Geometría Descriptiva: Posiciones de Rectas y Planos en el Espacio, Esquemas y mapas conceptuales de Geometría Descriptiva

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Geometría descriptiva

Rolando Párraga Chamorro

Manual – Unidad 1

2 Manual

• Universidad Continental | Manual
• Introducción
• Organización de la Asignatura
  • Unidades didácticas.......................................................................................................................
  • Tiempo mínimo de estudio
• UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA PLANA SISTEMA DIÉDRICO
  • Diagrama de organización
  • Tema n.°1: Generalidades de la Geometría Plana
    • 1. Conceptos básicos de la geometría plana
    • 1.1. Plano:
    • 1.2. Recta:
    • 1.3. Punto:
    • 1.4. Segmentos:
    • 2. Ángulo.................................................................................................................................
    • 2.1. Clasificación de los ángulos
    • 2.1.1. Ángulo recto:
    • 2.1.2. Ángulo obtuso:
    • 2.1.3. Ángulo agudo:
    • 2.1.4. Ángulo llano:
    • 3. Polígonos
    • 4. Triángulos
    • 5. Cuadriláteros
    • 5.1. Elemento del cuadrilátero:
    • 5.2. Clasificación de cuadriláteros:
    • 6. Circunferencia y Círculo
    • 7. Perímetro
    • 8. Área
  • Diédrico I. Tema n.° 2: Geometría Descriptiva. Sistemas de representación del espacio. Sistema
    • 1. Geometría descriptiva
    • 1.1. Fundamentos: Proyectividad y reversibilidad
    • Fundamentos: Proyectividad y reversibilidad
    • 2. Sistemas de Proyección
    • 2.1. Proyección propia:
    • 2.2. Proyección Impropio: (infinito)
    • 2.2.1. Ortogonal:
  • 2.3. Sistemas de medida y representación 4 Manual
  • 2.3.1. Los sistemas de medida:
  • 3. Sistemas diédricos: Elemento básicos y fundamentos
  • 3.1. El Punto
  • 3.2. La Recta
  • 3.3. El Plano
• distancias, giros, abatimientos, ángulos. Tema n.°3: Sistema diédrico II. Intercesiones, paralelismo, perpendicularidad,
  • 1. Posiciones relativas entre rectas y planos
  • 1.1. Fundamentos: Proyectividad y reversibilidad
  • 1.1.1. Intersección entre rectas
  • 1.1.2. Intersección de un plano por una recta
  • 1.1.3. Intersección de planos
  • 1.2. Paralelismo.....................................................................................................................
  • 1.2.1. Paralelismo entre rectas y rectas
  • 1.2.2. Rectas paralelas a un plano
  • 1.2.3. Paralelismo entre planos y planos
  • 1.3. Perpendicularidad
  • 1.3.1. Perpendicularidad entre dos rectas que se cortan
  • 1.3.2. Perpendicularidad entre dos rectas que se cruzan
  • 1.3.3. Recta perpendicular a un plano
  • 1.3.4. Plano perpendicular a otro plano
  • 1.3.5. Aplicación del paralelismo y la perpendicularidad en la arquitectura
  • 1.4. Distancias y Ángulos medida y trazado
  • 1.4.1. Menor distancia entre elementos en el espacio..............................................
  • 1.4.1.1. Menor distancia entre dos puntos
  • 1.4.1.2. Menor distancia de un punto a una recta
  • 1.4.1.3. Menor distancia de un punto a una recta
  • 1.4.2. Ángulos.......................................................................................................................
  • 1.4.2.1. Ángulos entre dos rectas
  • 1.4.2.2. Ángulos entre rectas y planos
  • 1.4.2.3. Ángulos entre dos planos.......................................................................................
  • 2. Giros y abatimiento para planos
  • 2.1. Giros
  • 2.1.1. Giros de rectas
  • 2.1.2. Giros de planos.........................................................................................................
  • 2.1.3. Aplicación de giros o revolución
  • 2.2. Abatimiento para planos
• Tema n.°4: Superficies
  • 1. Superficies irregulares
  • 2. Superficies irregulares
• Universidad Continental | Manual - 2.1. Superficies regladas desarrollables cilíndricas - 2.2. Superficies regladas desarrollables cónicas - 3. Superficies de revolución - 4. Superficies de revolución
  • De la teoría a la práctica
• Glosario de la Unidad
• Bibliografía de la Unidad

