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Universidad Tecnológica del Suroeste Guanajuato
Organismo Descentralizado del Gobierno del Estado de Guanajuato Institución Certificada bajo la Norma ISO 9001 : Mecánica Industrial Manual de Prácticas de Cálculo Diferencial
MANUAL DE EJERCICIOS PRÁCTICOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL
Año 2020
Elaborado por:
MCE JUAN RUBÉN RODRÍGUEZ VÁZQUEZ
Universidad Tecnológica del Suroeste de Guanajuato
Valle de Santiago, Gto. Mayo de 2020.
Revisado y aceptado por:
Fecha de aceptación:
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Contenido del manual de Cálculo integral
Unidad 1. Límites y continuidad Pág. 3
- Límites
- Cálculo de límites
- Continuidad
Unidad 2. La derivada Pág. 9
- Introducción a la derivada
- Reglas de derivación
- ´Básicas
- Regla de la cadena
- Logarítmica y exponencial
- Trigonométrica, inversa e implícita
- Aplicaciones de la derivada
Unidad 3. Optimización Pág. 23
- Máximos, mínimos, puntos de inflexión
- Metodología de la optimización
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Tomando en cuenta los teoremas sobre límites y sobre operaciones con límites, calcular los límites siguientes.
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F(x) = ( 3x
+ 2x
F(x) = ( 4 x
+ 3x
F (X) = 2 (X
– X
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- Logarítmica y exponencial
Fórmula exponencial e : y su derivada será observamos que es exactamente la
misma, pero si tiene un valor diferente en el exponente, entonces se aplica la derivada a la parte superior con apoyo de
la regla de la cadena. Veamos algunos ejemplos:
a) F (x) = e x+1^ aplicando la derivada sería f’(x) = e x+1^ vemos que el resultado es el mismo. b) F (x) = - 4 e 3x + 2^ al aplicar la derivada quedaría f’ (x) = - 4 e 3x + 2^ (3*1) = - 4 (3) e 3x + 2^ = - 12 e 3x + 2
recordar que la derivada de x = 1, por eso se multiplica el 3 por el 1.
Si en el exponente hay x^2 por ejemplo, hay que derivar de la forma en que se ha hecho en la derivada directa.
Ejercicios. Resuelve las derivadas de las funciones siguientes.
a) b) c) d) e)
Fórmula exponencial en base a : y la derivada será , veamos algunos ejemplos:
a) f(x) = - 5 x-^4 aplicando la derivada observamos que a es 5, el menos no se toma en cuenta y se saca antes de la
función, después se multiplica por el ln de 5:
f ‘ (x) = - 5 x-^4 (ln 5)
b) si la base está a un exponente con otro exponente:
Primero al aplicar la fórmula obtenemos el mismo valor y después se aplica la regla de la cadena
enseguida se ordenan los factores y se obtiene el resultado
Ejercicios. Encuentra la derivada de las funciones exponenciales siguientes
a) b) c) d) e)
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Completa la tabla para las derivadas de las funciones trigonométricas con regla de la cadena
Función f (x) Derivada f ‘ (x)
Sen U( x)
Cos U( x)
Tan U( x)
Cot U( x)
Sec U( x)
Csc U( x)
Ejercicios: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas.
a) f (x) = sen 3 (3x) b) f (x) = Sen x^5 c) f (x) = (Sen^2 x) (Cos x) d) f (x) = ( Sen x ) 1/ e) f (x) = – ½ Cos x = f) f (x) = Cos 2 x + Sen 2 x = g) f (x) = Sen ( sen ( sen x) ) h) f (x) = Cotg 4x^2 i) f (x) = Sec ( 4x + 2) Puedes apoyarte en la siguiente página de internet.
https://es.slideshare.net/ftorrealba/ejercicios-resueltos-derivadas-trigonomtricas
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2. Derivada inversa : Analiza el video que viene en la liga https://www.youtube.com/watch?v=aNASRj9zLAA
Completa la tabla para las funciones trigonométricas inversas. Observa que se pueden anotara con el prefijo Arc o se
anota un - 1 como exponente.
Función f (u) Derivada f ‘ (u)
Arc Sen (u)
Arc Cos (u)
Arc Tan (u)
Arc Cot (u)
Arc Sec (u)
Arc Csc (u)
Ahora encuentra la derivada de: a) f (x) = ArcSen (4x) b) ArcCos (5x) Encuentra la derivada inversa de los ejercicios siguientes (básate en el video): a) f (x) = 5 ArcCos x^5 b) f (x) = Arc Tg (2x^3 ) + x^2 Realiza las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas inversas. a) f (x) = ArcTan (3x) b) f (x) = ArcSec (x+2) c) f (x) = ArcCsc ( x^4 ) d) f (x) = ArcSen (3x) + 4x^2 – 5x
