Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
En este documento se presenta el proceso para obtener la pendiente y el punto de corte de una recta que mejor aproxime una nube de puntos experimentales. Se utiliza la ecuación de las desviaciones cuadráticas y se calculan las derivadas parciales para encontrar la pendiente y el intercepto. Se ilustra el proceso con un ejemplo de datos registrados de un resorte.
Qué aprenderás
Tipo: Diapositivas
1 / 23
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
CURSO
DOCENTE
2.1 Objetivos Generales
En la siguiente práctica se desea que el estudiante realice una calibración estática de un resorte.
Por el método de mínimos cuadrados encontrar la constante elástica de resorte.
2.2 Objetivos Específicos
1 Usar un resorte como dispositivo para medir fuerzas.
(^2) Verificar experimentalmente las condiciones que cumplen las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuando éste está en equilibrio.
(^3) Con un ejemplo sencillo, apreciar la importancia de los conceptos de fuerza y equilibrio en ingeniería.
(^4) La introducción al método de Mínimos Cuadrados trata de motivar al alumno presentando la particular historia que propició su descubrimiento por parte de Gauss.
5 La versión determinista del método que responde a un problema de aproximación. Una gran parte de la exposición se dedica a este punto pues la simplicidad en la formulación del método
(^6) determinista de mínimos cuadrados lo hace ideal para presentar de una forma coherente y concisa muchos conceptos y sus interrelaciones.
1 Soporte
(^2) Resorte
(^3) Cronómetro
(^4) Regla
(^5) Pesas de ranura
Figura 3.1: Instrumentos Utilizados en el laboratorio
6
ambas magnitudes de la siguiente forma:
y = a. x + b (4.1)
en donde a es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje.^1
Página 3 de 12
( x (^) 1 , y 1 ) (, x 2 , y 2 ),..., ( xN , yN )por una recta general, que no necesariamente pase por el
Figura 4.1:
La distancia de cada punto del gráfico a la recta tendrá la expresión εi = axi − yi .Luego calculemos la suma de las distancia de cada punto del gráfico a la recta elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca esta la recta de los datos experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión:
∑^ n
k = 1
ε^2 i
∑^ n
k = 1
( a. xi + b − yi )^2
∑^ n
k = 1
( a^2 x^2 i + b^2 + y^2 i − 2 axiyi − 2 byi + 2 abxi )
∑^ n
k = 1
( a^2 x^2 i ) +
∑^ n
k = 1
( b^2 ) +
∑^ n
k = 1
( y^2 i ) −
∑^ n
k = 1
( 2 axiyi ) −
∑^ n
k = 1
( 2 byi ) +
∑^ n
k = 1
( 2 abxi )
E = a^2
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
( (^) n ∑
k = 1
y i^2
− 2 a
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
− 2 b
( (^) n ∑
k = 1
yi
( (^) n ∑
k = 1
xi
Observemos que la desviación cuadrática de los puntos respecto a la recta es una función de la recta, cada recta (o sea cada pendiente a y punto de corte b ) genera distancias de cada punto (^1) a y b son los valores que deseamos hallar.
7
a dicha recta y por ende un valor de su suma al cuadrado. Lo que deseamos obtener es la recta (calcular la pendiente a y punto de corte b ) que minimice dicha función, o sea, obtener la recta que, en cierto sentido, esté más cerca de los puntos experimentales.
