Introducción a la Teoría de Probabilidades: Conjuntos y Teorema de Bayes, Apuntes de Probabilidad

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ELABORADO POR: ING. JOSÉ DE JESÚS TORRES COTA

PLANTEL 05, Cd. Constitución. Núm. De Cel. :

Cuadernillo de trabajo

Propósito de la asignatura:

Tiene como propósito general desarrollar el pensamiento lógico-matemático mediante su análisis de eventos probabilísticos en situaciones contextualizadas perdiéndole la toma de decisiones en eventos futuros de su vida. Tomando en cuenta los ejes del campo disciplinar de matemáticas propuestos por el nuevo modelo educativo es pertinente que el estudiando desarrollo el pensamiento estocástico a partir del manejo de la información considerando el riesgo, la inferencia y la aleatoriedad de los elementos probabilísticos, lo anterior permitirá abonar al desarrollo del perfil de egreso y así facilitar su ingreso a nivel superior.

CONTENIDO PÁGINA

Bloque I: Probabilidad 3 Bloque II: Distribuciones de probabilidad 31 Bloque III: Modelos probabilísticos 48

Probabilidad y Estadística. INTRODUCCION

¿Cuál es la posibilidad de ver una estrella fugaz? ¿Cuál es la posibilidad de que llueva mañana? ¿Ganaré la lotería algún día? Cuando queremos saber si un evento o suceso es posible o no, recurrimos a la probabilidad. Así, la probabilidad es el valor numérico que nos sirve para determinar la ocurrencia o no de una situación dada.

Por ejemplo, cuando lanzamos una moneda al aire, existe una probabilidad de 0,50 que obtendremos águila o sol (cara o cruz en algunos países). En una pregunta de verdadero o falso, tenemos una oportunidad de 50-50 de contestar correctamente si escogemos la respuesta al azar, esto es, la probabilidad es de 0,50.

También cuando decimos que en una caja de fósforos existe un 1% de que un fósforo no se encienda, lo expresamos como una probabilidad de 0,01. Esto es que en 100 veces que frotamos un fósforo, al menos uno no se encenderá.

Probabilidad y estadística.

La probabilidad y la estadística van de la mano. De hecho, la probabilidad representa las bases para la construcción de la estadística inferencial.

La estadística inferencial es una parte de la estadística que, valiéndose de métodos probabilísticos, predice los resultados de una población, basándose en los datos de una muestra de esa población.

Un ejemplo interesante es el estudio realizado por Subagia y colaboradores, donde examinaron las configuraciones de los helicópteros y la probabilidad de accidentes. Estos investigadores identificaron que los helicópteros con cuatro aspas tienen la probabilidad más baja de accidentes.

Conceptos básicos de probabilidad.

Para poder comprender qué probabilidad hay de que acontezca algo, existen algunas notaciones y conceptos claves en el estudio de la probabilidad:

● La probabilidad se denota con la letra P.

● Un suceso es cualquier conjunto de resultados o consecuencias de un procedimiento. Por ejemplo, lanzar dos dados y obtener 6 y 6. ● Un suceso simple es un resultado o un suceso que ya no puede desglosarse en componentes más simples. Por ejemplo, que salga el número 6 cuando lanzamos un dado. ● El espacio muestral de un procedimiento son todos los posibles resultados. Es decir, el espacio muestral está formado por todos los resultados que ya no puede desglosarse más. Por ejemplo todos los posibles resultados de lanzar dos dados:

1 2 3 4 5 6

1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6

2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6

3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6

4 4, 1 4, 2 4, 3 4 , 4 4, 5 4, 6

5 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6

6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6

● Los sucesos específicos se denotan por A, B o C. P(A) denota la probabilidad de que ocurra el suceso A. ● La probabilidad de un suceso imposible es 0. Por ejemplo, conseguir agua en el Sol tiene una probabilidad de 0.

Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar.

A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.

Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo].

Teoría de conjuntos.

La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia a los conjuntos. Fue introducida como disciplina por el matemático ruso Georg Cantor, quien definió al conjunto como la colección de elementos finitos o infinitos y lo utilizó para explicar las matemáticas.

Cantor estudió el conjunto de números racionales y naturales y fue revolucionario su descubrimiento de los conjuntos de números infinitos , ya que develó la existencia de infinitos de diferentes tamaños al asegurar que siempre se puede encontrar un infinito mayor.

