Limitea y derivadas matematicas, Apuntes de Matemáticas

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L´ımite y continuidad de funciones

(^1) L´ımite

(^2) Continuidad

L´ımite

La imagen anterior hace referencia a la interpretaci´on geom´etrica del l´ımite de una funci´on f. Lo que nos dice en palabras mas textuales es que en cualquier vecindad (conjunto de puntos cercanos) de A que contiene valores de f , esto los toma de alguna vecindad de a en el dominio de f , excepto posiblemente el valor de f (a)

L´ımite

Ejemplo 1: Compruebe los siguientes l´ımites

a. l´ımz→ 3

z − 1 z − 2

b. l´ımz→i

z^2 + 1 z − i

= 2i

c. l´ımz→ 2

z^2 + z − 6 z − 2 d. l´ımz→ 2 i z^3 − 8 = −(8 + 8i)

Continuidad

Continuidad Se dice que una funci´on f es continua en un punto z = a, si se cumple que l´ım z→a f (z) = f (a)

Observese que cualquier funci´on polinomial f (z) = zn^ es cont´ınua, as´ı como tambien cualquier funci´on constante f (z) = C

Continuidad

Ejemplo 2: Determine si la funci´on

f (z)

z^2 − 1 z − 1

, z 6 = 1 3 , z = 1

es cont´ınua.

Continuidad

Ejemplo 3: Determine en que puntos las siguientes funciones son discont´ınuas, y redefinalas si es posible para que sean cont´ınuas a. f (z) =

z^2 − 4 z − 2

b. f (z) =

z^2 + 1 z + i

c. f (z) =

|z|^2 z