La función E depende de dos variables, a y b , y debemos encontrar la pareja de valores que la minimizan. La obtención estos valores a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b , para lograr dicho objetivo, debemos imponer la siguiente condición de extremo
∂E ( a , b ) ∂a
∂E ( a , b ) ∂b
Calculando la derivadas parciales de la ecuación (4.3) donde E esta en función de a y b :
∂E ( a , b ) ∂a
a
2
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
b^2
( (^) n ∑
k = 1
∑ n
k = 1
y^2 i
− 2 a
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
2 b
( (^) n ∑
k = 1
yi
( (^) n ∑
k = 1
xi
∂a =^0 Hallando la ecuación parcial con respecto a a :
2 a
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
− 0 + 2 b
( (^) n ∑
k = 1
xi
2 a
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
xi
Despejando a :
^2 a
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
− (^) 2 b
( (^) n ∑
k = 1
xi
a =
∑^ n
k = 1
xiyi − b
( (^) n ∑
k = 1
xi
∑^ n
k = 1
x^2 i
Reemplazando E en la ecuación (4.2) :
9
a =
n
∑^ n
k = 1
xiyi −
( (^) n ∑
k = 1
yi − a
∑^ n
k = 1
xi
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
∑^ n
k = 1
x^2 i
a. n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
= n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
( (^) n ∑
k = 1
xi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
a. n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
= n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
( (^) n ∑
k = 1
xi
a. n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
− a
( (^) n ∑
k = 1
xi
= n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
a
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
(^) = n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
a =
n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) ∑ n
k = 1
x^2 i
−
( (^) ∑ n
k = 1
xi
Reemplazamos la ecuación (4.7) en (4.6) :
b =
∑^ n
k = 1
yi −
n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
b =
( (^) n ∑
k = 1
yi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
−
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
)] ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
−
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
10
b =
( (^) n ∑
k = 1
yi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
)] ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
b =
n
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
− n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
b =
n
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
− n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
b =
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
En conclusión hemos encontrado las la pendiente a y el punto de corte con el eje y , b , de la recta de la forma y = ax + b que mejor aproxima los datos experimentales. Llegamos a la conclusión que la pendiente y el punto de corte con el eje y de la recta minimiza la suma de las distancias al cuadrado de los valores experimentales a la recta (la recta que en cierto modo más se aproxima a los valores experimentales).
4.2 ECUACIÓN EMPÍRICA PARA PÉNDULOS
Para la ecuación del periodo T del péndulo simple tenemos:
T = 2 π
g
o bien:
T =
2 π √ g L^1 /^2 (4.10)
Si en esta ecuación se reemplaza el coeficiente de L ( √^2 πg ) por la constante k y el exponente de L por la constante n , se tiene una expresión general, la cual se llama ecuación empírica del periodo
5.1 Calibración Estática de un Resorte
Se cuelga el resorte del soporte, estando este descargado, a continuación se le coloca el porta pe- sas(previamente pesado) y se registra el alargamiento sufrido por el resorte. Después se le colocar pesos adicionales conocidos(preferiblemente iguales) sobre el platillo del porta pesas y se registran los alargamientos sucesivos del resorte una vez se establece el equilibrio.
Se sabe que en cada posisción de equilibrio la fuerza F que ejerce el resorte es igual al peso del sis- tema. En consecuencia, si suponemos que la fuerza que el resorte ejerce depende de la deformación x del resorte, F ( x ), se puede entonces representar en un diagrama la fuerza que el resorte ejerce en cada posición de equilibrio y la deformación x del resorte en esa posición.
Ahora si la nube de puntos sugiere una zona en la cual se pue-
Técnicas experimentales de Física General 2/
Los datos y su interpretación
x (^) i yi 1 1. 2 2. 3 4. 5 4. 6 4. 8 8. 9 8. 10 9. 0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 x(unidades)
y(unidades)
¿Se comportan los pares de medidas visualmente según una línea recta? ¿Hay algún punto que presente un comportamiento anómalo?
Figura 5.1: Ajuste por míni- mos cuadrados
de aproximar a una recta, puede hacese un ajuste por mínimos cuadrados , es decir, se puede encontrar una linea recta F = k. x + b tal que se minimicen las desviaciones cuadráticas medias de las medidas con respecto a la recta. En general, habrá que desechar (para estudiar luego con cuidado), las mediciones co- rrespondientes a peque ños alargamientos x del resorte, pues la experiencia nos ha demostrado (y usted debe demostrarlo) que ningún resorte real es lineal en las vecindades de su longitud na- tural.
Así una vez elegida la nube de puntos que se quiere aproximar a una recta, se procede a hacer el ajuste para que la suma de
las desviaciones cuadráticas S =
∑^ n
k = 1
[ Fi − ( Kxi + b )]^2 sean míni-
mas.
