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Autor I Rosanna Casini
Objetivos
Se pretende que, después de haber estudiado este Capítulo, el alumno esté en condiciones de:
- Entender los componentes del método clásico de series de tiempo.
- Utilizar el método de mínimos cuadrados en series de comportamiento lineal y no lineal.
- Aislar las componentes del método clásico en series con periodicidad inferior al año.
- Utilizar los métodos de suavizado exponencial y promedios móviles.
- Utilizar los modelos autorregresivos.
- Realizar pronósticos de series de tiempo con diferentes métodos.
Contenidos
- Introducción.
- La importancia de los pronósticos.
- Factores componentes del modelo clásico multiplicativo de series de tiempo. 3.1. Ajuste de tendencia y aislamiento de componentes en series de perio dicidad anual: Método de mínimos cuadrados, tendencias no lineales. 3.1.1. Componente tendencial. Método de mínimos cuadrados. 3.1.2. Tendencias no lineales. 3.2. Serie de periodicidad inferior al año. 3.2.1. Componente estacional. 3.2.2. Componente cíclica. 3.2.3. Componente irregular.
- Suavizado de series temporales anuales. 4.1. Método de promedios móviles. 4.2. Suavizado exponencial.
- Modelos autorregresivos.
- Análisis residual.
Autor I Rosanna Casini
Autor I Rosanna Casini
EVOLUCION DEL GASTO CUATRIMESTRAL DURANTE TRES AÑOS
cuatrimestre
gasto
GASTO
Como se observa en las figuras anteriores, la trayectoria de la serie temporal no es regular, ni es posible, en general, descubrir a simple vista cuál es el comportamiento a largo plazo o sus fluctuaciones en el corto plazo, y por lo tanto, es necesario realizar diversos tipos de tratamientos a los datos de la serie a fin de hacer posible un análisis de su comportamiento y la predicción de su trayectoria en el futuro.
Podemos clasificar el tratamiento de las series en: métodos por descomposición , que permiten explicar el comportamiento de la variable con el propósito de proporcionar medios necesarios para predecir sucesos futuros, basándose en las observaciones pasadas y presentes de la misma y, los modelados llamados causales que basándose en características de la variable permiten definir un modelo que reproduce de alguna manera los valores de la serie con el menor error posible y bajo determinadas condiciones estadísticas, con la finalidad de predecir valores futuros de la variable.
En este capítulo estudiaremos básicamente los métodos de descomposición (también llamado método clásico) y su aplicación en series de datos anuales y en series con datos de sub-períodos inferiores al año. También estudiaremos algunos métodos llamados de “suavizado” como los de promedios móviles y suavizado exponencial.
Por último, y como una breve introducción a otro tipo de modelos de análisis que van más allá del objetivo de este curso, desarrollaremos el análisis de las series mediante algunos modelos autorregresivos y estudiaremos su aplicación para realizar pronósticos.
2. La importancia de los pronósticos
Sabemos que las empresas comerciales deben planear ventas, producción, inversión, distribución, entre otras actividades necesarias para su funcionamiento; el gobierno debe planear insumos y gastos para realizar sus funciones rutinarias y para influir en la actividad agregada de modo de asegurar el progreso económico de la nación.
Es así que una acción económica o comercial emprendida hoy, se basa en un plan de ayer y en las expectativas de mañana. Los planes para el futuro no pueden hacerse sin pronosticar hechos y las relaciones o efectos que tendrán.
Además debemos tener en cuenta que la pronosticación no sólo puede hacerse para una línea determinada de actividad de manera independiente, el pronóstico de un tipo de hecho también puede hacerse sobre la base de otros pronósticos. Por ejemplo una firma individual puede basar su pronóstico de ventas, en el pronóstico de ventas de
Evolución del gasto cuatrimestral durante tres años
Autor I Rosanna Casini
toda la industria; los pronósticos del ingreso nacional son usados por el gobierno para estimar el futuro ingreso fiscal.
Hemos afirmado en el párrafo introductorio que uno de los objetivos básicos del análisis de series de tiempo es la pronosticación. Podemos intuir fácilmente que pronosticar es, mucho más que proyectar mecánicamente una serie en el futuro sobre la base de la observación del pasado. Es por ello que un buen pronóstico requiere una combinación de teoría económica, conocimientos estadísticos y familiaridad con información relevante.
