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R
J. L. Lupiáñez, M. C. Cañadas, M. Molina, M. Palarea, y A. Maz (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de la Matemática y Educación Matemática - 2011. Granada: Dpto. Di- dáctica de la Matemática, Universidad de Granada.
Granada, 2011
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Castro, E. (2011). La invención de problemas y sus ámbitos de investigación. En J. L. Lupiáñez, M. C. Cañadas, M. Molina, M. Palarea, y A. Maz (Eds.), Investigaciones en Pensamiento Numérico y Algebraico e Historia de la Matemática y Educación Matemática - 2011 (pp. 1 - 15 ). Granada: Dpto. Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada.
Encarnación Castro Universidad de Granada
Resumen
El campo de investigación en pensamiento Numérico y Algebraico es muy extenso, abarca un amplio abanico de temas y, situaciones. Entre ellos se incluye todo aquello relacionado con los problemas y en este contexto se distingue la resolución y la invención de problemas. Nos centramos en la investigación realizada sobre invención de problemas considerando los ámbitos en los que se han realizado dichas investigaciones y algunos de los resultados obtenidos.
Palabras clave: Problemas, resolución de problemas, invención de problemas.
Abstract
The research field “Numerical and Algebraic Thinking” is a very vast one, spanning a wide range of topics and situations. Among them, we find all kind of topics related with problems, and particularly, within this context, we can highlight problem posing and problem solving. We concentrate on research performed on problem posing, considering the fields where these studies have been developed, and some of the results obtained.
Keywords: Problems, problem solving, problem posing.
Introducción
Al hecho de inventar problemas se le da diferentes denominaciones por distintos autores que han tratado este asunto. Kilpatrick (1987) lo designa como formulación de problemas, Brown & Walter (1990) se refieren a plantear problemas, Silver (1994) habla de generación de problemas. En nuestro idioma todas estas denominaciones las usamos y entendemos a qué hacen referencia, nosotros utilizaremos además (y con mucha frecuencia) la expresión invención de problemas. A la acción de inventar o construir nuevos problemas se le considera una actividad intelectual así como una forma eficaz de aprender matemáticas como han indicado autores de reconocido prestigio como Polya (1957), Freudenthal (1973) y Kilpatrick (1987). Se considera que cuando un individuo inventa un problema ha alcanzado niveles de reflexión complejos, por tanto ha llegado a una etapa de razonamiento que hace posible la construcción de conocimiento matemático. Este hecho hace que la formulación de problemas aporte grandes beneficios a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Todo ello lleva a proponer que se potencie su trabajo en el aula. Para ello se recomienda que los profesores de matemáticas proporcionen abundantes y variadas oportunidades a sus estudiantes tanto para aprender
(^1) Entendemos ámbito en su acepción de: Espacio ideal configurado por las cuestiones y los problemas de
una o varias actividades o disciplinas relacionadas entre sí. Diccionario de la Real Academia Española.
matemático. Silver (1994) estudia la creatividad de los estudiantes, mide la fluidez de acuerdo al número de problemas generados y la flexibilidad de acuerdo al número de las categorías diferentes de los problemas propuestos, el grado de originalidad de acuerdo con el número de soluciones propuestas, identifica una relación directa entre la habilidad para proponer problemas y el grado de creatividad de los estudiantes.
f) Una sexta ventaja está relacionada con la tarea evaluadora del profesorado, se refiere a la posibilidad de utilizar la invención de problemas para evaluar ciertas capacidades matemáticas de los estudiantes. Una tarea de invención de problemas permitirá al profesor conocer las habilidades que tienen sus alumnos para usar su conocimiento matemático (Ayllón, 2005; Cázares, 2000; Lin, 2004; Mestre, 2002), así mismo permitirá analizar los procesos de pensamiento matemático de los sujetos investigados. Señalan que la invención de problemas permite evaluar en los estudiantes, su conocimiento, su forma de razonar y su desarrollo conceptual.
Escenarios para la propuesta de formular problemas
Recogemos algunas de las pautas propuestas por diferentes autores para la realización del trabajo de inventar problemas.
