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Solución de ejercicios propuestos: Incropera 4ta edición
Balance de energía y efectos multimodales:
1.23.- Se conecta un resistor eléctrico a una batería como se muestra en el esquema.
Después de una breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de
estado estable casi uniforme de 95°C, mientras que la batería y los alambres de conexión
permanecen a la temperatura ambiente de 25°C no tome en cuenta la resistencia eléctrica
de los alambres de conexión.
a) Considere el resistor como un sistema alrededor del cual se coloca una superficie
de control y se aplica la ecuación 1.11a. Determine los valores correspondientes
de 𝐸
𝑒𝑛𝑡
𝑔
𝑠𝑎𝑙
𝑎𝑙𝑚
(𝑊). Si se coloca una superficie de control
alrededor del sistema entero, ¿Cuáles son los valores de 𝐸
𝑒𝑛𝑡
𝑔
𝑠𝑎𝑙
𝑎𝑙𝑚
b) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un
cilindro de diámetro D=60 mm y longitud L=25 mm. ¿Cuál es la velocidad de
generación de calor volumétrica, 𝑞̇
𝑓
3
c) Sin tener en cuenta la radiación del resistor, ¿Cuál es el coeficiente de convección?
Solución:
Esquema:
Hipótesis:
o La energía eléctrica se disipa uniformemente dentro de la resistencia.
o Temperatura de la resistencia es uniforme.
Alambre de
conexión
Resistor
Batería
V=24 v
I = 6A
Aire 𝑇
∞
= 25°𝐶
Resistor 𝑇
𝑠
= 95°𝐶
𝐷 = 60 𝑚𝑚, 𝐿 = 250 𝑚𝑚; 𝑞̇ (𝑤/𝑚
3
)
Batería
V=24v
I = 6A
Aire 𝑇
∞
= 25°𝐶
o Potencia eléctrica disipada en los cables conductores en insignificante.
o El intercambio de radiación entre la resistencia y el entorno es
insignificante.
o No se produce transferencia de calor desde la batería.
o Condiciones de estado estable. ∆𝐸
̇
𝑎𝑙𝑚
= 0
Análisis:
o De la ecuación de balance de energía y 1era ley:
𝐸
̇
𝑒𝑛𝑡
̇
𝑔
− 𝐸
̇
𝑠𝑎𝑙
= ∆𝐸
̇
𝑎𝑙𝑚
o La energía eléctrica suministrada por la batería es:
a) Volúmenes de control:
Considerando el volumen de control en el resistor:
𝑒𝑛𝑡
𝑔
𝑠𝑎𝑙
El término “𝐸
𝑔
” hace referencia a la energía
térmica generada debido a la corriente eléctrica
(efecto Joule).
Volumen de control en el circuito eléctrico:
Volumen de
control (VC)
𝑔
𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
Volumen de
control (VC)
𝑔
𝑎𝑙𝑚𝑎𝑐
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
Reemplazando:
[ 𝜋 𝑥 0 , 06 𝑥 0 , 25 + 2 (
2
)] ( 95 − 25 )
Queda:
2
2.28.- Una placa plana de carbón de espesor L=1m experimenta una generación
volumétrica uniforme a razón de 𝑞 ̇ = 20 𝑊/𝑚 3 , debido a la oxidación lenta de las
partículas de carbón. Promediada en un período diario, la superficie superior de la capa
transfiere calor por convección al aire del ambiente para el que ℎ = 5 𝑊/𝑚
2
𝐾 y 𝑇
∞
25°𝐶, mientras recibe irradiación solar por la cantidad 𝐺 𝑠
2
. La absortividad
y emisividad solar de la superficie son cada una 𝛼 𝑠
a) Escriba la forma de estado estable de la ecuación de difusión de calor para la capa
de carbón. Verifique que esta ecuación se satisface para una distribución de
temperaturas de la forma.
𝑠
2
2
2
A partir de esta distribución, ¿Qué puede decir sobre las condiciones en la
superficie inferior (x=0)? Dibuje la distribución de temperaturas y marque las
características clave.
b) Obtenga una expresión para la velocidad de transferencia de calor por conducción
para un área unitaria en x=L. Aplique un balance de energía a una superficie de
control sobre la superficie superior de la capa y obtenga una expresión para 𝑇
𝑠
evalúe 𝑇
𝑠
𝑦 𝑇( 0 ) para las condiciones que se establecen.
