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3.1 Límites: un enfoque informal
Introducción Las dos grandes áreas del cálculo, denominadas cálculo diferencial y cálculo integral , se basan en el concepto fundamental de límite. En esta sección, el enfoque que haremos a este importante concepto será intuitivo, centrado en la comprensión de qué es un límite mediante el uso de ejemplos numéricos y gráficos. En la siguiente sección nuestro enfoque será analítico; es decir, usaremos métodos algebraicos para calcular el valor del límite de una función. Límite de una función: enfoque informal Considere la función
(1) cuyo dominio es el conjunto de todos los números reales excepto - 4. Aunque no es posible evaluar f en - 4 porque al sustituir - 4 por x se obtiene la cantidad indefinida 00, f ( x ) puede calcularse en cualquier número x que esté muy próximo a - 4. Las dos tablas
f ( x ) 16 x^2 4 x
88 UNIDAD 3 Límite de una función
muestran que cuando x tiende a 4 por la izquierda o por la derecha, parece que los valores de la función f ( x ) tienden a 8; en otras palabras, cuando x está próxima a 4, f ( x ) está cerca de 8. Para interpretar de manera gráfica la información numérica en (1), observe que para todo número , la función f puede simplificarse por cancelación:
Como se ve en la FIGURA 3.1.1, la gráfica de f es esencialmente la gráfica de con la excepción de que la gráfica de f tiene un hueco en el punto que corresponde a. Para x suficientemente cerca de 4, representado por las dos puntas de flecha sobre el eje x , las dos puntas de flecha sobre el eje y , que representan los valores de la función f ( x ), simultánea- mente se aproximan cada vez más al número 8. En efecto, en vista de los resultados numéri- cos en (2), las puntas de flecha pueden hacerse tan próximas como se quiera al número 8. Se dice que 8 es el límite de f ( x ) cuando x tiende a 4. Definición informal Suponga que L denota un número finito. El concepto de f ( x ) que tiende a L a medida que x tiende a un número a puede definirse informalmente de la siguiente manera.
- Si f ( x ) puede hacerse arbitrariamente próximo al número L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un número a , por la izquierda y por la derecha de a , enton- ces el límite de f ( x ) cuando x tiende a a es L. Notación El análisis del concepto de límite se facilita al usar una notación especial. Si el símbolo de flecha S representa la palabra tiende , entonces el simbolismo indica que x tiende al número a por la izquierda , es decir, a través de los números que son menores que a , y significa que x tiende a a por la derecha , es decir, a través de los números que son mayores que a. Finalmente, la notación significa que x tiende a a desde ambos lados , en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de a sobre una recta numérica. En la tabla izquierda en (2) se hace (por ejemplo, 4.001 está a la izquierda de 4 sobre la recta numérica), mientras en la tabla derecha. Límites laterales En general, una función f ( x ) puede hacerse arbitrariamente próxima a un número L 1 al tomar x suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un número a por la izquierda ; entonces se escribe (3)
x S 4
x S 4
x S a
x S a
x S a
x 4
y 4 x
f ( x ) 16 x^2 4 x
(4 x )(4 x ) 4 x 4 x.
x 4
x (^) 4.1 4.01 4. f ( x ) 8.1 8.01 8.
x (^) 3.9 3.99 3. f ( x ) 7.9 7.99 7.
x
y
4
y
8
16 x^2 4 x
FIGURA 3.1.1 Cuando x está pró- xima a 4, f ( x ) está cerca de 8
f ( x ) S L 1 cuando x S a o bien, (^) x límS a f ( x ) L 1.
Se dice que el número L 1 es el límite por la izquierda de f ( x ) cuando x tiende a a. De manera semejante, si f ( x ) puede hacerse arbitrariamente próxima a un número L 2 al tomar x suficientemente cerca a, pero diferente de, un número a por la derecha , entonces L 2 es el límite por la derecha de f ( x ) cuando x tiende a a y se escribe
(4)
Las cantidades en (3) y (4) también se denominan límites laterales.
Límites por dos lados Si tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha existen y tienen un valor común L ,
entonces se dice que L es el límite de f ( x ) cuando x tiende a a y se escribe
(5)
Se dice que un límite como (5) es por los dos lados. Vea la FIGURA 3.1.2. Puesto que las tablas numéricas en (2) sugieren que
(6)
es posible sustituir las dos declaraciones simbólicas en (6) por la declaración
(7)
Existencia o no existencia Por supuesto, un límite (por un lado o por dos lados) no tiene por qué existir. Pero es importante no olvidar lo siguiente:
- La existencia de un límite de una función f cuando x tiende a a (desde un lado o desde ambos lados) no depende de si f está definida en a , sino sólo de si está definida para x cerca del número a.