Polya (1957) habla de derivar un nuevo problema de un problema ya resuelto. Brown y Walter (1990) sugieren proponer nuevos problemas en la resolución de otros problemas, para lo cual el alumnado ha de ser capaz de reinterpretar el problema original además de poseer una pista para resolver dicho problema. Silver (199 4 ) organiza estas ideas y señala que cuando la invención de problemas está relacionada con la resolución la tarea de inventar puede ubicarse antes, durante o después de la resolución de problemas.
Cázares (2000), considera dos aproximaciones a la invención de problemas: 1) problemas que se inventan dentro del proceso de resolución de un problema, y 2) problemas inventados a partir del contacto del individuo con su medio. La segunda aproximación se realiza, por ejemplo, cuando un individuo se enfrenta a una situación real donde tiene que hacer uso de los conocimientos matemáticos que posee para enunciar y resolver el problema. Para el caso en el que los individuos se enfrentan a situaciones de su vida real, Kochen, Badre y Badre (1976) crean un modelo para la invención de problemas. El modelo consta de tres etapas: 1) la persona se encuentra ante una situación de su vida cotidiana difícil, esto la estimula a generar un enunciado de un problema, el cual puede ser representado de forma escrita, oral y/o evidenciado a través de un comportamiento, 2) el sujeto convierte la situación en un problema matemático que mediante sus conocimientos podrá abordar y 3) para que le sea más fácil llegar a la solución dividirá el problema en subproblemas, siendo la resolución más inmediata de esta manera. Silver (1994) describe dos situaciones idóneas en la invención de problemas: Una es aquella en la que un individuo a partir de un hecho cualquiera genera problemas nuevos, por ejemplo, en una situación cotidiana de compra-venta, y otra, en la que a partir de un problema complejo se procede a la división de éste en problemas más sencillos. En este caso se presentan reformulaciones del problema inicial.
Métodos para la realización de la tarea de inventar problemas
Entendemos aquí por métodos a las diferentes formas de enfrentar a los estudiantes a la tarea de proponer problemas. Por lo general se persiguen que sean formas eficaces para el desempeño de la misma. A veces el método consiste en proponer problemas cambiando el ámbito, las condiciones asignadas, las variables concernientes o la estructura de un problema dado. Otras veces, partiendo de representaciones dadas, historias presentadas, situaciones de la vida real, operaciones proporcionadas o alguna
exigencia determinada. En el primero de los casos, Moses, Bjork y Goldenberg (1990) señalan que para generar problemas a partir de uno dado, el alumnado ha de saber distinguir los elementos que forman parte de un problema, esto es, la información conocida, la información desconocida y los procesos a seguir para relacionar ambas informaciones. A partir de ahí, considerar qué pasaría si alguno de estos elementos cambiase, teniendo en cuenta que desde un problema original y cambiando la información conocida o la desconocida, se pueden generar muchos nuevos problemas. Para ello se debe observar: a) la clase de información que proporciona el problema; b) la información que permanece desconocida; c) qué tipo de restricciones están implícitas en la respuesta a encontrar.
Brown & Walter (1990) separan el proceso de formulación de problemas en dos etapas una que denominan de aceptación del problema y otra de exigencia del problema dado. En la etapa de exigencia pueden aparecer nuevas cuestiones a demanda del problema. A tal estrategia le llaman “Qué pasaría si”^2. Los autores señalados usan tal estrategia con objeto de tener un método que permita formular nuevos problemas de forma sistemática. Una serie de estudios posteriores que se basan en la invención de problemas han usado esta estrategia. Por ejemplo: Un estudio de (English, 199 7 ) que presenta un análisis sobre los procesos de niños menores de ocho años de edad cuando proponen problemas usando la estrategia “Qué pasaría si” en circunstancias que podrían considerase indistintamente como formales y no formales. Una diversidad de problemas variando las condiciones con cuestiones no formales, surgen en un problema asociado a un puzle.
