MATERIAL DE ESTUDIO - INTRODUCCION A LA MATEMATICA, Diapositivas de Matemáticas

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VECTORES EN 𝑅

DEFINICIÓN Y OPERACIONES

¿Cuál es la utilidad de vectores en ℝ

𝟐

?

Sirve para determinar, representar y calcular las magnitudes vectoriales.

Se encuentran en el estudio del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, análisis

matemático, cálculo, etc.

En la Programación e informática

pueden ser empleados como

contenedores de datos

En la vida cotidiana representan

nuestros movimientos porque tienen

Magnitud, dirección y sentido

En la Ingeniería. Se consideran los

campos gravitacionales, campos

magnéticos, en la mecánica

https://www.freepik.es/vector-gratis/concepto-

ingenieria-informatica_5138520.htm

https://concepto.de/vector/

Los vectores permiten representar

fuerzas contrapuestas gracias a que

señalan la dirección

VECTORES EN R

Datos/Observaciones

VECTORES

PLANO

CARTESIANO

Vectores en R

2

¿Qué es un vector?.

Es un segmento de recta dirigido:

Todo vector tiene un número infinito de representaciones geométricas en el

plano, todas ellas son paralelas de igual longitud y sentido.

La flecha se llama

vector geométrico

Inicio

Fin

VECTORES EN R

1 PRODUCTO CARTESIANO

OBSERVA:

Todos estos elementos o pares

ordenados del producto cartesiano

pueden ser representados en el

plano de coordenadas cartesianas de

ejes 𝑿 e 𝒀.

VECTORES EN R

Sean los conjuntos 𝐴 y 𝐵, se llama producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 al conjunto de los pares

ordenados (𝑎; 𝑏), donde 𝑎 pertenece al conjunto 𝐴 y 𝑏 pertenece al conjunto 𝐵, es

decir:

𝑨 × 𝑩 = { 𝒂, 𝒃 Τ𝒂 ∈ 𝑨 ∧ 𝒃 ∈ 𝑩}

2 VECTOR BIDIMENSIONAL

Un vector bidimensional es un par ordenado de

números reales (𝑥 ; 𝑦) , donde “ 𝑥 ” es llamada la

primera componente y “ 𝑦 ” es llamada la segunda

componente.

3 PLANO VECTORIAL

BIDIMENSIONAL

Es el plano cartesiano conformado por diversos pares

ordenados, que ahora serán representados como

radio vectores o vectores, según sea el caso.

VECTORES EN R

5 MAGNITUD – NORMA – MÓDULO

La magnitud o módulo de un vector 𝑣Ԧ es un número

real no negativo asociado a dicho vector y

representado por 𝑣Ԧ

6 VECTOR UNITARIO

Se llama vector unitario, al vector cuyo mó-

dulo es la unidad, es decir: 𝑣Ԧ

es un vector unitario si y solo si:

1

2

• 𝑣 2

2

= 1

1

2

1

2

• 𝑣 2

2

VECTORES EN R

EJEMPLO :

Si 𝑣Ԧ = 3 ; 4 ⟹ 𝑣Ԧ = 3

2

• 4

2 = 25 = 5

Teorema: Dado un vector 𝑣Ԧ ≠ 0 ,

entonces el vector 𝑢 =

𝑣

𝑣

es un vector

unitario.

7 VECTORES CANÓNICOS

Son vectores con módulo 1, que están

presentes

y son paralelos al eje 𝑋 (eje de las

abscisas) y al eje 𝑌 (eje de las ordenadas) y

se denotan como:

VECTORES EN R

Entonces cualquier vector 𝑎Ԧ = (𝑎 1

2

) se

puede representar mediante los vectores

canónicos:

1

2

1

2

1

2

EJERCICIOS EXPLICATIVOS

2. Determine el o los valores que pueda tomar el vector 𝑏 = (𝑏 1

2

), si se tiene que:

1

2

𝑏 = 𝑏 1

2

• 𝑏 2

2

5 = 𝑏 1

2

• 𝑏 2

2

5 = 𝑏 1

2

• 𝑏 2

2

5 = 𝑏 2

2

• 2 𝑏 2

• 1 + 𝑏 2

2

5 = 𝑏 2

• 1

2

• 𝑏 2

2

0 = 2 𝑏 2

2

• 2 𝑏 2

− 4

𝑏 2

𝑏 = 1 2

= − 2

𝑏 1

= 2 𝑏 1

= − 1

SOLUCIÓN:

𝑏 = ( 2 , 1 ) RPTA: 𝑏^ =^ (−^1 ,^ −^2 )

VECTORES EN R

0 = 𝑏 2

2

• 𝑏 2

− 2

0 = 𝑏 2

• 2 𝑏 2

− 1

LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS

EJERCICIOS RETOS

1. Si los vértices de un triángulo son: 𝐴 = ( 3 ; 2 ) , 𝐵 = (− 5 ; 12 ) y 𝐶 = ( 8 ; 6 ).

Compruebe usando vectores si se trata de un triángulo isósceles, equilatero o triángulo rectángulo.

2. Halle la resultante de los siguientes vectores: 𝑎Ԧ = 6 con ángulo de inclinación 30 °; 𝑏 = 8 con

ángulo de inclinación 120 ° y 𝑐Ԧ = 10 con dirección vertical, hacia arriba.

3. Determina analítica y geométricamente el vector que inicia en el punto 𝑃 3 , 3 y termina en el punto

𝑄 − 2 , 2 , da el vector de igual magnitud y sentido contrario al vector anterior.

4. Se dan los puntos A 4 , 1 ; 𝐵 7 , 3 ; 𝐶 2 , 3. Hallar un cuarto punto D de manera tal que el cuadrilátero

que formen ABCD sea un paralelogramo.

5. Hallar el vector unitario

a) en la dirección del vector

b) en la dirección del punto 𝐴 2 , − 5 al punto 𝐵 4 , 3_._

Espacio de

Preguntas

Tiempo : 10 min

Pregunta a través del chat o levantando

la mano en el Zoom. Comparte tus

dudas de la sesión o de los ejercicios y

problemas que acaban de trabajar en

los grupos. Si no tienes preguntas el

profesor realizará algunas

Datos/Observaciones

Vectores en R

2

Datos/Observaciones

FINALMENTE

Excelente tu

participación

No hay nada como un reto

para sacar lo mejor de

nosotros.

Ésta sesión quedará

grabada para tus

consultas.



PARA TI

1. Sigue practicando, vamos

tu puedes!!.

2. No olvides que tienes un

FORO para tus consultas.