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Ejercicios para resolver de la unidas 3 de matemáticas inicial, funciones exponenciales y cuadráticas
Tipo: Ejercicios
1 / 41
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¡No te pierdas las partes importantes!
(^1) Imagen de la portada de Villella, J., Ferragina, R., Lupinacci, L., Bifano, F. y Almirón, A. (2014). Encuentros matemáticos de tipos múltiples. Florencio Varela: Universidad Nacional Arturo Jauretche.
Curvas de la Torre Eiffel, se elige esta forma ya que la Torre Eiffel está permanentemente expuestas al viento. La curvatura de los montantes se calcula matemáticamente para resistir al viento.
2
Si un banco ofrece cierto interés mensual por la colocación de dinero en un plazo fijo, ¿cómo se calcula el dinero acumulado luego de una cierta cantidad de tiempo? Si no se paga una deuda que acumula intereses todos los meses, ¿cómo aumenta el monto de la deuda?
Se aplica un medicamento a un paciente y la cantidad presente en sangre se reduce un cierto porcentaje por cada hora que pasa, ¿cómo se puede saber la cantidad remanente de droga en sangre pasadas algunas horas?
(^2) Vandermeer, J. (2010) How Populations Grow: The Exponential and Logistic Equations. Nature Education Knowledge 3(10):15.
El salto olímpico es una forma de deporte que consiste en lanzarse a una pileta desde una plataforma fija o un trampolín. La campeona mundial de saltos en trampolín se prepara para la siguiente competencia. En uno de los saltos la nadadora toma un impulso elevándose por encima del trampolín para luego comenzar a descender hasta zambullirse de cabeza en el agua. Su altura respecto al agua (en metros) en función del tiempo (en segundos), desde el momento en el que realiza el salto hasta que cae al agua puede ser calculada mediante la siguiente expresión ℎ 𝑥( ) =− 1 · (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)
a) ¿A qué altura se encuentra el trampolín desde donde saltó la nadadora? b) ¿A qué altura se encuentra la nadadora un segundo después de haberse lanzado? c) ¿Es cierto que durante los primeros dos segundos de salto la nadadora estaba elevándose? ¿Por qué? d) ¿Durante cuánto tiempo la nadadora se estuvo elevando? ¿Cuál es la altura máxima a la que llega su salto? e) ¿Cuánto dura el salto hasta que la atleta llega al agua? f) ¿Cuánto tiempo estuvo descendiendo hasta que tocó el agua?
Para determinar la altura a la que se encuentra el trampolín, utilizamos la fórmula que permite calcular la altura a la que se encuentra la nadadora en función del tiempo. Dado que la atleta se lanza desde el trampolín a la pileta en el momento 0, podemos reemplazar x = 0 en la fórmula.
ℎ(0) =− 1 · (0 − 5)(0 + 2) = 10 entonces el trampolín se encuentra a 10 metros. Un segundo después, sabremos que la nadadora está a ℎ(1) =− 1 · (1 − 5)(1 + 2) = 12metros de altura.
Para analizar lo que sucede durante los primeros dos segundos, podemos calcular la altura en ese momento y compararla con los valores anteriores. Al sustituir x = 2
ℎ(2) =− 1 · (2 − 5)(2 + 2) = 12 metros.
Esto significa que a los dos segundos la nadadora está a la misma altura que en el primer segundo, ¿cómo podemos interpretar este resultado?
Sabemos que la nadadora salta desde el trampolín, se eleva y luego cae al agua. Por lo tanto, si a los 2 segundos se encuentra a la misma altura que en el segundo 1, entonces es que ya está descendiendo.
Para entender mejor la situación, podemos realizar una tabla de valores e ir organizando los resultados.
Tiempo altura 0 10 1 12 2 12 3 10 4 6
La nadadora se lanza desde una altura de 10 metros. Durante el primer segundo que se eleva su altura es mayor que la de partida. Como a los 2 segundos se encuentra a la misma altura que en el segundo 1, podemos suponer que entre esos dos instantes la nadadora alcanza el máximo de altura y empieza a caer. ¿Cómo podemos calcular ese instante y cuál es esa altura máxima? Para profundizar en el análisis podemos ampliar esta tabla colocando valores entre 1 y 2 para analizar qué sucede en ese intervalo de tiempo.
Un valor que posiblemente estés considerando es 1,5 ya que se encuentra en el punto medio entre 1 y 2.