Stoyanova (1998) clasifica las formas de promover esta tarea de formular problemas en situaciones libres, situaciones semiestructuradas y situaciones estructuradas. En las situaciones libres los estudiantes no tienen restricción para formular sus problemas, en las semiestructuradas a los estudiantes se les propone que inventen problemas con alguna similitud a otros dados o alguna exigencia y las situaciones estructuradas son aquellas en las que los problemas se reformulan o se cambia alguna condición de un problema dado.
Una clasificación de los modos relacionada con la información que se le da al estudiante cuando se le propone la tarea, realizada por Christou, Mousoulides, Pittalis, Pitta- Pantazi & Sriraman, (2005), es la siguiente: a) solamente se requiere que el estudiante proponga problemas (situación libre); b) que proponga un problema que responda a una respuesta dada; c) que se formule un problema a partir de una cierta información proporcionada; d) proponer problemas teniendo en cuenta una situación dada; e) inventar problemas que se puedan resolver con un cálculo dado.
Por su parte, Santos (2001) presenta cuatro estrategias que ayudarán al profesor a iniciar a sus alumnos en la invención de problemas: 1) Estrategia espontánea, a partir de una situación significativa para los niños, se iniciará un debate en torno a la misma que permita desarrollar un proceso de problematización. 2) Estrategia de tema generativo, los alumnos eligen una temática y a partir de ella investigan sobre datos relacionados con la misma. 3) Estrategia de incentivo, en este caso es el profesor el que elige un tema de contenido matemático para el debate, se trata de motivar a los niños para que formulen preguntas relacionadas con el tema. 4) Estrategia de analogía, a partir de un problema conocido hay que presentar problemas semejantes.
(^2) Traducción libre de la expresión: “What if not?”
inventarlos y lo justifican por la falta de práctica que tiene los sujetos sobre esta actividad, a su vez reconocen el impacto beneficioso de la invención de problemas sobre la resolución de los mismos.
IRF) En cuanto a sujetos que son maestros en formación, Lavy y Shriki (2007) exploran los efectos que producen experiencias en invención de problemas en el conocimiento matemático de profesores en formación así como en la resolución de problemas. Utilizan como la estrategia “que pasaría si”. Las herramientas para la evaluación son los portafolios y las discusiones en clase. Obtienen como resultado que en el proceso de inventar problemas ha propiciado a los futuros profesores la consolidación de conceptos básicos de matemáticas, mejora en su habilidad para examinar definiciones y atributos de los objetos matemáticos así como para validar argumentos y apreciar conexiones entre objetos matemáticos y ha influido en una mejora en la resolución de problemas.
II) Habilidad en el proceso de inventar problemas
IHN) En este apartado recogemos los trabajos de Krutetskii (1976) y Ellerton (1986) los cuales realizan estudios en los que se compara producciones en una tarea de generación de problemas de dos grupos de alumnos con diferente nivel de habilidad matemática. En ambos casos determinan que los alumnos con alta capacidad matemática son buenos proponiendo problemas y concluyen que hay relación entre la habilidad para proponer nuevos problemas y el grado de creatividad y su talento matemático. Luque y Castro (200 3 ) realiza un trabajo sobre la capacidad de un grupo de alumnos de secundaria para inventar problemas en cuyo enunciado y resolución involucrasen fracciones, la restricción impuesta es que fuesen problemas difíciles. Los problemas propuestos respondían a estructura aditiva. Burçin (2005) indaga sobre si la invención de problemas favorece en los alumnos su actitud hacia la probabilidad y mejora la comprensión de la misma. Nicolaou & Pilippou (2007) presentan un estudio con 87 estudiantes de 5º y 87 de 6º grado tratando de explorar relaciones entre su punto de vista sobre su eficacia en inventar problemas, su habilidad inventando problemas y su competencia matemática. Alias, Ghazali y Ayub (2009) realiza un trabajo en el que se indaga la relación entre la capacidad de inventar problemas con la competencia matemática de estudiantes de 8- 9 años de edad de tres clases con competencia matemática diversa.