Por ejemplo, si la función en (1) se modifica de la siguiente manera
entonces f (4) está definida y f (4) 5, pero Vea la FIGURA 3.1.3. En
general, el límite por los dos lados no existe
- si alguno de los dos límites laterales, o no existe, o
- si f ( x ) L 1 y f ( x ) L 2 , pero
EJEMPLO 1 Un límite que existe
La gráfica de la función se muestra en la FIGURA 3.1.4. Como se observa en la gráfica y en las tablas acompañantes, parece válido que
y, en consecuencia, (^) lím f ( x ) 6. x S 4
f ( x ) x^2 2 x 2
lím^ L 1 ^ L 2. x^ límS a x S a
x límS a f ( x ) x^ límS a f ( x )
lím x S a f ( x )
lím x S 4
16 x^2 4 x
f ( x ) •
16 x^2 4 x , x 4 5, x 4,
x^ límS a f ( x )
x^ límS a f ( x )
3.1 Límites: un enfoque informal 89
x S 4 3.9 3.99 3. f ( x ) 5.41000 5.94010 −5.
x S 4 4.1 4.01 4. f ( x ) 6.61000 6.06010 −6.
y ƒ ( x )
L
a
x → a ^ x
y ƒ ( x ) → L
ƒ ( x ) → L
x → a
x 4
y
8
y
16 x^2 4 x
, 5, x 4
x 4
y x^2 2 x 2
x
y
6
4
FIGURA 3.1.2 cuando si y sólo si cuando y cuando x S a
x S a f ( x ) S L
x S a f ( x ) S L
f ( x ) S L
FIGURA 3.1.3 El hecho de que f esté definida o no en a es irrele- vante con respecto a la existencia del límite de f ( x ) cuando x S a
FIGURA 3.1.4 Gráfica de la fun- ción en el ejemplo 1
Observe que en el ejemplo 1 la función dada ciertamente está definida en 4, pero en nin- gún momento se sustituye x 4 en la función para encontrar el valor de lím x S 4 f ( x ).
f ( x ) S L 2 cuando x S a o bien, lím x S a f ( x ) L 2.
x límS a f ( x )^ L^ y^ x límS a f ( x )^ L ,
lím x S a f ( x ) L.
f ( x ) S 8 cuando x S 4 y f ( x ) S 8 cuando x S 4 ,
f ( x ) S 8 cuando x S 4 o, en forma equivalente, lím x S 4
16 x^2 4 x
x límS 4 f ( x )^6 y^ x límS 4 f ( x )^6
Si x = a es una asíntota vertical para la gráfica de entonces f ( x ) nunca existe
porque los valores de la función f ( x ) deben volverse sin límite desde por lo menos un lado de la recta x = a.
EJEMPLO 6 Un límite que no existe
Una asíntota vertical siempre corresponde a una ruptura infinita en la gráfica de la función f. En la FIGURA 3.1.9 observamos que el eje y o x 0 es una asíntota vertical para la gráfica de f ( x ) 1 > x .Las tablas
lím x S a y f ( x ),
3.1 Límites: un enfoque informal 91
x S 0 0.1 0.01 0. f ( x ) 10 100 1 000
x S 0 0.1 0.01 0. f ( x ) 10 100 −1 000
x S 0 0.1 0.01 0.001 0. f ( x ) 0.99833416 0.99998333 0.99999983 0.
x x^ x
y ƒ ( x )
ƒ ( x )
y (^1) x
FIGURA 3.1.9 Gráfica de la fun- ción en el ejemplo 6
x
y y sen x^ x
1
FIGURA 3.1.10 Gráfica de la fun- ción en el ejemplo 7
muestran claramente que los valores de la función f ( x ) se vuelven sin límite en valor absoluto cuando se tiende a 0. En otras palabras, f ( x ) no tiende a un número real cuando ni cuando En consecuencia, ni el límite por la izquierda ni el límite por la derecha exis- ten cuando x tiende a 0. Por tanto, es posible concluir que f ( x ) no existe.