De esta forma el método analítico de pronósticos supone el análisis detallado de fuerzas causales que operan sobre la variable que se predice, lo que implica adoptar el tratamiento que permita lograr el objetivo antes mencionado.
Los métodos que aquí estudiamos para pronosticar los valores futuros de una serie temporal, suelen complementarse con otro tipo de enfoques, tales como el método de escenarios, la consulta a expertos, entre otros, que van más allá de los objetivos de este curso, pero que los estudiantes pueden consultar para profundizar sus conoci- mientos al respecto^1 /.
Como dijimos, cuando trabajamos con una variable recopilada a través del tiempo, estamos en presencia de una Serie de Tiempo.
Ejemplos de variables de la naturaleza mencionada existen en todas las disciplinas y en particular en el ámbito de las Ciencias Económicas tienen importantes aplicaciones, debido a la necesidad de efectuar pronósticos que permitan organizar actividades o estrategias futuras revisando datos históricos.
Uno de los métodos existentes es el clásico, también llamado por descomposición.
Lo primero que debemos realizar es el gráfico poligonal para observar el comporta- miento de la variable que, seguramente presenta picos u oscilaciones provocadas por el efecto de múltiples factores (Figuras 1 y 2).
El método que desarrollamos en esta unidad, se basa en el criterio que los valores de la variable “y” están determinados por el efecto de cuatro componentes denomi- nados: tendencial, estacional, cíclico e irregular.
Estos componentes se relacionan matemáticamente mediante un modelo que puede ser aditivo en cuyo caso se supone que hay independencia entre ellos o bien multiplicativo , para el cual se supone que hay interacción o dependencia entre los componentes.
Esta situación puede expresarse como:
y t = Tt + S (^) t + Ct + It Modelo Aditivo
yt = T S C It. (^) t. t t Modelo Multiplicativo
El significado que se le atribuye a los cuatro componentes está referido a su efecto sobre la variable.
Tendencial: Es el componente que determina el comportamiento general de la serie y muestra como la variable evoluciona a través del tiempo. Actúa en períodos largos de
1 / (^) Johnson, G. y Scholes, K.: Dirección Estratégica- Prentice may- Madrid 2001 (Cap. 3).
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3.1. Ajuste de tendencia y aislamiento de componentes en series con periodi- cidad anual: Método de mínimos cuadrados, tendencias no lineales
En las series anuales como ya hemos mencionado se refleja solamente la influencia de los componentes tendencial y cíclico, quedando como residuo, si estos componentes son aislados, el irregular, ya que los movimientos estacionales requieren la existencia de datos con periodicidad menor al año (mensuales, trimestrales, diarios, etc.).
Para su tratamiento sugerimos la consideración de los aspectos que se detallan a continuación:
Si la serie está expresada en unidades monetarias es conveniente eliminar el efecto de la inflación, es decir deflactar los valores de la variable para expresarlos en unidades homogéneas.
Luego, y esto es válido para cualquier tipo de series, es necesario codificar el tiempo, a fin de que a cada observación le corresponda un número, en general correlativo, lo cual facilitará la realización de operaciones.
Los métodos que estudiaremos en este punto se conocen como “métodos de ajuste” de la serie mediante una expresión analítica, y están muy vinculados a los estudiados en el capítulo anterior (Regresión), caracterizándose porque la variable independiente es el tiempo en lugar de cualquier otra variable explicativa.
Luego de tratados estos métodos de ajuste, explicaremos los métodos llamados de “suavizado” que persiguen otros objetivos en el análisis de la serie.
3.1.1. Componente tendencial. Método de mínimos cuadrados
Para analizar el componente tendencial podemos aplicar el Método de Ajustamiento de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se busca la expresión analítica de la función que mejor ajusta a los datos observados, de modo tal que permita minimizar la suma de cuadrados del error.
Observando el diagrama de dispersión, encontramos diversos tipos de comporta- miento, como ser el que corresponde a una función lineal, cuadrática exponencial o potencial, funciones que en adelante se clasifican en lineal y no lineal. Esos casos, los abordaremos por aplicación del Método de Mínimos Cuadrados.