Lowrie (2002a, 2002b) realiza una investigación en la que trata la capacidad de niños de seis y de ocho años de edad, no expuestos previamente a situaciones de enseñanza- aprendizaje sobre la invención de problemas. Entre los resultados que obtiene se encuentra: todos los sujetos de 1º y 3er^ grado participantes en el estudio generaron problemas aritméticos muchos de los cuales requerían el cálculo numérico para obtener la solución. La mayoría de los niños generó problemas verbales tradicionales cuando se les propuso por primera vez que “inventasen un problema de matemáticas que quisieran solucionar". También estudia la influencia de la intervención del profesor en la invención de problemas por parte de niños de los primeros cursos escolares. En su análisis queda constancia de que los alumnos son capaces de inventar problemas de dos pasos que reflejan experiencias escolares. Muestra que, con la orientación del profesor, estos niños logran resolver e inventar problemas más complejos. Su investigación también deja patente la fuerte relación existente entre la invención y resolución problemas.
IHF) El trabajo de Gonzales (1996, 1998) es un estudio exploratorio sobre proceso de formulación de problemas de profesores en formación tanto de educación primaria como de secundaria. A los estudiantes se les suministra cierta información contenida en un gráfico a partir de la cual ellos han de inventar cinco preguntas. Trataba de dar
respuesta a varias cuestiones, entre ellas: ¿Qué información de la dada está contenida en las preguntas planteadas en los problemas propuestos por los estudiantes? y ¿Qué tipo de respuesta exigen las preguntas planteadas? Entre sus resultados: Respecto a los futuros profesores de secundaria, 56% de las preguntas estaban en la categoría tomar como referencia la información que figura en el gráfico y el 39% de sus preguntas procedían de la información dada, modificada, extendida o añadida. El 16% de las preguntas de los futuros profesores de primaria cayó en el grupo “no está clara” frente al 5% de las preguntas de los futuros profesores de secundaria. Al 30% de las preguntas del grupo de primaria solo se requiere hacer una observación y dar la respuesta directamente de la gráfica, mientras que sólo el 9% de las preguntas del grupo de secundaria estaban en esta categoría. Un gran porcentaje de las preguntas de ambos grupos requiere de la realización de algoritmos.
Leung y Silver (1997) realizan una investigación en la que examinan los problemas que proponen un grupo de maestros en formación. La decisión de investigar las respuestas de estos sujetos se basa, según los autores, en la importancia que este conocimiento tiene desde dos ámbitos diferentes. Por una parte conocer la capacidad de los futuros profesores en estas tareas y, por otra, el que comprendan que la tarea les puede ayudar en su trabajo profesional prestando mayor énfasis en tareas similares con sus futuros alumnos. Entre los objetivos del estudio estaba analizar la creatividad de los sujetos en relación con esta capacidad de inventar problemas matemáticos. Para la ocasión elaboran un test en el que los estudiantes para profesores debían de inventar problemas aritméticos a partir de situaciones presentadas en forma de narración o historia. Analizan el orden de las palabras utilizadas en los problemas, la presencia o ausencia de información numérica específica para poder resolver el problema, presencia, o no de información numérica irrelevante. Entre sus resultados encuentran que por lo general los sujetos dan respuestas razonables. Proponen problemas en un 98% de los casos. La mayoría de los problemas propuestos son plausibles, tienen información suficiente y son de varios pasos. Los sujetos de este estudio proponen problemas que no solo son resolubles sino que son un tanto complejos. Si bien se observa una falta de sofisticación en los problemas propuestos.
Ayllón (200 4 ) presenta un estudio a partir de una experiencia llevada a cabo con futuros profesores de Educación Primaria, en la que se les propone inventar tres problemas aritméticos cuyos datos han de pertenecer, uno al conjunto de los números naturales, otro al de los enteros negativos y otro al conjunto de los números racionales.