Para ello se demostró en el Capítulo 4 que :
13
F = K. x + b muestra la mínima desviación cuadráticas medias de las medidas tomadas. donde:
K: Es la constante del resorte en la zona considerada lineal. b: Es el intercepto con el eje F.
n
( (^) n ∑
k = 1
xiFi
( (^) n ∑
k = 1
Fi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
−
( (^) n ∑
k = 1
xi
b =
( (^) n ∑
k = 1
Fi
) ( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiFi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
F = K. x + b
Tabla de Datos y Cálculos: Para el peso se considero g = 9,81 m / s^2
Masa(m) Longitud(l) Peso( Fi ) xi xiFi x^2 i 100 20.6 981.00 3.3 3237.3 10. 120 21.3 1177.20 4 4708.8 16 150 21.9 1471.50 4.6 6768.9 21. 170 22.9 1667.70 5.6 9339.12 31. 190 23.4 1863.90 6.1 11369.79 37. 200 23.6 1962.00 6.3 12360.6 39. 300 26.6 2943.00 9.3 27369.9 86. 350 28.2 3433.50 10.9 37425.15 118. 250 25.2 2452.50 7.9 19374.75 62. 50 19.2 490.50 1.9 931.95 3. = 18442.8 = 59.9 = 132886.26 = 427.
15
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Minimos cuadrados lineales
Datos Lineal
Gráfica obtenida por el método de mínimos cuadrados
5.2 Péndulo Simple
16
Tiempo de 10 Tiempo Periodo de Longitud (cm) oscilaciones (s) Promedio oscilaciones (s) t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 10 7.16 7.53 7.32 7.36 7.30 7.33 0. 15 8.88 9.34 8.88 8.90 8.85 8.97 0. 20 10.50 9.91 9.98 10.00 10.00 10.08 1. 25 11.00 11.31 11.10 11.19 11.10 11.14 1. 27 11.13 11.48 11.35 11.14 10.40 11.10 1. 30 11.86 11.67 11.85 11.80 11.90 11.82 1. 35 12.45 12.80 12.54 12.52 12.80 12.62 1. 40 13.50 13.56 13.34 13.53 13.40 13.47 1. 45 13.79 13.97 13.97 13.96 14.10 13.96 1. 55 15.29 15.29 15.28 15.23 15.40 15.30 1.
Periodo por formula experimental
x = longitud y = T xiyi x^2 i 10 0.7334 10 100 15 0.897 22.5 225 20 1.0078 40 400 25 1.114 62.5 625 27 1.11 72.9 729 30 1.1816 90 900 35 1.2622 122.5 1225 40 1.3466 160 1600 45 1.3958 202.5 2025 55 1.5298 302.5 3025 =302 = 11.578 = 379.204 = 10854
Datos para emplear mínimos cuadrados
Reemplazando los valores para hallar la ecuación empirica y = ax + b
a =
n
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
) 2 ;^ b^ =
( (^) n ∑
k = 1
yi
) ( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xiyi
) ( (^) n ∑
k = 1
xi
n
( (^) n ∑
k = 1
x^2 i
( (^) n ∑
k = 1
xi
6.1 Explique en breves palabras qué es K de un resorte
Constante de proporcionalidad conocida como constante de rigidez, su valor es característica para cada resorte y depende de las dimensiones y del material del que fue fabricado.Su unidad es el ( N / m ) y en algunos casos se puede expresar en ( N / cm ).
6.2 Demuestre que la constante elástica de dos resortes de
Figura 6.1: Diagrama de Cuerpo libre para la demostración
19
En la fig. 4 d se a despreciado el peso de los resortes:
fy = f
′ 1 −^ f^ =^0 (6.1)
fy = f
′ 2 −^ f^^2 =^0 (6.2)
Y por la tercera ley de Newton. f ′ = f 2 y por tanto f = f 1 = f 2 De la fig. 4 c podemos concluir que la deformación resultante experimental del sistema en serie (∆ xs ) es: ∆ xs = x 1 + x 2
De manera que: k ( serie experimental ) =
f ∆ xs
Cada resorte y el sistema total cumplen la ley de Hooke, por lo que la relación anterior la podremos escribir,
f ks
f 1 k 1
f 2 k 2
como f = f 1 = f 2 , obtenemos:
ks
k 1
k 2
6.3 Demuestre que la contante elástica de dos resortes de
Figura 6.2: Diagrama de Cuerpo libre para la demostración