Función Lineal:
Si de la observación del gráfico se sugiere un comportamiento lineal de la tendencia en el largo plazo, es posible con el mismo planteo del capítulo anterior, sugerir que los valores de y en cada momento t son una función lineal de x (tiempo) más una componente aleatoria que resume el resto de los componentes.
yt = β o (^) + β 1 x +ε t
Aplicando el método de mínimos cuadrados, se puede obtener la “recta estimada”:
y ˆ t = b 0 (^) + b x 1
Los valores de b 0 (^) y b 1 , tal como se explicara en el capítulo anterior se obtienen a
partir de minimizar la suma de cuadrados de los “errores” (desviaciones con respecto a la recta estimada)
Autor I Rosanna Casini
SCE = Σe^2 = ( )
2
∑ y i − y^ ˆ i mínimo.
f(b 0 , b 1 ) = ∑ [ yi - (b 0 + b 1 xi)]^2 mínimo
Teniendo en cuenta que una función presenta un mínimo en el punto en que su derivada primera es igual a cero, se trata de encontrar el punto de coordenadas (b 0 , b 1 ) resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que surge al igualar a cero las derivadas primeras respecto de b 0 y b 1^3 /.
∂ f(b 0 , b 1 )/ ∂ (b 0 ) = -2 [ ∑ yi - nb 0 + b 1 ∑ xi ]
∂ f(b 0 , b 1 )/ ∂ (b 1 ) = -2 [ ∑ yi xi – b 0 ∑ xi + b 1 ∑ xi^2 ]
Igualando a 0 las derivadas:
- 2 [ ∑ yi - nb 0 + b 1 ∑ xi] = 0
-2 [ ∑ yi xi - b 0 ∑ xi + b 1 ∑ xi^2 ] = 0
De estas ecuaciones, se obtiene el siguiente sistema (haciendo traspaso de términos a fin de que queden todas las incógnitas del mismo lado de las ecuaciones- lado derecho en este caso-):
∑ yi = nb 0 + b 1 ∑ xi
∑ yi xi = b 0 ∑ xi + b 1 ∑ xi^2
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquiera de los métodos conocidos, obtenemos las siguientes fórmulas para calcular el valor de los coeficientes de la ecuación lineal:
1 1 1 (^1 2 )
1 1
n n n i i i i i i i n n i i i i
n y x y x
b
n x x
= = =
= =
1 1 1
n n i i i i o
y x
b b
n n
= =
3 / (^) La verificación de las condiciones de segundo orden, necesarias para que se trate de un mínimo
y no de un máximo las dejamos a cargo del estudiante.
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Tabla 2:
Año X: Años (Codificada)
Y: Cosecha Tn (x 10000)
X 2 XY
Total 66,4 168 16,
Reemplazando en las fórmulas (1) y (2), la ecuación de la recta resulta:
ˆ y (^) t = 7, 4 +0, 2 xt
La Tabla 3, contiene los datos procesados con SPSS de donde obtenemos los coeficientes de la ecuación, b 0 y b 1.
Tabla 3:
Coefficients a
7,400 ,090 82,246 ,
,200 ,018 ,977 11,225 ,
(Constant) TIEMPO CODIFICADO
Mod el 1
B Std. Error
Unstandardized Coefficients Beta
Standardi zed Coefficien ts t Sig.
a. Dependent Variable: VAR
Para evaluar la “bondad” del ajuste lineal, lo cual permitirá conocer la confianza que nos inspira el modelo lineal planteado para estudiar el componente tendencial, es posible recurrir, al igual que en el caso de la regresión estudiado en el Capítulo anterior, al coeficiente de determinación general (r^2 ), que para nuestro ejemplo, es igual a 0,9545. Con este valor, es posible afirmar que la ecuación lineal representa adecuadamente el componente tendencial de esta serie.
En otros términos el volumen de trigo cosechado tiene un comportamiento lineal a través del tiempo.
Recordemos que la fórmula del coeficiente de determinación general es:
2 2 i i 2 i i
(y y ) ˆ 1 (y y )
r
∑ − = − ∑ −
b 0
b 1 r
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Obtenemos r^2 mediante aplicación de la fórmula (3), o bien observando los valores procesados en Tabla 2.
Los valores estimados de y, simbolizados como ˆ y^ , los obtendremos reemplazan- do en la ecuación: ˆ y (^) t = 7, 4 + 0, 2 xt , x (^) t por los valores de la variable tiempo codificada, los resultados son mostrados en Tabla 4.