Como resultado de los distintos análisis aplicados a los problemas inventados por los maestros en formación, obtuvo los siguientes resultados: La tarea de inventar problemas resultó de gran interés para los alumnos. Mediante esta actividad los futuros profesores adquirieron conocimiento didáctico. Se obtuvo información sobre: los conceptos numéricos y las capacidades que sobre la aritmética y el sentido numérico poseían los profesores en formación. Ningún alumno manifestó haber realizado tal tarea alguna vez, por lo que se consideró que la invención de problemas no es una práctica habitual en los centros educativos. Los maestros en formación tienen capacidad para formular problemas tanto aditivos como multiplicativos, de una o más etapas, pero prefieren al generar sus problemas optar por los aditivos de más de una etapa.
Casi todos los problemas inventados pueden ser considerados como “problemas típicos escolares”. El desarrollo de esta actividad ayudó a los estudiantes a comprender qué es un problema y qué características han de tener.
establecen entre ellos, ya sea dentro o fuera de las operaciones. En 1998, Cázares, Castro y Rico a partir de situaciones ficticias de compra-venta analizan las producciones de un grupo de alumnos de todos los cursos de primaria y establecen cuatro niveles de desarrollo evolutivo de la competencia aritmética de los estudiantes manifestada en el proceso de invención de problemas aritméticos. Fitzsimmons (2010) reporta dos experimentos con estudiantes de noveno grado. En el primero de ellos, a los estudiantes (6 sujetos) se les proporcionó una historia acompañada de un diagrama y se les propuso plantear y resolver problemas con conceptos específicos. En el segundo, a los sujetos (6), a través de entrevistas con duración de 60-70 minutos, se les pidió que inventasen problemas similares a los que aparecen en los libros de texto que posteriormente debían de poner en situación. Posteriormente debían resolver los problemas propuestos.
IEF) Lin (2004) presenta un trabajo realizado con profesores de aula inmersos en un proyecto que trata de realizar una evaluación integral de la instrucción. La participación en el proyecto obliga a los profesores a generar tareas matemáticas que incluyan: a) un método de evaluación que permita a los estudiantes manifestar su fortaleza; b) estimular a los estudiantes a hacer conexiones entre ideas matemáticas; c) promover alta cualidad en la invención de problemas, la justificación y formas de pensamiento; d) generar tareas creativas que unan procesos y conceptos matemáticos; e) generar tareas para evaluar qué y cómo los estudiantes aprenden de una lección. Lin (2004), en este trabajo se centra en analizar los problemas propuestos por los estudiantes y las dificultades que los profesores de dichos estudiantes perciben en ellos cuando realizan la tarea. Las tareas desde las cuales los estudiantes proponían problemas pertenecían a cuatro categorías: 1) sentencias numéricas; 2) representación pictórica; 3) lenguaje matemático; 4) colección de varias soluciones tomadas de las lecciones de cada día. Entre las conclusiones destaca que el estudio ayudó a los profesores a entender que el proponer problemas es un proceso natural del aprendizaje de las matemáticas.
Akay y Boz (2010) realizan un trabajo donde investigan la influencia que sobre la actitud hacia las matemáticas de 82 profesores en formación ejerce la instrucción sobre formulación de problemas. Se trata de un diseño experimental con pretest, postest y una instrucción de 60 horas repartidas en 10 semanas. Los datos se analizan mediante técnicas estadísticas y se constata que la actitud de estos estudiantes para profesores hacia la matemática mejora significativamente después de la instrucción.
Métodos de enseñanza
IMN) En los trabajos incluidos en este apartado, se trata de indagar cómo la invención de problemas influye en el aprendizaje matemático. Song, Yim, Shin, y Lee, (2007) utilizan la estrategia llamada “¿Qué ocurriría si?” que sugieren Brown y Walter (1990) para estudiar si a través del juego NIM los estudiantes inventan problemas. Su análisis les lleva a proponer este juego como método de trabajo en el aula, para la enseñanza de invención de problemas. Hsu, Wuc, Wong, Yang, y Hsu, (2005) proponen un sistema metodológico que ayude al profesorado en la instrucción de invención de problemas. Señalan que la enseñanza de invención de problemas requiere más tiempo de dedicación del profesorado al alumnado, pues igual que la resolución de un problema se puede enseñar a un grupo de alumnos a la vez, esta forma de trabajo no es recomendable en la invención de problemas.