Solución:
Hipótesis:
o Conducción unidimensional
𝜕𝑇
𝜕𝑦
𝜕𝑇
𝜕𝑧
o Generación de calor volumétrica uniforme.
o Propiedades térmicas constantes.
o Irradiación despreciable en los alrededores.
o Condición de estado estacionario
𝜕𝑇
𝜕𝑡
Esquema:
Propiedades: Carbón a 300°C → 𝑘 = 0 , 26
𝑊
𝑚 𝐾
Análisis:
o De la ecuación de conducción de calor unidimensional en estado estable:
𝑎 [
2
2
2
2
2
2
] +
𝑓
[
2
2
] +
𝑓
o Del enunciado se tiene que:
𝑠
2
2
2
o Reemplazando se tiene:
[
2
𝑠
2
2
2
2
]
𝑓
[
𝑠
2
2
2
]
𝑓
[( 0 +
2
2
))] +
𝑓
o Se debe tomar en cuenta que la distribución de la temperatura debe ser
cuadrática, con un valor máximo en x = 0.
a) Distribución de temperaturas T(x):
o De la ley de Fourier:
o De la ecuación de la distribución de temperatura aplicándola en x=0 se
tiene:
𝑠
2
2
2
𝑠
𝑐𝑎𝑟𝑏ó𝑛
2
2
2
3.4. En un proceso de fabricación se unirá una película transparente a un sustrato como
se muestra en el diagrama. Para la curar la unión a una temperatura 𝑇 0
, se utiliza una
fuente radiante que proporciona un flujo de calor 𝑞 𝑜
2
) , la totalidad del cual es
absorbido en la superficie unida. La parte posterior del sustrato se mantiene a 𝑇
1
mientras
la superficie libre de la película se expone al aire a 𝑇
∞
y a un coeficiente de transferencia
de calor por convección h.
a) Muestre el circuito térmico que represente la situación de transferencia de calor
de estado estable. Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos y flujos de
calor. Déjelo en forma simbólica.
b) Suponga las siguientes condiciones 𝑇
∞
= 20 °C, ℎ = 50
𝑊
𝑚
2
𝐾
y 𝑇
1
Calcule el flujo de calor 𝑞
𝑜
" que se requiere para mantener la superficie unida a
0
c) Calcule y trace el flujo de calor que se requiere como función del espesor de la
película para 0 ≤ 𝐿
𝑓
≤ 1 mm.
Solución:
Hipótesis:
o Flujo estable.
o Conducción de calor unidimensional.
o El flujo de calor por radiación 𝑞
𝑜
𝑟𝑎𝑑
Análisis:
a) El circuito térmico se muestra en la figura siguiente, las unidades de los flujos de
calor son W/m2 (densidad de flujo de calor)
b) Utilizando éste circuito y realizando un balance de energía en la interfaz película-
sustrato se tiene:
0
1
2
0
0
∞
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐
𝑝𝑒𝑙𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎
0
1
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜
Las resistencias térmicas son:
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐
2
2
𝑝𝑒𝑙𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎
𝑓
𝑓
2
𝑠𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜
𝑠
𝑠
2
Reemplazando se tiene :
0
2
2
2
2
3.37. Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo
concéntrico con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una
conductividad térmica de 𝐾 𝐴
𝑊
𝑚 𝐾
, mientras el tubo B tiene una conductividad
térmica de 𝐾 𝐵
𝑊
𝑚 𝐾
; la superficie externa está sujeta a convección con un fluido de
temperatura 𝑇
∞
= −15°𝐶 y el coeficiente de transferencia de calor de 50
𝑊
𝑚
2
𝐾
. La
resistencia térmica de contacto entre las superficies del cilindro y el calentador es
insignificante.