En la Figura 3 observamos el comportamiento de la variable en un gráfico de línea o poligonal que contiene la función lineal resultante del ajuste que realizamos aplicando el Método de Mínimos Cuadrados, y los valores de la variable cosecha de trigo en toneladas realmente relevados.
Figura 3:
Evolución de la cosecha de trigo en valores reales y ajustados
7
7,
8
8,
9
9,
1 2 3 4 5 6 7 8
Cosecha Ajuste lineal
3.1.2. Tendencias no lineales
Si el gráfico sugiere que la tendencia puede ser de un tipo no lineal, existen varias alternativas de ajuste. Por ejemplo, puede tratarse de una forma similar a un polinomio de segundo grado, a una curva exponencial, logarítmica u otra. Analizaremos los casos de función polinómica de segundo grado y de una exponencial.
Una función polinómica de segundo grado es de la forma:
2 y^ ˆ = b 0 + b x 1 +b 2 x
Donde:
b 0 : Intersección estimada con el eje y b 1 : efecto lineal estimado sobre y b 2 : efecto curvilíneo estimado sobre y
Aplicando el método de mínimos cuadrados igual que en el caso lineal (solo que ahora hay que estimar tres parámetros):
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La gráfica del ajuste se muestra en la Figura 4 que se transcribe después de realizar el ajuste exponencial a los datos del ingreso.
Reemplazamos por los valores de “x” y, el cuadrado de “x” en la función cuadrática obteniendo los valores estimados de “ ˆ y^ ”, para calcular por diferencia el residuo o error.
La variable error, como se analizó en la unidad de regresión, es útil para calcular el error estándar estimado y el coeficiente de determinación r^2 y de esa forma analizar la bondad del ajuste realizado con la función cuadrática.
La salida de computación para el análisis mencionado se encuentra en la Tabla 6.
Tabla 6:
Model Summary b
,648a^ ,420 ,351 36,
Model 1
R R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
a. Predictors: (Constant), XCUAD, CÓDIGO DE X b. Dependent Variable: INGRESO 1980 - 1999
Observando la salida de SPSS, el Coeficiente de determinación general es 0,42 por lo que interpretamos que el ajuste es relativamente bueno.
Función exponencial:
Si el comportamiento de la serie muestra una tendencia exponencial en su evolución, es posible aplicar este tipo de modelos, donde la función tiene la característica que, al tomar logaritmos en ambos miembros, toma la estructura lineal, lo que hace su tratamiento similar al caso lineal ya visto.
A fin de ejemplificar este comportamiento:
Continuando con el análisis de la variable ingreso que se muestra en la Tabla 4 hemos codificado “la variable x” con numeración correlativa, tomamos el logaritmo de la función y aplicamos propiedades, quedando la función exponencial y su linealización de la siguiente forma:
0 1
x (^01)
lny lnb xlnb
y b b
ˆy '^ =b' 0 +b 1 ' x
En la función vemos que la variable dependiente es el logaritmo de la variable ingreso, simbolizada como “ ˆy' ” y los coeficientes b’ 0 y b’ 1 son los logaritmos de los coeficientes de la función exponencial.
Luego, ajustamos la función lineal por el Método de Mínimos Cuadrados antes descripto, y por último, tomamos el antilogaritmo de los coeficientes de la ecuación lineal con lo que obtenemos la función exponencial definida al comienzo.
En el ejemplo se tomó el logaritmo natural de la variable ingreso, lo que se observa en Tabla 7.
Autor I Rosanna Casini
Tabla 7:
Cod. Ln (Y) Cod. Ln (Y) 1 5.54 11 5. 2 5.24 12 5. 3 5.63 13 5. 4 5.67 14 5. 5 5.70 15 5. 6 5.87 16 5. 7 5.96 17 5. 8 5.69 18 5. 9 5.66 19 5. 10 5.70 20 5.
La ecuación resultante del ajuste realizado por MC, es:
ln (y) = ln (b 0 ) + ln (b 1 ). x
ln (y) = 5,597 + 0,01237. x
Obtenemos los coeficientes, aplicando las fórmulas (1) y (2).
La función exponencial que surge al tomar el antilogaritmo de los valores estimados de b’ 0 y b’1,, es:
x yˆ = 269, 6.11, 01
La salida de computación que mostramos en Tabla 8 contiene el análisis de correlación y los coeficientes de la ecuación lineal.
