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GUÍA PRACTÍCA-Ínteres Compuesto-Prof. María Arévalo
2.- En determinada institución financiera se invierten $ 2.000,00 a ganar interés compuesto en régimen de capitalización anual, por un lapso de 6 años. La tasa de interés que aplica la institución es del 5% anual para los primeros 4 años y otra tasa igual al 7% anual para el resto del tiempo.
Adicionalmente a lo anterior, se realizará un depósito al final del segundo año por $ 300,00; un retiro de $200,00 al final del cuarto año. Otro depósito al final del quinto año por $500 y otro al final de toda la operación por $ 700,00. Determine :
a) El monto ahorrado al final b) Los intereses que se generan entre el tercer y sexto año. Ambos inclusive. c) Los intereses que se generan entre el tercer y sexto año, excluyendo los del tercer año e incluyendo los del sexto año.
Solución
Lo primero que hay que hacer es la gráfica, para visualizar mejor la operación financiera
M 6 M 5
M 4
M 3
M 2
M 1
2.000 I 2 300 I 3 I 4 I 5 500 I 6 700
0 1 2 3 4 5 6 Años
200 i=0,05 i=0,
Como la operación dura 6 años, la gráfica debe tener 6 períodos e identificamos que son años (si el ejercicio indicara que son meses, colocaríamos meses - si indicara trimestres, colocaríamos trimestres, y así dependiendo de la frecuencia de capitalización). Adicionalmente, las tasas son diferentes, por lo tanto, se coloca la primera tasa desde el “0” hasta el período “4” y la segunda tasa para el tiempo restante.
Parte a)
En la parte “a” nos piden hallar el Monto ahorrado al final de la operación; al observar la gráfica visualizamos que el final es el año 6, por lo tanto nos están pidiendo el Monto ahorrado al final del sexto año, es decir M 6 (también llamado Monto parcial 6). Buscamos la fórmula para calcular el Monto ahorrado en la guía de teoría que les envié la semana pasada, y nos encontramos con esto:
Fórmula para hallar el Monto parcial, si la frecuencia es anual: Mn = C (1+i)n
Verifico que tengo todos los datos y los sustituyo:
M 6 = 2.000,00 (1 + 0,05)^4 (1 + 0,07)^2 + 300 (1 + 0,05)^2 (1 + 0,07)^2 - 200 (1 + 0,07)^2 + 500 (1 + 0,07) + 700 M 6 = 2.783,27 + 378,68 - 228,98 + 535 + 700 M 6 = 4.167,
Al sustituir las tasas de interés, les quitamos el porcentaje dividiendo entre 100, por eso nos quedan i=0,05 (para los primeros 4 años) y i=0,07 (para el resto del tiempo)
Observen como se ha transformado la formula Mn = C (1+i)n, al sustituir los datos de este ejercicio. Analicemos cantidad por cantidad:
*Capital inicial o depósito inicial de $2.000,00:
M 6
2.000 I 2 300 I 3 I 4 I 5 500 I 6 700
0 1 2 3 4 5 6 Años
200 i=0,05 i=0,
Cómo esta cantidad está realizada al inicio de la operación y la debo capitalizar hasta el período 6, porque nos están pidiendo el M6, entonces la trabajo así: Del 0 al 6 hay 6 períodos, pero los primeros cuatro períodos están con una tasa, entonces paramos en ese período 4 y luego se continúa con los dos períodos restantes porque esos están afectados por la otra tasa, por lo tanto el planteamiento queda: 2.000,00 (1 + 0,05)^4 (1 + 0,07)^2
Si NO hubiera habido cambio de tasa , sencillamente hubiéramos dicho, del 0 (que es donde están ubicados los 2.000), al 6 (por que es el Monto que nos están pidiendo), hay 6 períodos y hubiera quedado así: 2.000,00 (1 + i)^6
*Depósito de $500 ubicado al final del quinto año:
M 6
2.000 I 2 300 I 3 I 4 I 5 500 I 6 700
0 1 2 3 4 5 6 Años
200 i=0,05 i=0,
Cómo esta cantidad es un depósito, nos preguntamos ¿si yo deposito, que le pasará al Monto ahorrado al final?, la respuesta es que eso Monto ahorrado aumentará, entonces por esto, debemos colocar los depósitos sumando. Este depósito está realizado al final del año 5 y lo debo capitalizar hasta el período 6, porque nos están pidiendo el M6, entonces lo trabajo así: Del 5 al 6 hay 1 períodos, y ese período está afectado sólo por la segunda tasa, por lo tanto el planteamiento queda:
*Depósito de $700 ubicado al final del quinto año:
M 6
2.000 I 2 300 I 3 I 4 I 5 500 I 6 700
0 1 2 3 4 5 6 Años
200 i=0,05 i=0,
Cómo esta cantidad es un depósito, nos preguntamos ¿si yo deposito, que le pasará al Monto ahorrado al final?, la respuesta es que eso Monto ahorrado aumentará, entonces por esto, debemos colocar los depósitos sumando. Este depósito está realizado al final del año 6 y lo debo capitalizar hasta el período 6, porque nos están pidiendo el M6, entonces lo trabajo así: Del 6 al 6 hay 0 períodos, por lo tanto el planteamiento queda:
Conclusión:
Para hallar un Monto ahorrado o un Monto Parcial, los depósitos se suman y los retiros se restan, y se capitalizan desde el período que están ubicados hasta el período del Monto que estemos calculando.