Los descubrimientos de Cantor no fueron bien recibidos en el ámbito matemático de finales del siglo XIX. Sin embargo, hoy es considerado un visionario en el estudio de lo que él denominó los transfinitos, estudio que contribuyó al de los conjuntos abstractos e infinitos.

Tipos de conjuntos.

Conjuntos y subconjuntos:

Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en B.

Por ejemplo:

● Los mamíferos son un subconjunto del conjunto animales. ● Los números impares son un subconjunto del conjunto números naturales. ● Los países de América del Sur son un subconjunto del conjunto países del mundo. ● Los meses de primavera son un subconjunto del conjunto meses del año. ● Los niños de primer grado son un subconjunto del conjunto de niños de la escuela.

Operaciones con conjuntos:

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

● Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. ● Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. ● Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. ● Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes. ● Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A ∁^ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. ● Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados ( a , b ) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B

Ejemplo 3.

Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que

juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Ejemplo 4.

Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría

Intercepción.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, serán excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.

Ejemplo 1.

Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Ejemplo 2. Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Diferencia de conjuntos.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

Ejemplo 4. Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de B con F, será B-F={x/x estudiantes que sólo juegan básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Diferencia de simétrica de conjuntos.

Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.

Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Ejemplo 2. Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Complemento de un conjunto.

Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.

Ejemplo 1. Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

3- U= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

A= { 1 , 2 , 5 , 6 , 9 , 10 }

B= { 1 , 3 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 }

a) A U B b) A ⋂ B c) A — B d) B – A e) A^ f) B^

4- A= { 3 , 4 , 5 , 8 , 9 } B= { 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } a) A U B b) A ⋂ B c) A – B d) B – A 5- A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12, 14 } B = { 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 }

a) U— A b) A— B c) A^ d) B^

6- A= { 3 , 4 , 5 , 8 , 9 } B= { 5 , 7 , 8 , 9 , 10 } a) A U B b) A ⋂ B c) A – B

d) A^

7- A= { 1 , 2 , 3 ,4, 6 } B = { 3 , 5 , 6 , 7 , 9 } U= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 } a) A U B b) A ⋂ B c) A – B d) A^ e) ( A – B) U ( B – A ) f) ( A – B ) ^ g) ( A ⋂ B ) ^

8- Sí A= {3,4,5,6,7} y B= {6,7,8,9}. Determinar a) A ∪ B = b) A ∩ B=

9- A={2,4,6,8,10,12,14}, B= {3,6,9,12,15} y U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}. Determinar a) A ∪ B = b) A ∩ B= c) A’= d) B’=

10- En el aula de clase hay 34 alumnos, de los cuales 21 son aficionados al futbol, 18

aficionados al baloncesto y 10 aficionados a ambos deportes. ¿Cuántos no son

aficionados a ninguno de los deportes? ¿A cuántos estudiantes les gusta un solo

deporte?

De dos conjuntos: Tiene un total de 4 regiones: Las regiones con los elementos que solo pertenecen al conjunto A o solo al conjunto B, la región de los elementos que pertenecen a los dos conjuntos (sombreado con el color plomo más oscuro), y la región donde están los elementos que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos.

De tres conjuntos: Siguiendo la lógica de la categoría anterior, tiene un total de ocho regiones, pues hay cuatro intersecciones (entre dos o entre los tres conjuntos), tres regiones donde están los elementos que pertenecen a solo uno de los tres conjuntos, y una región donde se ubican los elementos que no pertenecen a ningún conjunto.

PROBLEMARIO DE DIAGRAMA DE VENN

1- En una aula hay 60 alumnos de los cuales a 7 no les gusta ni geometria ni aritmetica y a 35 les gusta aritmetica a cuantos les gusta geometria, si a los que les gusta ambos cursos son a 10

2- A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta respecto a sus juguetes favoritos.La encuesta arrojó los siguientes resultados:

▪ A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87 les gustaban los videojuegos.

▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba mas de un juguete: 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos; por ultimo 7 expresaron su gusto por los tres.

a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la encuesta?

b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos?

c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón?

3- En un aula hay 34 alumnos, de los cuales 21 son aficionados al futbol, 18 al baloncesto, y 10 a ambos deportes.

-¿Cuántos no son aficionados a ningún deporte? ______________

-¿A cuántos les gusta un solo deporte? _____________________