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑠
∞
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
2
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
2
Donde
[
]
= [
Ω
𝑚
]
Definiendo 𝑞̇
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
como la potencia eléctrica por unidad de longitud: [𝑞̇
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
] = [
𝑊
𝑚
]
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
2
′
Se tiene:
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡 𝐿
Reemplazando en la ecuación de balance se tiene:
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
𝑠
∞
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
𝑠
∞
Reemplazando queda:
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
2
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝐿
b) Considerando un volumen de control sobre el Cilindro A, se observa que el
cilindro debe ser isotérmico 𝑇( 0 ) = 𝑇(𝑟
1
Representando el cilindro B por un circuito térmico se tiene que:
𝐿
1
𝑠
𝐵
Siendo 𝑅 𝐵
′ la resistencia térmica por unidad de longitud radial en la pared cilíndrica B,
se tiene:
𝐵
′
ln(𝑟
2
1
Reemplazando y despejando:
𝐿
1
𝑠
ln(𝑟
2
1
ln(𝑟
2
1
𝐿
1
𝑠
1
𝑠
𝐿
ln(𝑟
2
1
Reemplazando queda:
1
ln( 40 / 20 )
1
Por lo tanto:
1
3.59. La energía que se transfiere de la cámara anterior del ojo a través de la córnea varía
considerablemente dependiendo del uso de un lente de contacto. Trate al ojo como un
sistema esférico y suponga que el sistema se encuentra en estado estable. El coeficiente
de convección ℎ 𝑜
se mantiene inalterable con y sin el lente de contacto en su sitio. La
córnea y el lente cubren un tercio del área de la superficie esférica.
Los valores de los parámetros que representan esta situación son los siguientes:
1
a) Usando las siguientes ecuaciones para expresar la resistencia térmica, se obtienen
los circuitos térmicos mostrados a continuación.
𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑠
∞
𝑡,𝑐𝑜𝑛𝑑
1
2
b) La pérdida de calor para ambos casos se puede determinar por la siguiente
ecuación: 𝑄
𝑇
∞,𝑖
−𝑇 ∞,𝑜
𝑅
𝑡
donde 𝑅
𝑡
representa la resistencia térmica de los circuitos
anteriores.
Resistencia térmica sin lentes de contacto (sl):
𝑡,𝑠𝑙
2
− 3
2
[
]
− 3
2
− 3
2
Resistencia térmica con lentes de contacto (cl):
𝑡,𝑐𝑙
[
]
− 3
2
− 3
2
Por lo tanto, las tasas de pérdida de calor de la cámara anterior son:
Sin lentes de contacto:
𝑠𝑙
Con lentes de contacto:
𝑐𝑙
c) La pérdida de calor de la cámara anterior aumenta en aproximadamente un 20%
cuando el lente de contacto está en su lugar, lo que implica que el radio externo,
3
es menor que el radio crítico.
3.90. Se almacenan desechos radiactivos (𝑘 𝑑𝑟
= 20 𝑊/𝑚 𝐾) en un contenedor esférico
de acero inoxidable (𝑘 𝑎𝑖
= 15 𝑊/𝑚 𝐾) de radios inferior y exterior 𝑟
𝑖
= 0. 5 𝑚 y 𝑟
𝑜
- 6 𝑚. Se genera calor de forma volumétrica dentro de los desechos a una razón uniforme
de 𝑞̇ = 10
5
3
, y la superficie externa del contenedor se expone a un flujo de agua
para el que ℎ = 1000 𝑊/𝑚
2
𝐾 y 𝑇
∞
𝑓
𝑐𝑜𝑛𝑣
Por lo tanto:
𝑓
𝑖
3
𝑜
2
𝑠,𝑜
∞
Por dato se tiene que 𝑞̇
𝑓
5
3
, reemplazando queda:
𝑠,𝑜
∞
𝑓
𝑖
3
𝑜
2
𝑠,𝑜
5
3
3
3
2
𝑠,𝑜
b) Realizando un balance de energía en la superficie exterior se tiene:
𝑒𝑛𝑡
𝑔
𝑠𝑎𝑙
𝑎𝑙𝑚
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑎𝑙
𝑐𝑜𝑛𝑑
𝑐𝑜𝑛𝑣
Entonces:
𝑎𝑖
𝑠,𝑖
𝑠,𝑜
1
𝑜
𝑜
2
𝑠,𝑜
∞
𝑠,𝑖
𝑠,𝑜
𝑎𝑖
𝑜
1
𝑜
𝑠,𝑜
∞
𝑠,𝑖
2
𝑠,𝑖
c) La ecuación de conducción de calor en coordenadas esféricas es:
𝑑𝑟
2
𝑓
2
Resolviendo:
2
𝑓
3
𝑑𝑟
1
𝑓
2
𝑑𝑟
1
2
Aplicando las condiciones de frontera:
𝑟= 0
𝑖
𝑠,𝑖
1
2
𝑠,𝑖
𝑓
𝑖
2
𝑑𝑟
Entonces:
𝑠,𝑖
𝑓
𝑑𝑟
𝑖
2
2
En r=0 se tiene:
5
3
2
4.4. Una placa rectangular bidimensional se sujeta a las condiciones de frontera que se
muestran. Derive una expresión para la distribución de temperaturas de estado estable T
(x, y)
Solución:
Hipótesis:
o Régimen estable."