Si hacemos ℎ(1, 5) =− 1 · (1, 5 − 5)(1, 5 + 2) = 12, 25podemos notar que la altura es mayor, pero no demasiado. ¿Habrá algún instante en el que la altura sea aún mayor que 12,25 metros?
Les proponemos que analicen para valores cercanos a 1,5 y que completen una tabla como la siguiente.
¿Es cierto que a los 1,5 segundos alcanza la altura máxima?
● Desde los 1,5 segundos hasta los 5 segundos que toca el agua está descendiendo.
Una cuestión a destacar es que hay momentos en los que la altura de la nadadora es la misma. Esto es así porque al principio la atleta se está elevando y luego desciende, volviendo a pasar por ciertas alturas por las que pasó cuando ascendía.
En las siguientes imágenes se pueden observar algunos casos en los cuales la altura resulta ser la misma para tiempos diferentes.
En esta tabla podemos ver que tanto a los 0,5 segundos como a los 2,5 segundos, la altura a la que se encuentra la atleta es la misma. Observemos que esto sucede 1 segundo antes y 1 segundo después de 1,5 segundos que es cuando se alcanza la altura máxima. Esta particularidad es propia del modelo que estamos analizando. A cada par de momentos para los cuales se da la misma altura, se los
denomina pares simétricos o bien decimos que estos valores son simétricos. Te invitamos a buscar otro par de valores de tiempo en los que se cumple esto.
g) Indicá cuál o cuáles de los siguientes gráficos pueden representar la altura de la atleta en función del tiempo. Explicá por qué elegís o descartes cada uno.
i) ii)
iii) iv)
Muy sintéticamente mencionamos algunas cuestiones para analizar en los gráficos:
Al segundo de haber sido lanzada, se puede hacer lo mismo para 𝑡 = 1.
𝑎(1) =− 0, 5. 1^2 + 3 · 1 + 4 =− 0, 5 + 3 + 4 = 6, 5 metros Para analizar hasta qué momento la bengala está ascendiendo podemos armar una tabla para algunos valores de tiempo.
Durante los primeros 3 segundos la altura de la bengala aumenta hasta los 8,5 metros, pero luego comienza a tomar valores menores que 8,5 metros. ¿Esto quiere decir que la bengala llegó a una altura máxima de 8, metros a los 3 segundos, y a partir de ese momento comenzó a descender hasta caer al agua poco después de los 7 segundos? Para asegurarnos de que 8,5 metros sea la altura máxima, podemos calcular la altura en algunos valores cercanos a los 3 segundos y ver si dicha altura supera o no los 8,5 metros. Les proponemos realizar estos cálculos y verificarlo.
Al igual que en la actividad 1, hay momentos en los que se obtiene la misma altura excepto a los 3 segundos que se obtiene la altura máxima. Esto es porque se trata de una situación en la cual la bengala es disparada hacia arriba, llega a una altura máxima y comienza a caer, situación similar al salto de la atleta. Se puede observar que los momentos en los cuales la altura a la que se encuentra la bengala es la misma, están a la misma distancia de 3 segundos. Como ya dijimos, estos valores se llaman simétricos. Para que el destello sea visto, debe estar como mínimo a una altura de 10 metros y como la altura máxima a la que llega la bengala es 8,5 metros, el destello no será visto. Para saber en qué momento la bengala toca el agua, necesitamos calcular para qué valor de t la altura respecto al agua es de cero metros. En definitiva, hace falta hallar el valor de 𝑡para el cual la altura de cero:
Tiempo Altura 2,4 ……… 2,6 ………. 2,8 ………. 3 8, 3,2 ………. 3,4 ………. 3,6 ……..
Podríamos intentar probando algunos valores de t mayores que 7.
𝑎(8) =− 0, 5. 8^2 + 3. 8 + 4 =− 4 metros. Para 8 segundos la bengala se encontrará bajo el agua, esto nos permite anticipar que entonces el valor estará entre 7 y 8.
