la Tierra es de 6370 km y
la masa de Marte 0,11 veces la de la Tierra, calcula:
a) El radio de Marte.
b) La velocidad de escape desde la superficie de Marte.
c) El peso en dicha superficie de un astronauta de 70 kg de masa.
DATOS: g 0 = 9,8 m/s
2
Solución:
a)
2
M
g G R
T T (^2 ) T (^) T T P T 2 P P P T P (^2) P
M
g G R (^) g M R M
M g M R g G R
^
2 4 RT
3 M T
2 RT
P T 2 2
4 3 3 m m ; g g 9,8 7, 3 4 4 s s
T (^0 ) T
M
g G R
T 0 2 T
M g g G (R h) 4
T (^2 ) T (^) T T 0 0 2 T 0 T T^0 (^0 ) T
T T T
M
g G (R h) (^) g R (R h) g g ; 2 M g (R h) R g g g G R^4
R h 2 R ; h R 6370 km
^ ^ ^
T (^0 2 ) T (^0) T M T 2 M M M T M (^2) M
M
g G R (^) g M R M
M g M R g G R
^
2 M
T
R
0,11M
2 0 2 M^ T T M
m 9, g (^) s ; R R 0,11 6370 km 0, R g
2
m 3, s
3438 km
b)
c) (^) M 2
m P m g 70 kg 3,7 259 N s
(Oviedo. 2014-2015/ 4.1)
Determina a qué altura sobre la superficie de la Tierra la aceleración gravitatoria se reduce a la mitad sobre
la superficie terrestre.
DATOS: g 0 = 9,8 N/kg; RT= 6370 km.
Solución:
Teniendo en cuenta el valor de la intensidad del campo gravitatorio en le superficie de la Tierra:
Combinando ambas:
(Oviedo. 2014-2015/ 3.1)
Dos chicas trabajan pilotando cohetes espaciales. Carmen es la capitana de un cohete que describe una
órbita circular alrededor de la Tierra y tarda 1 h y 30 min en dar una vuelta completa alrededor de la misma.
María pilota otro cohete que también describe una órbita circular alrededor de la Tierra, pero que tarda 1 h
en dar una vuelta alrededor de esta.
Blanca trabaja en el centro de control y quiere determinar la distancia mínima a la que están separadas las
naves de Carmen y María cuando están alineadas y se da cuenta que coincide con la diferencia de radios
de las dos órbitas. ¿Cuál es el valor de la distancia mínima a la que están separadas ambas naves cuando
están alineadas?
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2 ; MT= 5,98 10
24 kg
Solución:
M
M e e(M) 2 M M e(M)
M^2 M 2 M M M M
2 G M 2 G M
v ; v r R 2 g^ R v G M g ; G M g R R
R M
M M
6 e(M) M M 2
2 g R
m m km km v 2 g R 2 .3,7 3, 44 10 m 5045 5,1 18 360 s s s h
T (^0 ) T
M
g G R
T 0 2 T
M g g G (R h) 2
T (^2 ) T (^) T T 0 0 2 T 0 T T^0 0 2 T
T T T
M
g G (R h) (^) g R (R h) g g ; 2 M g (R h) R g g g G R^2
R h 2 R ; h ( 2 1) R ( 2 1) 6370 km 2639 km
^ ^ ^
C M C M C M
2 (^2 3 )
2 2 3 3 3 3 2 3 2 T 3 2 3 2 3 m C M (^2)
2 11 2
m
T
T k r ; r k
T T 1 GM
d r r T T T T k k k 4
N m 6,67. kg d
24 5,98 / 9 .10 kg
3 2 2 3 2 2 3 2 5400 s^ 3600 s^ 1575 974 m^ 1576 km 4
A una altura h sobre su superficie valdría:
b) El valor de la gravedad a una altura h = 2 RT será:
Comparando los pesos en la superficie de la Tierra y en la órbita:
Oviedo. 2013-2014/ 5.1)
Un satélite tiene una masa m= 500 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de 2,
10
4 km de la superficie terrestre. Determina:
a) Las energías potencial y cinética del satélite en su órbita.
b) El periodo del movimiento orbital.
c) La energía mínima para ponerlo en órbita y la velocidad de escape de la misma.
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2 ; RT= 6,38 10
6 m; MT= 5,97 10
24 kg
Solución:
a) Para una órbita circular la energía cinética es igual a la mitad del valor absoluto de la energía
potencial:
b)
c) La energía para ponerlo en órbita (sin considerar pérdidas debido al rozamiento con la atmósfera)
vendrá dada por la energía total de la órbita, que si se considera circular será la mitad de la energía
potencial, menos la energía potencial que tiene en la superficie de la Tierra.