Y la fórmula quedaría:
Capitalizados
Mn = C (1 +i)n^ + Depósitos – Retiros
Cuando decimos “Capitalizados”, es que a esas cantidades hay que multiplicarlas por el “factor de capitalización”, es decir, (1 +i)n
I [3,6] = (M 6 – M 2 ) – 500 - 700 + 200
I [3,6] = (4.167,97– 2.505 ) -500 -700 +
I [3,6] = 662,
Es decir, que entre el año 3, 4, 5 y 6 se generaron por concepto de intereses $ 662,97.
NOTA: Fíjense que en la fórmula de Interés para hallar un intervalo, los depósitos y retiros que se restan y se suman al final respectivamente “NO SE CAPITALIZAN”, es decir, sólo se coloca la cantidad del depósito y del retiro, sin multiplicarlo por el “factor de capitalización”
Tengan en cuenta que para saber qué depósitos vamos a restar y qué retiros vamos a sumar (en la fórmula de interés de intervalo), lo que se debe hacer es visualizar bien de donde a dónde va el intervalo.
En esta parte “b”, el intervalo es del 3 al 6, ambos inclusive….es decir, que si en el período 3 hubiera existido un depósito o retiro “SI” lo tomo en cuenta para esta parte de la fórmula, porque hay que incluir lo que esté en el 3. (Este análisis sólo para la fórmula de interés de intervalo). En este caso específico, encontramos un retiro en el 4 (lo sumamos), encontramos un depósito en el 5 (lo restamos) y otro depósito en el 6 (lo sumamos también).
Parte c)
Los intereses que se generan entre el tercer y sexto año, excluyendo los del tercer año e incluyendo los del sexto año.
2.000 I 2 300 I 3 I 4 I 5 500 I 6 700
0 1 2 3 4 5 6 Años
200 i=0,05 i=0,
Fíjense que el intervalo está abierto en 3 y cerrado en 6, es decir no incluye los intereses del período 3, y por eso la gráfica queda así:
Para hallar los intereses de este intervalo de tiempo, encontramos la siguiente fórmula en la guía anterior:
No se capitalizan
I (a,b] = (Mb – Ma ) – Depósitos (a,b] + Retiros (a,b]
Sustituyendo con los datos de este ejercicio, quedaría: I (^) (3,6] = (M 6 – M 3 ) – Depósitos (3,6] + Retiros (3,6] I (^) (3,6] = (M 6 – M 3 ) – 500 - 700 + 200
Como hay depósitos y retiros, la fórmula se extiende, tal como se indicó en la parte “b”. Cuando vamos a sustituir nos damos cuenta que ya tenemos M 6 y nos falta M 3 , por lo tanto procedemos a calcular el M 3 con la fórmula ya conocida:
Capitalizados
Mn = C (1 +i)n^ + Depósitos – Retiros
M 3 = 2.000,00 (1 + 0,05)^3 + 300(1 + 0,05) M3 = 2.630,
¿Qué contiene el Monto 3?...
M 6 M 3
Para Crecimiento Personal y Espiritual:
«Cada vez que podamos, hagamos bien a todos» (Gal. 6, 10).
“Si amamos de verdad, Dios mismo llena nuestro corazón con su amor” (Rom. 5, 5),
y “este amor nos empuja a amar a todos los hombres, a no ofender al prójimo” (Mt. 5, 21-
Canción recomendada:
“El arrepentido” de Melendi y Carlos Vives