𝑎(7, 1) =− 0, 5. 7, 1^2 + 3. 7, 1 + 4 = 0, 095 metros 𝑎(7, 2) =− 0, 5. 7, 2^2 + 3. 7, 2 + 4 =− 0, 32 metros A los 7,1 segundos da prácticamente cero, por lo que podría ser una muy buena aproximación. Si quisiéramos podríamos seguir probando con valores cercanos a 7,1 hasta lograr una mejor aproximación. Sin embargo, podría suceder que, mediante este método, no podamos encontrar el valor para el cual el resultado sea exactamente cero y no algo cercano a cero. Además, este procedimiento puede ser muy engorroso. Si queremos calcular el valor exacto de t que hace cero la igualdad, tendremos que plantear y resolver la ecuación de la que partimos:
− 0, 5𝑡^2 + 3𝑡 + 4 = 0 Este tipo de ecuación recibe el nombre de ecuación cuadrática y se resuelve a partir de la fórmula de Bhaskara, que compartimos a continuación:
Esta fórmula es válida, únicamente en el caso de que la ecuación esté igualada a cero, y los valores de a, b y c se obtienen de cada uno de los términos de la ecuación, de la siguiente manera:
Se reemplazan estos valores de a, b y c en la fórmula y se resuelve.
raíces: 𝑥 1 y 𝑥 2_._
● La expresión 𝑓 𝑥( ) = 𝑎 · 𝑥^2 + 𝑏 · 𝑥 + 𝑐 , con 𝑎 ≠ 0recibe el nombre de forma polinómica de la función cuadrática. Los coeficientes a, b y c son números reales.
En esta expresión se puede leer fácilmente la ordenada al origen y si tiene un mínimo o un máximo.
● La representación gráfica de la función cuadrática es una curva llamada parábola.
La concavidad es importante para comprender el comportamiento de las funciones cuadráticas y su representación gráfica. ● Son valores simétricos en una función cuadrática aquellos valores del dominio de la función que tienen la misma imagen. ● La función alcanza un mínimo o un máximo que recibe el nombre de vértice y es el único punto de la curva que no tiene otro punto simétrico. Generalmente se indica con (𝑥𝑣; 𝑦𝑣).
● Todas las parábolas son simétricas con respecto a una recta llamada Eje de simetría.
C y D son simétricos, A y B son simétricos.
● Las raíces o ceros de la función se pueden calcular resolviendo la ecuación 𝑓(𝑥) = 0.
Si la expresión está en forma factorizada nos queda la ecuación:
(𝑥 − 𝑥 1 )(𝑥 − 𝑥 2 ) = 0 y podemos resolverla igualando cada factor a cero.
𝑥 − 𝑥 1 = 0 ó 𝑥 − 𝑥 2 = 0
Si la expresión está en forma polinómica nos queda la ecuación:
𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Para resolver esta ecuación es necesario utilizar la fórmula conocida con el nombre de “resolvente” o fórmula de Bhaskara.
● La abscisa del vértice, 𝑥𝑣, se puede calcular a partir de dos valores simétricos, ya que se encuentra en el punto medio.
o también,
Algunos ejemplos:
Si 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 ≠ 0la función se expresa en su forma completa. Por ejemplo:
𝑓 𝑥( ) = 2 · 𝑥^2 − 3 · 𝑥 + 2.
Si 𝑏 y/o 𝑐son iguales a cero, la función se presenta en una forma incompleta. Por ejemplo:
𝑔 𝑥( ) = 6 · 𝑥^2 ℎ 𝑎( ) = 30 · 𝑎 − 𝑎^2 𝑝 𝑡( ) = 3𝑡^2 + 5
En un laboratorio se observa un cultivo de bacterias. Los investigadores determinaron que su masa aumenta a medida que transcurre el tiempo de forma tal que, por cada día que pasa, su masa se duplica. Se coloca un cultivo con 15 gramos de bacterias y se analiza su reproducción durante 10 días. a) Hacé una tabla que indique la masa del cultivo de bacterias que habrá durante los primeros 5 días de haber comenzado el experimento. b) ¿Podés asegurar cuál será la masa del cultivo al cabo de diez días sin continuar la tabla? Explicá cómo podés hacerlo. c) ¿Cuál será la masa del cultivo a las 12 horas de haber iniciado la observación? d) Encontrá una expresión que permita calcular la masa del cultivo de bacterias en función del tiempo (en días), desde que se inició la observación. Determiná el dominio para la expresión indicada.
Para armar una tabla de los primeros 5 días, determinamos las variables que entran en juego: el tiempo desde que se comienza la medición (en días) y la masa del cultivo de bacterias (en gramos). En el momento inicial hay 15 gramos de bacterias, es decir, en t = 0. Como cada día que pasa la cantidad de bacterias se duplica, podemos calcular cada valor a partir del valor anterior.