IMF) En 1999 Abu-Elwan analiza el beneficio que aporta la invención sobre la resolución de problemas en maestros en formación, quien asegura que la invención de problemas mejora el rendimiento de los alumnos en la resolución de problemas. Abu- Elwan reporta un estudio cuyos objetivos eran desarrollar habilidad de inventar
problemas en profesores de grados medios y proporcionar un discurso sobre formulación de problemas que pueda ser usado por estos profesores en sus aulas. La experiencia la llevaron a cabo con 60 estudiantes futuros profesores de secundaria separados en tres grupos de 20 estudiantes por grupo. Un grupo actuó de control y en los otros dos grupos se llevó a cabo un tratamiento diferente. El tratamiento en uno de los grupos fue mediante trabajo con problemas de un libro de texto y en el otro grupo el tratamiento se hizo dando situaciones semiestructuradas. Se les realizó pretest a los tres grupos y un postest después de 4 semanas de tratamiento. Los resultados obtenidos muestran diferencias significativas de medias entre pretest y postest de los grupos sometidos a tratamiento así como diferencias significativas en las medias de los resultados de postest de cada uno de los grupos tratados con el que no se realizó tratamiento. Crespo (2003) presenta un trabajo realizado sobre invención de problemas. Se trata de instruir a profesores de primaria en formación sobre la práctica de esta tarea en sus futuras aulas. Entre sus objetivos está el estudiar los cambios producidos en los problemas que proponen para sus alumnos durante la instrucción realizada a través de un curso. Concretamente trata de dar respuesta a las tres preguntas siguientes: ¿Cómo son los problemas que los estudiantes para profesor proponen a sus alumnos? ¿Cómo cambia esta práctica? ¿Qué factores contribuyen a esta práctica? El curso se programó para 11 semanas. Cada semana incorporaba un seminario y una clase de experiencia de campo. En cada seminario los futuros profesores se les comprometía con quehaceres matemáticos) como resolver problemas y discutir soluciones y métodos y exploraciones pedagógicas (análisis del valor en la instrucción del problema, anticipación del trabajo de los alumnos, reordenar los problemas para los diferentes grados). Se trataron tres temas pedagógicos, enseñanza por comprensión, diseño y análisis de tareas matemáticas y dotar de sentido el pensamiento de los niños. El tema matemático fue pensamiento multiplicativo (razonamiento sobre proporción, multiplicación y división, porcentaje y valor relativo). Los problemas que los profesores en formación enuncian en las primeras sesiones generalmente admiten una sola respuesta y son resueltos con un cálculo simple. Los nuevos problemas inventados con posterioridad los considera la autora más “audaces” se trata de problemas que requieren más que una operación aritmética (abiertos, extensión de una cuestión aritmética, animar a la exploración). Lavy & Bershadsky (2003) reportan un estudio de generación de problemas de geometría por profesores en formación. En esta investigación, mediante la invención de problemas, los autores clasifican los tipos de enunciados en función del cambio de datos. Proporcionan un conjunto de componentes y organizaciones para la categoría de problema sugerido y así el investigador puede usarlos como base para el análisis en las categorías de problemas que son propuestos por los estudiantes. Los investigadores también hacen uso de la estrategia ¿Qué pasa si no?, estrategia para estudiar un conjunto de problemas que son generados al analizar las producciones inventadas por los futuros profesores sobre la geometría del espacio.
Conclusión
Indica Kilpatrick (1987) que la formulación de problemas es una componente importante de la resolución y que ha recibido poca atención explícita en el currículo de matemáticas. También la investigación ha tendido a ignorar los procesos de formulación de problemas y esto viene de lejos, recoge unas ideas de Getzel (1979) sobre este particular que indican que hay docenas de afirmaciones teóricas, cientos de instrumentos psicométricos y miles de estudios empíricos sobre resolución de problemas, pero pocos y nada sistemáticos estudios sobre invención de problemas. La ciencia cognitiva provee de algunas ideas sobre formulación de problemas pero mucha de la literatura está relacionada con la reformulación de problemas ya formulados o de
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