EJEMPLO 7 Un límite trigonométrico importante
Para calcular las funciones trigonométricas sen x , cos x , tan x , etc., es importante darse cuenta de que la variable x es un número real o un ángulo medido en radianes. Con eso en mente, considere los valores numéricos de f ( x ) (sen x ) x cuando x S 0 dados en la tabla siguiente.
lím x S 0
x S 0 .
x S 0
Resulta fácil ver que se cumplen los mismos resultados proporcionados en la tabla cuando Debido a que sen x es una función impar, para x 7 0 y - x 6 0, se tiene sen(- x ) =
Como puede verse en la FIGURA 3.1.10, f es una función par. La tabla de valores numéricos, así como la gráfica de f sugieren fuertemente el siguiente resultado:
(9)
El límite en (9) es un resultado muy importante que se usará en la sección 4.4. Otro límite trigonométrico que se le pedirá comprobar como ejercicio está dado por
(10)
Vea el problema 43 en la sección “Desarrolle su competencia 3.1”. Debido a su importancia, tanto (9) como (10) se demostrarán en la sección 3.4.
Una forma indeterminada Se dice que el límite de un cociente , donde tanto el numerador como el denominador tienden a 0 cuando tiene una forma indeterminada 0 0. El límite (7) en el análisis inicial tenía esta forma indeterminada. Muchos límites impor- tantes, como (9) y (10), y el límite
que constituye la columna vertebral del cálculo diferencial, también tienen la forma indeter- minada 00.
x S a ,
f ( x )> g ( x )
x S 0 .
f ( x )
sen ( x ) x
sen x x f ( x ).
lím x S 0 sen x x
lím x S 0
1 cos x x
lím h S 0
f ( x h ) f ( x ) h
EJEMPLO 8 Una forma indeterminada El límite 0 x 0 x tiene la forma indeterminada 00, pero, a diferencia de (7), (9) y (10), este límite no existe. Para ver por qué, analizaremos la gráfica de la función Para
y así reconocemos a f como la función definida por partes
A partir de (11) y de la gráfica de f de la FIGURA 3.1.11 debe resultar evidente que los dos lími- tes de f , izquierdo y derecho, existen y
Debido a que estos límites laterales son diferentes, se concluye que lím x S 00 x 0 x no existe.
f ( x )
0 x 0 x e 1, x 7 0 1, x 6 0.
x 0, 0 x 0 e x , x 7 0 x , x 6 0
f ( x ) 0 x 0 > x.
lím x S 0
92 UNIDAD 3 Límite de una función
Fundamentos
En los problemas 1-14, trace la gráfica de la función para encontrar el límite dado, o concluya que no existe.
NOTAS DESDE EL AULA
Aunque las gráficas y tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un límite existe o no, usted ciertamente está enterado de que todas las calculadoras y computadoras funcionan sólo con aproximaciones, y que las gráficas pueden trazarse de manera inexacta. Un uso ciego de las calculadoras también puede conducir a una conclusión falsa. Por ejemplo, se sabe que sen(p x ) no existe, pero a partir de los valores tabulares
podría concluirse en forma natural que sen(p x ) 0. Por otra parte, puede demos- trarse que el límite
existe y es igual a Vea el ejemplo 11 en la sección 3.2. Con calculadora se obtiene
El problema al calcular (12) para toda x próxima a 0 es que en forma correspondiente, está muy próximo a 2. Cuando se restan dos números casi iguales en una calcu- ladora, es posible que ocurra una pérdida de cifras significativas debido al error por redondeo.
2 x^2 4
1
lím x S 0
lím x S 0
x S 0 0.00001 0.000001 0. f ( x ) 0.200000 0.000000 0.
x
y (^) y x x
1
1
FIGURA 3.1.11 Gráfica de la fun- ción en el ejemplo 8
x S 0 0.1 0.01 0. f ( x ) 0 0 0
3.1 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-8.
lím x S a
x límS 0.
0 x 0 x 1 y (^) x límS 0
0 x 0 x
lím x S 0
2 x^2 4 x^2
7. 8. lím x S 0
(^0) x (^0) x x lím x S 3
(^0) x 3 0 x 3
lím x S 0 x^2 3 x x lím x S 1 x^2 x 1
lím x S 0 Q 1 lím x S 5 1 x 1
x
R
lím x S 2 (3 x 2) lím x S 2 ( x^2 1)
11. donde 12. donde 13. donde f ( x ) •
x^2 2 x , x 6 2 1, x 2 x^2 6 x 8, x 7 2
lím x S 2 f ( x )
f ( x ) e x , x 6 2 x 1, x 2 lím x S 2 f ( x )
f ( x ) e x 3, x 6 0 x 3, x 0 lím x S 0 f ( x )
lím x S 1 x^4 x^2
lím x S 0 x^3 x