Energía total en la órbita:
Energía potencial en la superficie de la Tierra:
Diferencia de energía (energía necesaria para ponerlo en la órbita):
Velocidad de escape:
2 T T^11 2 2 T T
M M N m g G G 6,67. (R h) (3 R )
(^) kg^2
24 5,98 .10 kg
6 2 2 3 .6,370 .10 m
2
m 2, s
2 h (^) h h 0 0 0 0 0 0
m 2, P m g (^) P g g (^) s ; P P 5000 N P m g P g g
^ ^
2
m 9, s
1255 N
2 MT m (^11) N m Ep G 6,67 10 r
kg
2
24 5,97 10 kg 500 kg
7 2,96 10 m
9 6,73 10 J
Ec Ep 6,73 .10 J 3,37 .10 J 2 2
2 2 2 3 7 3 3 2 T^11 2
T r ; T (2,96 .10 ) m 50 707 s 1 4 h 5min 7 s GM N m 6,67 .10 5,97 .10 kg kg
^
^
9 2 Tot
E E Ep Ec Ep ( 6,73 .109)J 3,37.10 J 2 2
2 T^11 1
M m N m E Ep G 6,67 10 r
kg
2
24 5,97 10 kg 500 kg
6 6,38 10 m
10 3,12 10 J
9 10 10 E E 2 E 1 3,37 10 3,12 10 J 2,78 10 J
2 11 2
e
N m 2 .6,67. 2 G M kg v r
24 5,97 .10 kg
7
m km km 5187 5,19 18 684 2,96 .10 m s s h
6 7 7 r RT h 6,38 .10 2,32 .10 m 2,96 .10 m
6 7 7 r RT h 6,38 .10 2,32 .10 m 2,96 .10 m
Oviedo. 2013-2014/ 4.1)
Con ayuda de los datos que se facilitan determina el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie
de la Luna, a partir del valor de la misma en la superficie terrestre.
DATOS: ML= 0,012 MT ; RL= 0,27 RT; aceleración gravedad en la superficie de la Tierra:g 0 =9,8 m/s
2
Solución:
(Oviedo. 2013-2014/ 3.1)
Un cohete de 3500 kg de masa despega de la superficie de la Tierra con una velocidad de 25 km/s.
a) Calcula la energía mecánica total considerando que la energía potencial es cero a distancias muy
largas y despreciando la fuerza de rozamiento debida a la atmósfera.
b) Determina si el cohete escapará de la atracción gravitatoria terrestre y, en caso afirmativo, calcula la
velocidad que tendrá el cohete cuando se encuentre muy lejos de la Tierra.
DATOS: g 0 =9,8 m/s^2 ; RT= 6370 km
Solución:
a) La energía mecánica será la suma de cinética más la potencial en la superficie de la Tierra:
b) Para que el cohete escape de la atracción gravitatoria terrestre habrá que comunicarle como mínimo
la velocidad de escape dada por:
Como se le comunica una velocidad de 25 km/s, dicha velocidad será suficiente para que
escape de la atracción gravitatoria de la Tierra y cuando esto suceda (Ep=0), tendrá una
velocidad que se puede calcular a partir de:
T 2 T (^0) T
T^2 0 2 T 0 T T
M m Ep G R (^) g R Ep M g G ; GM g R R
T
m
R
0 T
6 11 2
m g R
m Ep 3500 kg 9,8 6,38 10 m 2,2 10 J s
2 2 4 2 12 c (^) s
1 1 m E m v 3500 kg (2,5 .10 ) 1,1.10 J 2 2 s
12 11 11 E 1 E (^) c Ep 1,1.10 2,2 .10 J 8,8 .10 J
6 e 0 T 2
2 G M m m km km v 2 g R 2 .9,8 6,38 .10 m 11182 11,2 40 320 r s s s h
1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1
11 (^2 ) 1
Ec Ep Ec Ep ; Ec Ec Ep Ep Ec Ep 0 E
1 2 E 2. 8,8 .10 J m km m v E ; v 22 424 22, 2 m 3500 kg s s
T (^0 2 ) T (^) L L T T 2 L 0 T L L 2 L
M
g G R (^) g M R 0,012 M
M g M R g G R
^
2 RT
M T
2 2 0,27 RT
L (^0 2 2 )
0,012 m m ; g g 9,8 0,162 1, 0,27 s s
Oviedo. 2012-2013/ 7.1)
Considera la Tierra y la Luna como esferas de radio RT= 6,4 10
6 m y RL= 1,7 10
6 m, respectivamente y que
la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna sea d=3,8 10^8 m.
a) Compara en este caso el valor de la intensidad del campo gravitatorio creado por la Luna en un
punto P de la superficie lunar con el valor del campo gravitatorio creado por la Tierra en ese mismo
punto. Supón que el punto está situado en la línea que une el centro de la Luna con el de la Tierra.
b) Comenta el resultado y, a la vista del mismo, indica si es lógico despreciar alguno de los valores
calculados en el punto.
