Intervalo de Confianza: Concepto, Definición y Aplicaciones en Estadística, Apuntes de Estadística

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INTERVALO DE

CONFIANZA

Concepto

■ El parámetro poblacional es frecuentemente un valor desconocido que solo puede ser estimado usando los dotas obtenidos de una Muestra. ■ (^) De ahí que resulta necesario determinar con cierto grado de certeza cual puede ser el verdadero parámetro.

Intervalo de confianza

Resumen

■ (^) En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.

La distribución

■ (^) Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, ■ (^) Es habitual que el parámetro se distribuya normalmente

Intervalo de confianza para la media de una población

■ De una población de media μ y desviación típica σ se

pueden tomar muestras de n elementos. Cada una

de estas muestras tiene a su vez una media (). Se

puede demostrar que la media de todas las medias

muestrales coincide con la media poblacional:[2]

■ Pero además, si el tamaño de las muestras es lo

suficientemente grande,[3]^ la distribución de medias

muestrales es, prácticamente, una

distribución normal (o gaussiana) con media μ y una

desviación típica dada por la siguiente expresión:.

Esto se representa

Distribución

■ De forma estandarizada

Nivel de Confianza

■ (^) La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza , y se denota 1-. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- =95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los intervalos con =10% o =1%.

■ (^) Luego, si una variable X tiene distribución N(μ, ), entonces el 95% de las veces se cumple:

Despejando en la ecuación se tiene:

Ejemplo: ■ (^) Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 perros de una escala de precisión al capturar un objeto (mayor puntaje significa mayor precisión). 2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20

Construcción

■ (^) Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional, asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza poblacional desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s =18,7. Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis. ■ (^) Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales. ■ Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población de primates es igual a la media nacional de 3250 gramos.

DATOS

■ (^) Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo: ■ (^) = 2930 s = 450 n = 30