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Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
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Manual del alumno
Aprendizajes Esenciales
Periodo escolar
2021 - 2022
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Ejercicios Adicionales ..................................................................................................... 120
2.6. Integración de diferenciales racionales con denominador de la forma 𝒂𝟐 ±
𝒗𝟐 𝐲 𝒗𝟐 − 𝒂𝟐
.
..................................................................................................................... 121
Introducción ...................................................................................................................... 121
Actividades de Apertura .................................................................................................. 121
Actividades de Desarrollo ............................................................................................... 125
Actividades de Cierre ....................................................................................................... 127
Ejercicios Adicionales ..................................................................................................... 128
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Las personas aprenden, representan y utilizan el saber de muchos y de diferentes
modos, estas diferencias desafían al sistema educativo, que hoy en día lucha por
contraponerse a las ideas erróneas de que todo el mundo puede aprender los mismos
conocimientos, las mismas disciplinas y del mismo modo, y que basta con una medida
uniforme y universal para poner a prueba el aprendizaje de los alumnos.
Los procesos de aprendizaje de las matemáticas, requieren de estrategias que
permitan al alumno que las competencias que son adquiridas en la escuela, se sitúen
en un ambiente cotidiano para relacionar, interpretar, inferir y aplicar los saberes a la
resolución de problemas.
El desarrollo de habilidades, destrezas y actitudes se relaciona directamente con
las condiciones que se deben dar para lograr que los aprendizajes en el estudiante sean
significativos y lo más funcional posible.
El proceso de evaluación de las competencias consiste en utilizar los medios que
permitan a los alumnos reconocer si los esquemas de actuación aprendidos le son de
utilidad, a tal grado que le sirvan para intervenir correctamente ante una situación
problemática planteada en la cotidianidad.
Marco referencial
Al analizar los procesos de aprendizaje de las matemáticas, es posible percatarse
que los alumnos han experimentado una serie de estrategias por parte de los docentes
para que las competencias las transfieran en situaciones de la vida real. Esto exige
relacionar, interpretar, inferir, interpolar, inventar y aplicar los saberes a la resolución de
problemas, mediante la intervención en la realidad reflexionando y actuando sobre la
acción y reaccionando con responsabilidad ante situaciones imprevistas o contingentes.
El aprendizaje por competencias está directamente relacionado con las condiciones que
deben darse para que los aprendizajes sean los más significativos, situados y
funcionales posibles.
La evaluación del aprendizaje de competencias responde a la evaluación de
contenidos; pero no toda la evaluación está referida a ello. Si consideramos que la
evaluación es un aspecto complejo donde convergen diferentes dimensiones, entonces,
debemos considerar que están implicados procesos de evaluación también complejos.
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
El proceso de evaluación de las competencias consistirá en utilizar los medios que
permitan reconocer si los esquemas de actuación emprendidos por el estudiante pueden
serle de utilidad para superar situaciones reales en contextos concretos, lo más
aproximados a la realidad; para evaluarla, es necesario tener datos fiables sobre el
grado de aprendizaje de cada estudiante con relación a la competencia implicada, para
ello se requiere el uso de instrumentos y medios diversos en función de las
características propias de cada competencia y los distintos contextos donde ésta debe
o puede llevarse a cabo.
Dado que las competencias están constituidas por uno o más contenidos de
aprendizaje, es necesario identificar los indicadores de logro para cada uno de ellos,
pero integrados o que se puedan integrar en la competencia correspondiente y el medio
para conocer el grado de su aprendizaje será la intervención del estudiante ante la
situación problemática planteada. La evaluación, bajo el enfoque de competencias, no
solo implica evaluar el resultado del aprendizaje del alumno, también el proceso de
enseñanza-aprendizaje, por lo que conlleva a que también, en paralelo, el facilitador va
desarrollando, aprendiendo y evaluando bajo el enfoque de competencias, su propia
praxis educativa.
Características del curso
El curso tal y como aparece en el manual, pretende abarcar los aprendizajes
esenciales que le sean útiles al alumno. En virtud de las medidas sanitarias, derivadas
de la actual pandemia del SARS-CoV-2, las autoridades de la Secretaría de Educación
Pública del país, han considerado, la apertura de las clases, y siguiendo con la nueva
normalidad, en el actual ciclo escolar, lo que se denomina modalidad híbrida o
semipresencial. Continuar con la actividad académica a distancia en los diferentes
niveles educativos, aprovechando los medios electrónicos actuales para que docentes
y alumnos puedan desarrollar su proceso académico de manera digital y a la vez contar
con la posibilidad de poder tener clases presenciales, con una porción de estudiantes,
en aquellos planteles que reúnan las condiciones necesarias de recibir personal y
alumnado, bajo las siguientes condiciones obligatorias: a) señalización de semáforo
verde, b) esquema completo de vacunación de los involucrados y c) permiso voluntario
de asistencia al plantel por parte de los padres de familia.