Tabla 8:
Model Summary b
,460a^ ,212 ,168 ,
Model 1
R R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
a. Predictors: (Constant), CÓDIGO DE X b. Dependent Variable: LNING
5,597 ,067 83,120 , 1,237E-02 ,006 2,201 ,
(Constant) CÓDIGO DE X
Model 1
B Std. Error
Unstandardized Coefficients
t Sig.
El coeficiente de determinación r^2 = 0,21 indica que el ajuste es malo, compara- tivamente para estos datos, ajusta con menor margen de error la función cuadrática.
Resumiendo los resultados de los ajustes cuadrático y exponencial para los datos de ingreso en Tablas 9 y 10, concluimos que, de las funciones aplicadas para el ajuste, la mejor es la Función Cuadrática, no obstante, sería conveniente aplicar otros métodos para lograr un modelo que reproduzca aún mas los verdaderos valores de la variable, es decir un modelo que asegure menores residuos (Diferencia entre los valores observados y los estimados por la función).
Autor I Rosanna Casini
Si observamos el gráfico de la Figura 4, vemos que la serie presenta un comporta- miento con tendencia no marcada, y ciertos picos u oscilaciones que hacen difícil la reproducción de sus valores de modo que se logre bajo error con funciones del tipo utilizado para el ejemplo, precisamente en los picos el error o residuo es considerablemente importante. Esto nos permite concluir que para esta serie es necesario aplicar otros métodos, por ejemplo modelos autorregresivos o de promedios móviles.
Se sugiere resolver las siguientes actividades que fueron tomadas del libro de Berenson, Levine y Krehbiel:
Actividad 1: Los siguientes datos representan los depósitos totales (en millones de dólares) para uno de los bancos más grandes de Estados Unidos, J.P. Morgan, durante un período de 19 años de 1979 a 1997.
Depósitos totales (en millones de dólares) para J.P Morgan (1979-1997)
Año Depósitos Año Depósitos 1979 30,279 1989 39, 1980 35,594 1990 37, 1981 36,024 1991 36, 1982 37,910 1992 32, 1983 38,070 1993 40, 1984 38,760 1994 43, 1985 39,845 1995 46, 1986 42,960 1996 52, 1987 43,987 1997 58, 1988 42, Fuente: Moody's Handbook of Common Stocks, 1989, 1998.
(a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Asuste una ecuación de tendencia lineal a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (c) Ajuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (d) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (e) ¿Qué modelo parece el más adecuado?
Actividad 2: Los datos de la siguiente tabla representan los ingresos de operación netos anuales reales (en miles de millones de dólares corrientes ) de Coca-Cola Company durante un periodo de 24 años, de 1975 a 1998.
Ingresos de operación reales de Coca-Cola Company (1975-1998)
Año Ingresos Año Ingresos Año Ingresos 1975 2.9 1983 6.6 1991 11. 1976 3.1 1984 7.2 1992 13. 1977 3.6 1985 7.9 1993 14. 1978 4.3 1986 7.0 1994 16. 1979 4.5 1987 7.7 1995 18. 1980 5.3 1988 8.3 1996 18. 1981 5.5 1989 9.0 1997 18. 1982 5.9 1990 10.2 1998 18. Fuente: Moody's Handbook of Common Stocks, 1980, 1989, 1993, 1997. Reimpreso con permiso de Financial Information Services, una división de Financial Comunica- tions Company, Inc. Y Standard and Porr's Corp., Nueva York: MacGraw-Hill,
Autor I Rosanna Casini
Inc., abril de 1999.
(a) Grafique los datos en un diagrama. (b) Asuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (c) ¿Cuáles son los pronósticos de tendencia para 1999 y 2000? (d) Forme una nueva tabla de “ingresos operativos ajustados” (es decir, actua- les ) multiplicando cada ingreso real por la cantidad 100.0^ , IPC
obtenida de los
valores correspondientes del IPC desplegado en el problema 11.12 de la página 619 del libro de Berenson, Levine y Krehbiel. Estos ingresos operativos actuales están en miles de millones de dólares corrientes de 1982 a 1984. (e) Grafique la serie de datos revisados en un diagrama. (f) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (g) Ajuste una ecuación de tendencia cuadrática a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (h) Ajuste una ecuación de tendencia exponencial a estos datos y grafique los resultados en el diagrama. (i) Utilice los modelos ajustados en (f), (g) y (h); ¿cuáles son los pronósticos de tendencia anual de los ingresos operativos actuales para 1999 y 2000? (j) Compare los resultados de los pronósticos en (c) con los obtenidos en (i). Analice. (k) ¿Qué conclusiones se obtienen respecto a las tendencias de los ingresos operativos actuales y reales?