DATOS: G= 6,67 10-11^ Nm^2 /kg^2 ; MT= 5,97 10^24 kg; ML= 7,35 10^22 kg.
Solución:
a) A la hora de hacer los cálculos hemos de tener en cuenta (ver dibujo) que la distancia entre la Tierra
y el punto P es r = d - RL
b) Como resultado del cálculo podemos ver que el campo creado por la Tierra es de poco más de una
milésima del creado por la Luna y, dado que los datos están dados con tres cifras significativas,
puede despreciarse sin cometer un error importante.
Oviedo. 2012-2013/ 6.1)
Determina razonablemente a qué distancia de la Tierra se cancela la fuerza total ejercida por la Luna y la
Tierra sobre un cuerpo situado en la misma.
DATOS: La masa de la Tierra es aproximadamente 81 veces la de la Luna, es decir: MT=81 ML;
distancia media Tierra-Luna d=3,84 10^8 m.
Solución:
Debido a que la fuerza gravitatoria de la Tierra es mucho mayor que la de la Luna el punto buscado
ha de estar más próximo a la Luna. Consideremos que el punto buscado está a una distancia x
medida desde la Tierra (ver dibujo):
T T (^2 ) T T L 2 L L L L (^2) L
M
g G r (^) g M R 5,97 .10 kg
M g M r g G R
^
6 2 2 (1,7 .10 ) m
22 7,35 .10 kg
8 2 2 (3,8 .10 ) m
3 ; gT 1,6 .10 gL
P
d
RL
● RT
●
gT gL
T T (^2)
L L (^2)
m M F G x (^) m G m M F G (d x)
T 2
M m G x
2 T L L L 2 T T T
5 5
M
M d x M d x M 81 1 1 ; ; (d x) x M x M M 81 9
d x 1 9 9 ; x d x 3,84 .10 km 3,46 .10 km x 9 10 10
^
^ ^ ^ ^
P
d
● x
Oviedo. 2012-2013/ 5.1)
Una sonda espacial de 250 kg de masa se encuentra describiendo una órbita circular alrededor de la Luna a
una altura de 180 km de su superficie. Calcula:
a) La velocidad orbital de la sonda.
b) El valor de su energía mecánica
DATOS: G= 6,67 10
2 /kg
2 ; RL= 1740 km; ML= 7,4 10
22 kg.
Solución:
a)
b)
Oviedo. 2012-2013/ 4.1)
Calcula el periodo de giro de la Luna en su movimiento circular alrededor de la Tierra.
DATOS: ML= 7,35 10
22 kg; MT= 5,97 10
24 kg; distancia media Tierra-Luna d=3,84 10
8 m.
Solución:
Oviedo. 2012-2013/ 3.1)
Un satélite artificial de 500 kg de masa se lanza desde la superficie terrestre hasta situarlo en una órbita
circular situada a una altura h= 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Determina:
a) La intensidad del campo gravitatorio terrestre en cualquier punto de la órbita descrita por el satélite.
b) La velocidad del satélite cuando se encuentre en dicha órbita.
DATOS: MT= 5,97 10
24 kg; RT= 6,40 10
6 m; G= 6,67 10
2 /kg
2
Solución:
a)
b)
6 L
2 11
2
o
r R h (1740 180) km 1920 km 1,92 .10 m
N m 6,67. G M kg v r
22 7,4 .10 kg
6
m km km 1603 1,6 5760 1,92 .10 m s s h
2 11
L mec
N m 6,67 10
1 1 G M m 1 E Ep 2 2 r 2
2 kg
22 7,4 10 kg 250 kg
6 1 ,92 10 m
8 3,2 10 J
2 2 2 3 8 3 3 6 2 T^11 2
T r ; T (3,84 .10 ) m 2,37 .10 s 27,4 días GM N m 6,67 .10 5,97 .10 kg kg
^
^
2 T^11 2 T
M N m g G 6,67. (R h)
(^) kg^2
24 5,97 .10 kg
6 2 2 7,6 .10 m
2
m 6, s
6 T
2 11 2
o
r R h (6400 1200) km 7600 km 7,60 .10 m
N m 6,67. G M (^) kg v r
24 5,97 .10 kg
6
m km km 7238 7,2 25 920 7,6 .10 m s s h