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
su alcance e importancia de desarrollarse siguiendo un razonamiento lógico-
matemático.
Debido a la trascendencia académica del curso-taller sugerimos tomar en cuenta
las siguientes recomendaciones:
competencias necesarias, preparación pedagógica, dominio de los temas y estabilidad
emocional, que le permitan desempeñarse en este importante puesto social.
recomendable que el docente informe a los alumnos sobre el impacto que tiene cada
habilidad en el aprovechamiento escolar; de igual forma, es pertinente que si observa
en el grupo dificultades en alguna habilidad, la ejercite hasta que se domine, o en su
defecto, brinde la oportunidad al estudiante de desarrollarla en otro espacio (plataforma
Khan Academy, por ejemplo), o la estrategia que el considere pertinente.
contenidos, para que al final del curso sea entregada de manera informativa a los
alumnos como una evidencia que legitimó su calificación final del curso.
explicativos, proporcionar links de videos y textos explicativos de los temas, tutoriales,
etc.; con el propósito de que el estudiante tenga los recursos suficientes para la
adquisición de las competencias y aclaración de posibles dudas en los contenidos.
sociales (como WhatsApp), los aspectos y ponderaciones a considerar en la evaluación,
así como, su promedio parcial y final de manera oportuna, para que los alumnos tengan
el tiempo de prepararse y regularizarse, en caso de ser necesario.
recurso de conectarse diariamente y tratar de localizarlos con medios que estén al
alcance de sus posibilidades y dándoles la oportunidad de trabajar o regularizarse en
las condiciones que le favorezcan. Como, entregar tareas en un punto de reunión física
y siguiendo las consideraciones de la sana distancia por la contingencia.
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Competencias para desarrollar en el curso.
problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
es consciente de sus valores, fortalezas y
debilidades.
constructiva y reconoce la necesidad de solicitar
apoyo ante una situación que lo rebase.
pertinentes en distintos contextos, mediante
la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiadas.
representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
quienes sean sus interlocutores, el contexto en que
se encuentra y los objetivos que persigue.
soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo.
información.
en equipos diversos.
los de otras personas de manera reflexiva.
los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos grupos de trabajo.
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Justificación
Estamos conscientes que, estos tiempos que les ha tocado vivir a los estudiantes
de nuestros planteles de todo el país son particularmente difíciles. Tener que enfrentarse
a las circunstancias de la nueva modalidad de educación a distancia, representa para la
mayoría de ellos, un verdadero problema en el afán de comprender los contenidos que
marcan los programas de estudio vigentes en todos los niveles. Contar con los medios
de comunicación digitales adecuados en casa, aunado a las dificultades económicas
que muchos de nuestros alumnos atraviesan, se ha convertido en un complicado reto
para ellos y sus familias.
Conscientes de esta situación, las autoridades de la Dirección General de
Educación Tecnológica Industrial y de Servicios y la Academia Nacional de Matemáticas
de este subsistema, se han dado a la tarea de diseñar estrategias que favorezcan en
todo lo posible la enseñanza de los temas de matemáticas, que le serán útiles para la
continuación de sus estudios en este nivel bachillerato y los que el joven emprenda a
continuación, en la búsqueda de su preparación y formación profesional.
Si bien es cierto, las dificultades de comprensión y habilidades en matemáticas tiene
sus orígenes en un sin número de ambientes y condiciones en el individuo, éstas sí se
reflejan en el aprovechamiento de los alumnos en bachillerato y por consecuencia en
niveles posteriores, por lo que se hace necesario emprender acciones académicas
dirigidas a subsanar en lo posible algunas de esas inconsistencias.
Es por eso, que los manuales elaborados por dicha academia, están diseñados
para apoyar el esfuerzo en la práctica docente para colaborar con los alumnos,
detonando en ellos la capacidad de observación, globalización, jerarquización,
regulación de su propia comprensión, y por consecuencia, sus competencias
matemáticas, ya que es importante la sistematización de los procesos académicos y su
motivante aplicación, cuya utilidad se verá reflejada, no sólo en el contexto académico,
sino en cualquier ámbito de su vida cotidiana.
Este material es el resultado de la experiencia de los maestros que lograron
concentrar los contenidos de los programas de las asignaturas de Álgebra, Geometría
Analítica y Cálculo Integral y trabajar en sólo los aprendizajes esenciales, con el
propósito de ofrecer a los alumnos las herramientas prioritarias para su formación
académica en este nivel y sus estudios posteriores, evitando así el exceso de trabajo
escolar en su hogar.