Tiempo (días) Masa del cultivo (gramos) 0 15 1 2 · 15 = 30 2 2 · 30 = 60 3 2 · 60 = 120 4 2 · 120 = 240 5 2 · 240 = 480
En la pregunta b) hay que calcular la masa de bacterias a los diez días sin continuar la tabla. Podríamos pensar que al cabo de diez días la masa será el doble (porque 10 es el doble de 5).
5 días —> masa de 480 gramos 10 días → x = 10 × 480 : 5 = 960 Sin embargo, este razonamiento no es correcto ya que no se trata de un crecimiento directamente proporcional por lo que no es posible aplicar la regla de tres simple. ¿Cómo podemos hacer para calcular la masa a los diez días sin seguir completando la tabla? Queremos avanzar hacia una resolución que nos permita calcular la masa del día 10 sin tener que calcular todos los valores anteriores. Observemos lo siguiente: Cada día que pasa, la masa se duplica.
El primer día la cantidad inicial se duplica: → Día 1 hay 15 · 2gramos
Al segundo día se duplica la cantidad anterior: →Día 2 hay 15 · 2 · 2 = 15 · 2^2 g
El tercer día, se duplica la cantidad anterior: →Día 3 hay 15 · 2 · 2 · 2 = 15 · 2^3 g
Hemos escrito los cálculos de este modo para visualizar algunas regularidades, conservando la masa inicial y escribiendo la cantidad de veces que se duplica. Si partimos de una masa inicial de 15 gramos y por cada día que pasa la masa se duplica, entonces a los diez días tendremos que multiplicar al 15 por 2 diez veces.
15 · 2 · 2 ·... · 2 = 15 · 2^10 = 15. 360 gramos. (Los puntos suspensivos indican que se multiplica por 2 diez veces)
Observación: en estos diez días la masa del cultivo aumentó mucho. Pasó de 15 gramos a 15. gramos, lo que es equivalente a ¡¡15,36 kg!!
En la siguiente pregunta nos piden calcular la masa del cultivo a las 12 horas de haber iniciado la observación. Aquí podemos identificar que hemos cambiado la unidad para el tiempo, en esta pregunta se indica la cantidad de horas (y no de días). ¿Cómo podemos expresar las 12 horas en días?
Si tomamos 22,5 gramos como respuesta, podemos analizar que durante las primeras 12 hs la masa del cultivo aumenta 7, 5 gramos y durante las próximas 12 horas también aumenta 7,5 gramos. Es decir, que estaríamos considerando un aumento parejo entre las primeras 12 horas y las “segundas” 12 horas de cada día, pero… ¿es así? En este caso, cada día que pasa se multiplica por 2 a la masa inicial, se trata de un crecimiento exponencial en el que la masa de bacterias “aumenta cada vez más” a medida que transcurre el tiempo. Para poder calcular la masa del cultivo de bacterias a los 0,5 días es conveniente caracterizar el crecimiento y encontrar una expresión que permita calcular la masa del cultivo de bacterias en cualquier instante (ítem d). Si llamamos x al tiempo (en días) y B a la masa del cultivo, la expresión que permite calcular la masa del cultivo a los x días de haber comenzado el experimento es:
𝐵(𝑥) = 15 · 2𝑥
En esta expresión el 15 representa la masa inicial, el 2 indica que la masa se duplica por cada día que pasa. Si ahora queremos calcular la masa para los 0,5 días, bastará con calcular:
𝐵(0, 5) = 15 · 20,5^ ≃ 21, 21 gramos.
Les proponemos analizar esto a partir de esta tabla. Entre el momento inicial y el día 1, en las primeras 12 horas (0,5 días), la masa aumentó aproximadamente 6,21 gramos (de 15 a 21,213) y en las siguientes 12 horas aumentó 8,79 gramos aproximadamente (de 21,213 a 30). Siempre que pase 1 día, la cantidad de bacterias se duplica. Por ejemplo, entre 0,5 y 1,5 días; entre 1 y 2; entre 1,5 y 2,5; etc.
Los y las invitamos a utilizar la fórmula y verificar los resultados de la tabla anterior, también pueden probar con otros valores y observar que cada día que pasa la cantidad de bacterias se duplica.
e) Indicá cuál o cuáles de los siguientes gráficos puede representar la masa del cultivo en función del tiempo. Justificá por qué elegís o descartás cada uno de los gráficos. i) ii)
iii) iv)