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Introducción La Geometría descriptiva es la asignatura más importante en la formación de un ingeniero, y es que dondequiera que exista un proyecto de ingeniería, ahí se encuentra explícita la representación geométrica. Es un proceso de diseño y le da orden al proyecto; un puente, una zanja, un túnel, una zapata, tienen su origen en la geometría descriptiva, que no puede desligarse de la ingeniería, porque le da sentido. No puede decirse que sin ella un ingeniero no es un ingeniero, pero entre más la domine, más elementos o herramientas útiles tendrá para desarrollar sus cualidades. La geometría descriptiva es una parte del ingeniero de la cual no puede prescindir. El contenido se orienta a destacar la importancia de la geometría descriptiva en el estudio de los cuerpos en el espacio (el punto, la recta, el plano y el volumen), así como sus movimientos auxiliares; la intersección entre ellos y el trazo, elaboración y giro de los mismos. Como recomendaciones para quienes tengan el gusto por desarrollar el conocimiento de la asignatura, es necesario precisar que se requiere realizar dibujos de máxima precisión, lo que se logra si se prefieren los dibujos a mayor escala, y realizarlos primero en trazos de líneas con un lápiz o portaminas duro (de preferencia con graduación 2H a 6H), para que una vez terminado el ejercicio pueda remarcarse con un lápiz o portaminas más suave (HB a 2B), sólo lo que es parte del dibujo, dejando lo demás en líneas de trazo. Cuando deba marcarse un punto en el cruce de dos líneas, se sugiere hacerlo por medio de una pequeña circunferencia, que permita ver con exactitud dónde está el punto correspondiente, y evitar dibujar un punto grueso, que hará perder la exactitud del mismo. La asignatura de Geometría Descriptiva, se imparte en el segundo ciclo, que tiene una secuencia para la asignatura de Dibujo para Ingeniería y Topografía, que tiene como propósito el aplicar la representación gráfica a través del sistema diédrico, la geometría del espacio aplicado, interpretar y elaborar soluciones en un espacio tridimensional orientado a la ingeniería. Los contenidos propuestos en este material de estudio, sintetizan diversos temas que la ingeniería requiere para representar los gráficos, alineados a los estándares internacionales y está organizada en cuatro unidades establecidas en el sílabo: Unidad I: Fundamentos de la geometría plana. Sistema Diédrico, Unidad II: Sistema de planos acotados, Unidad III: Sistema axonométrico y Unidad IV: Sistema de perspectiva caballera y cónico. En este manual se busca destacar que el estudiante aborde los conceptos básicos de la Geometría Descriptiva, utilizando la metodología colaborativa y experienciales, con

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el objetivo de que el estudiante pueda resolver los ejercicios o tareas en grupo, apoyándose con la guía de aprendizaje y consultando la bibliografía básica que indica en el moodle. El autor

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UNIDAD 1 : FUNDAMENTOS DE LA GEOMETRÍA PLANA SISTEMA DIÉDRICO Diagrama de organización Al finalizar la asignatura, el estudiante será capaz de aplicar la representación gráfica a través del: sistema diédrico, la geometría del espacio aplicado, interpretar y elaborar soluciones en un espacio tridimensional orientado a la ingeniería.

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Tema n.°1: Generalidades de la Geometría Plana

Para iniciar el presente tema, se tiene presente que la geometría plana es la

ciencia que estudia las propiedades, extensión y medidas de las superficies, es

decir, las formadas por puntos que se encuentran en un mismo plano, donde

abordaremos los conceptos sobre los puntos, los planos, las rectas, las

circunferencias, polígonos y otras figuras.

1. Conceptos básicos de la geometría plana

PUNTO, RECTA Y PLANO

Para comenzar a desarrollar la geometría, debemos fijar los entes

fundamentales, los que se aceptan sin definición previa.

1.1. Plano:

Es una superficie determinada por al menos tres puntos, sin que eso

signifique que queda limitado por ellos. Se define por dos dimensiones

en el espacio sobre las que puede extenderse de manera ilimitada,

el cual se designa con una letra griega.

Figura 1. Plano α

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1.2. Recta:

Es una sucesión de puntos que pueden ir en cualquier dirección en el

espacio.

Se designa con letras minúsculas cursivas.

α Ո β ≡ r

La intersección del plano α con el plano β determina la recta r.

Figura 2. La recta r 1.3. Punto:

El punto es el único objeto en el espacio que no tiene tres dimensiones

y se define el lugar de intersección de dos rectas.

Se designa con letras mayúsculas de imprenta.

Figura 3. La intersección de la recta r con la recta s determina el punto P.

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Figura 6. Plano general de un dispositivo.

3) Los fractales son bellos objetos matemáticos relacionados con

conceptos geométricos relativamente sencillos, como la

semejanza y la dimensión, que pueden llegar a alcanzar una

considerable complejidad estética.

Figura 7. Árbol fractal.

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4) El grafeno es un material compuesto por átomos de carbono

densamente empaquetadas en una red cristalina con forma de

panal de abejas (hexagonal) y de un átomo de espesor. La

geometría estudia las relaciones entre los entes sencillos (punto,

recta, plano) y las figuras que se obtienen a partir de ellos, como

el hexágono, el cual es 200 veces más resistente que el acero.

Figura 8. El hexágono de grafeno 1.4. Segmentos:

Es una porción de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección

de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta

de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se

denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que

pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al

segmento según pertenezcan o no a este.

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2.1.2. Ángulo obtuso:

Son dos semirrectas que se cortan formando ángulos

desiguales y cuya medida es mayor de 90º pero menor que

180º, como se aprecia en la siguiente figura.

Figura 11. Ángulo obtuso 2.1.3. Ángulo agudo:

Son dos semirrectas que se cortan formando ángulos

desiguales y cuya medida es mayor que cero y menor de

Figura 12. Ángulo agudo

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2.1.4. Ángulo llano:

Es cuando los lados son rayos opuestos. El ángulo coincide

con el semiplano, formando un ángulo llano de 180º.

Figura 13. Ángulo llano

Ejemplos

1) Cuando el ángulo que forma un objeto con la línea

del horizonte (horizontal) es distinto de 90°, se dice

que el objeto está inclinado, como la famosa Torre

de Pisa (Italia) de la ilustración. Si el ángulo del objeto

y la horizontal es de 90°, el objeto es perpendicular a

la horizontal y se dice que esta vertical.

Figura 14. La torre de Pisa Tomada de [Link]