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Unidad I. Integral Definida
Seguramente recordarás cómo se calculan áreas de superficies geométricas regulares,
como cuadrados, rectángulos, circunferencias, trapecios, etc.,
pues existen fórmulas sencillas que desde estudios anteriores las
sabemos de memoria. Basta con conocer algunas de las
dimensiones de sus elementos, lados o contornos, la cuales las
llamamos bases, alturas, apotemas, etc.
Incluso, de alguna manera o de otra podríamos calcular algunas
áreas de figuras no regulares o compuestas, dividiéndola en
figuras más simples, fáciles de calcular su área y luego sumarlas
o restarlas. Por ejemplo, la siguiente:
Tiene muchas maneras de resolverse, ¿verdad? Describe como lo harías, escribe los
cálculos y la respuesta correcta:
Procedimiento:
Área Total = __________
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Una forma de estimar el valor del área anterior es aproximándonos con figuras
geométricas, cuyo cálculo de área es más sencillo, por ejemplo, si partimos el eje 𝑥 en
cuatro partes iguales y dibujamos rectángulos que se inscriban bajo la curva tendremos
la siguiente figura.
Se han dibujado cuatro rectángulos ( n=4 ) bajo la curva, que se cierran en su parte
superior, por su extremo izquierdo, (por lo que el de la izquierda no se observa al tener
una altura de cero). Si se suman las áreas de los cuatro rectángulos tendremos una
primera aproximación del valor del área de la figura original. Observa que, el ancho de
cada rectángulo es igual, por lo que solo difieren en la altura. Para este caso, la suma
de las áreas de los rectángulos es de 10 ; trata de realizar los cálculos para comprobar.
Sucesivas aproximaciones consistirían en ir aumentando el número de rectángulos ( n )
inscritos en la figura. Observa los cambios en el área total de los rectángulos cuando
éstos se incrementan en número.
Actividad de cierre
Contesta las siguientes preguntas:
producen en el ancho de éstos?
producen en la suma de sus áreas?
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
en cuántos se va a particionar la figura? _____
En el cálculo de áreas por aproximación, es conveniente representar algunos
procedimientos mediante fórmulas sencillas, que permitan realizar la actividad de una
manera más rápida y segura. Ahora te mostraremos, paso a paso, el cálculo del área
aproximada para el primer caso, donde se emplearon 4 rectángulos.
Caso Particular Caso General
Calcula en intervalo sobre el eje 𝑥 de la
gráfica de la función.
Intervalo = 𝟒 − 𝟎 = 𝟒
Se resta el valor menor al mayor.
Calcula en intervalo sobre el eje 𝑥 de la
gráfica de la función.
Intervalo = 𝒃 − 𝒂
Se resta el valor menor al mayor.
Calcula el ancho de cada rectángulo.
El ancho total del gráfico, entre el número de
rectángulos en que va a dividirse.
Calcula el ancho de cada rectángulo.
El ancho total del gráfico, entre el número de
rectángulos en que va a dividirse.
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Paso 1: Determina el intervalo (ancho) de la figura sobre el eje 𝑥: ________.
Paso 2: Divide o particiona el eje 𝑥 para inscribir 3 rectángulos.
¿Cuál es el ancho de cada uno? 𝛥𝑥 = ______.
Paso 3: Escribe los valores de 𝑥 que coinciden con el extremo
izquierdo de cada rectángulo: ____________.
Paso 4: Calcula la altura de cada rectángulo (sustituye los valores
de 𝑥 anteriores en la función).
Paso 5: Calcula el área de cada rectángulo:
Rectángulo Base Altura Área
Paso 6: Calcula la suma de las áreas de todos los rectángulos:
𝑇
1
2
3
Ahora practica el procedimiento, aplicando el criterio de cerrar los rectángulos por su
extremo derecho:
Paso 1: Determina el intervalo (ancho) de la figura sobre el eje 𝑥:
Paso 2: Divide o particiona el eje 𝑥 para inscribir 3 rectángulos.
¿Cuál es el ancho de cada uno? 𝛥𝑥 =______.
Paso 3: Escribe los valores de 𝑥 que coinciden con el extremo
derecho de cada rectángulo: ____________.
Paso 4: Calcula la altura de cada rectángulo (sustituye los valores de 𝑥 anteriores en la
función).
DGETI Academia Nacional de Matemáticas
Paso 5: Calcula el área de cada rectángulo:
Rectángulo Base Altura Área
Paso 6: Calcula la suma de las áreas de todos los rectángulos:
𝑇
1
2
3
Contesta las siguientes preguntas:
debería ser el valor del área exacta bajo la curva original? ¿porqué?
Ejercicio 2: En tu cuaderno, calcula el área bajo la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥
3
en el intervalo de
0 𝑎 2 , aplicando el procedimiento anterior para ambos planteamientos. Estima el valor
exacto con base en los resultados obtenidos.