𝜕𝑇
𝜕𝑡
o Conducción de calor bidimensional "
𝜕𝑇
𝜕𝑧
o No existen fuentes de calor “ 𝑞̇
𝑓
De la ecuación general de conducción de calor se tiene:
2
2
Ecuación auxiliar:
2
2
= 0
𝑚 = ±λi
Para la variable Y se tiene:
2
2
= λ
2
2
2
− λ
2
𝑌 = 0 (𝐸𝐷𝑂)
2
− λ
2
2
− λ
2
= 0
𝑚 = ±λ
Raíces
o En general a+bi; a-bi:
1
𝑎𝑥
cos(𝑏𝑥) + 𝐶
2
𝑎𝑥
sen(𝑏𝑥)
o Aquí a=0, entonces:
1
cos(λ𝑥) + 𝐶
2
sen(λ𝑥)
o Para Y, 𝑚
1
1
2
2
3
𝛼
1
𝑦
4
𝛼
2
𝑦
o Aquí:
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
Reemplazando en la ecuación 2 se tiene:
𝑇 = [𝐶
1
cos(λ𝑥) + 𝐶
2
sen(λ𝑥)] [𝐶
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
]
Condiciones de frontera:
o Para y=0 →T=0 (Base inferior):
[
1
cos
λ𝑥
2
sen
λ𝑥
)] [
3
4
]
3
4
o Para x=0 →T=0 (Lado izquierdo):
0 = [𝐶
1
+ 0 ] [𝐶
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
]
1
o Para x=a→T=0 (Costado derecho):
0 = [ 0 + 𝐶
2
sen(λ𝑥)] [𝐶
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
]
0 = [𝐶
2
sen(λ𝑥)]
0 = [𝐶
2
sen(λ𝑎)]
→ sen
λ𝑎
Queda:
[
2
sen
λ𝑥
)] [
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
]
𝑇 = [𝐶
2
sen(λ𝑥)] [𝐶
3
λ𝑦
4
−λ𝑦
] (
2
2
[
2
sen
λ𝑥
)]
[𝐶
3
𝑒
λ𝑦
+𝐶
4
𝑒
−λ𝑦
]( 2 )
2
Por definición del seno hiperbólico se tiene:
𝑇 = [ 2 𝐶
2
3
sen(λ𝑥)] 𝑠𝑒𝑛ℎ(λ𝑦)
𝑇 = [𝐶 sen(λ𝑥)] 𝑠𝑒𝑛ℎ(λ𝑦)
∑ {[
𝑛
sen
λ
𝑛
)] [
𝑠𝑒𝑛ℎ(λ
𝑛
]}
∞
𝑛= 1
𝑇 = ∑ {[𝐶
𝑛
sen (
𝑛𝜋
𝑎
𝑥)] [𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑛𝜋
𝑎
𝑦)]}
∞
𝑛= 1
o Para y=b→T=Ax (Parte superior)
{[𝐶
𝑛
sen (
𝑛𝜋
𝐿
𝑥)] [𝑠𝑒𝑛ℎ (
𝑛𝜋
𝐿
𝑦)]}
∞
𝑛= 1
Usando la función ortogonal para determinar 𝐶
𝑛
, se tiene:
𝑛
𝑎
0
2
𝑎
0
Reemplazando y=b , entonces el numerador, denominador y 𝐶
𝑛
respectivamente
quedan:
𝑎
0
𝑎
0
= 𝐴 [(
2
)]
0
𝑎
2
[−cos(𝑛𝜋)]
2
𝑛+ 1
2
𝑎
0
) [
)]
0
𝑎
𝑛
2
𝑛+ 1
𝑛+ 1
Por lo tanto, la distribución de temperatura T(x,y) es:
𝑛+ 1
∞
𝑛= 1
