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Simulado 3; Movimiento Unidimensional Equivalente para el
Potencial Kepleriano
Una función de energía potencial utilizada para describir la interacción gravitacional entre dos masa V = - k r
donde r es la separación entre las dos masas. Genere una animación que muestre un diagrama de energía del sistema y la forma cómo evoluciona r, a medida que transcurre el tiempo, para diferentes energías
Solución:
La energía de este sistema es E = 12 m r^ ^2 + (^2) μl^2 r 2 - kr ; el potencial efectivo es
V (^) ef (r) = Lz 2 2 m r 2
k r
Adimensionando el problema: V (^) ef (r) =
2 r 2
r
In[1]:= (^) Vef [ r _] : =^1 2 r 2
r ; energia [ r _][ Vr _] : =
Vr 2 + Vef [ r ]
In[2]:= (^) E1 → energia ^1 2
[ 2 ] , E2 → energia [ 1 ][ 1 ] , E3 → energia [ 2 ]
Out[2]= (^) E1 → 2, E2 → 0, E3 → - 1 4
In[3]:= Plot Vef [ r ] , energia ^1 2
[ 2 ] , energia [ 1 ][ 1 ] , energia [ 2 ]^1 2
{ r, 0, 6 } , AxesLabel → { "r (? ) ", "V (^) ef (? ) " } , AxesOrigin → { 0, 0 } , PlotStyle → { Automatic, Dashed, Dashed, Dashed } , PlotLabel → "DIAGRAMA DE ENERGIA", PlotRange → {{ 0, 4 } , {- 0.5, 2.5 }}
Out[3]=
1 2 3 4 r(?)
V (^) ef (?)^ DIAGRAMA DE ENERGIA
La fuerza se define como F = - d V d r^ ef ; La posición en función del tiempo la obtenemos integrando la segunda ley d 2 r d t
= F[r]; d^
(^2) r d t
= - d V^ ef d r
In[5]:= (^) ecuMovi = r'' [ t ] ⩵ - D [ Vef [ r [ t ]] , r [ t ]]
Out[5]= (^) r ′′^ [t] ⩵ 1 r[t] 3
r[t] 2
Solución del Movimiento Ligado
Solución numerica para E = - 1 /4, esto es para cuando r[ 0 ] = 2, r^ [ 0 ] = 1 / 2 In[6]:= (^) sol = NDSolve r ′′^ [ t ] ⩵^1 r [ t ]^3
-^1
r [ t ]^2
, r [ 0 ] ⩵ 2, r' [ 0 ] ⩵^1 2
, r, { t, 0, 100 }
Out[6]= r → InterpolatingFunction Domain:^ {{0., 100.}} Output: scalar
In[7]:= (^) rr [ t _] : = r [ t ] /. sol [[ 1 ]] ; Puntos de retorno
In[12]:= Manipulate [ MUE [ t ] , { t, 0, 50, 0.1 }]
Out[12]=
t
r 1 r 2 r(?)
V (?)^ DIAGRAMA DE ENERGIA
Movimiento Circular
La condición para que se dé este movimiento es que la energía coincida con el mínimo del potencial efectivo E = V (^) ef [R]; donde ⅆ ⅆVr^ ef R = 0 ( 1 ) ClearAll [ "Global` ***** " ]
Vef [ r _] : =^1 2 r 2
-^1
r
; energia [ r _][ Vr _] : =^1 2
Vr 2 + Vef [ r ]
ecu3 = D [ Vef [ r ] , r ] ⩵ 0 // Simplify
- 1 + r r ⩵^0 Solve [ ecu3, r ] {{r → 1 }} rmin = 1; e = Vef [ rmin ]
- (^12)
diagrama = Plot { Vef [ r ] , energia [ 1 ][ 0 ]} ,
{ r, 0, 6 } , AxesLabel → { "r (? ) ", "V (? ) " } , AxesOrigin → { 0, 0 } , PlotStyle → { Automatic, Dashed } , Ticks → {{{ 1, "R" }} , Automatic } , PlotLabel → "DIAGRAMA DE ENERGÍA"
R r(?)
V (?)^ DIAGRAMA DE ENERGÍA
El movimiento unidimensional equivalente nos muestra que la solución física para la coordenada radial, es r[t] = r (^) min , esto es, que esta coordenada se mantiene constante a medida que transcurre el tiempo. Integremos ahora la ecuación para la coordenada θ
P (^) θ = r (^) min^2 θ
= 1; θ
rmin^2
= 1; θ[t] = θ 0 + t
De modo que la coordenada angular cambia linealmente con el tiempo, lo que caracteriza al MCU SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MCU Partimos del lagrangiano del sistema
L = 12 μ r^2 + r 2 θ^2 + kr ( 2 )
Adimensionado
ClearAll [ "Global` ***** " ]
L =^1 2 r ' [ t ]^2 + r [ t ]^2 θ ' [ t ]^2 +^1 r [ t ] ;
ecur = D [ D [ L, r ' [ t ]] , t ] - D [ L, r [ t ]] ⩵ 0 // Simplify 1 r[t] 2 +^ r
′′ (^) [t] ⩵ r[t] θ ′ (^) [t] 2
ecu θ = D [ D [ L, θ ' [ t ]] , t ] - D [ L, θ[ t ]] ⩵ 0 // Simplify r[t] (2 r ′^ [t] θ ′^ [t] + r[t] θ ′′^ [t]) ⩵ 0
Note que para que se dé el MCU, la energía se iguala al Vef y esto corresponde a las condiciones iniciales r[ 0 ] = 1 Vr[ 0 ] = 0;