3.2. Serie de periodicidad inferior al año
Estas series son formadas por valores de la variable correspondientes a períodos de tiempo inferiores al año, como por ejemplo: datos mensuales, bimestrales, trimestrales, cuatrimestrales o semestrales, o incluso semanales, diarios u horarios (este es el caso de series de consumo de energía para el estudio de las horas pico, etc.). El tratamiento de las mismas en cuanto al componente tendencial es igual que para el caso de la serie anual. Ahora, al considerar períodos cortos, en el comportamiento de la variable influyen los cuatro componentes: tendencial, cíclico, estacional e irregular.
Cuando el modelo que se utiliza es el multiplicativo, dado que el producto de los componentes se iguala a los valores observados de la serie, este producto debe estar expresado en las unidades correspondientes (las mismas en que se expresa la variable Y), de manera que si la tendencia se expresa en esas unidades, los demás componentes será índices o coeficientes que modifican el valor de la tendencia. Si así no fuera, estaríamos multiplicando por ejemplo “pesos” (si la variable es monetaria, se trata de los pesos expresados en la tendencia), por “pesos” correspondientes al ciclo, por “pesos” correspondientes al componente estacional y por “pesos”para el irregular y entonces tendríamos pesos a la cuarta potencia).
Si en cambio se trata del modelo aditivo, todos los componentes se expresan en las mismas unidades porque se suman (se supone que actúan en forma independiente).
Como estamos trabajando con el modelo multiplicativo, y ahora nos ocupamos de series que pueden contener estacionalidad, se trata de estudiar cómo se aísla este componente, que se expresa en índices. Además, explicaremos cómo se obtienen los índices que representan al componente irregular. Además, estudiaremos un tema muy importante cual es la metodología para aplicar los índices estacionales para afectar una variable estimada (incorporar estacionalidad a una predicción) o quitar el efecto estacional sobre la variable observada (desestacionalizar).
Autor I Rosanna Casini
El promedio puede ser la media aritmética, la mediana o la trimedia, según que existan o no valores extremos de la variable. En general se prefiere la mediana, porque la media puede estar afectada por algún valor muy alejado del resto. Esos promedios serían los índices estacionales, porque del producto S.I. hemos eliminado la irregularidad al promediar. Luego, como es deseable que la media anual de todos los índices estacionales sea igual a 100 y si bien al calcular de esta manera los índices la media suele ser cercana a ese valor, se requiere un ajuste para que sea exactamente igual a 100. Para ello, mediante una regla de tres simple se hace igual a 100 la media deseada y se recalcula cada uno de los índices obtenidos anteriormente. Es conveniente graficar mediante una poligonal, los índices de modo que para cada sub-período podamos observar como se producen las variaciones por la influencia del componente Estacional.
A continuación desarrollaremos mediante un ejemplo el aislamiento de los cuatro componentes en una serie de periodicidad cuatrimestral.
Autor I Rosanna Casini
Los gastos de la Empresa “Asterisco S.A.” correspondientes a 36 períodos cuatri- mestrales y los respectivos códigos se muestran en Tabla 11.
Tabla 11:
Código Cuatrimestre Gasto 1 1 268 2 2 205 3 3 198 4 1 215 5 2 189 6 3 142 7 1 235 8 2 196 9 3 165 10 1 276 11 2 225 12 3 189 13 1 256 14 2 223 15 3 203 16 1 289 17 2 256 18 3 225 19 1 315 20 2 289 21 3 245 22 1 289 23 2 317 24 3 287 25 1 320 26 2 300 27 3 276 28 1 475 29 2 356 30 3 300 31 1 402 32 2 389 33 3 346 34 1 568 35 2 489 36 3 356
Realizando la regresión lineal simple entre “el código” y la variable “y”, obtendre- mos los coeficientes “b 0 y b 1 ” de la ecuación de la recta, siendo:
