Análisis matemático de afiliados a Seguridad Social en España (1980-1999), Diapositivas de Cálculo

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Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir

de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Derivadas. Teoremas

2º Bachillerato

Esquema

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo

La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España

entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde

x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número

de afiliados expresado en millones.

El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999

es:

f( 19 ) – f( 0 )

Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el

número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000

personas por año.

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea TVI(x) o t

i

(x) , en un punto, es el límite de las tasas

de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más

pequeños:

TVI (x) = t

i

(x) =

h

f x h f x

h

( ) ( )

lim

0

• −

→

Interpretación geométrica de la derivada

Al hacer que h → 0, ocurrirá que

p + h tiende (se acerca) a p

Q recorre la curva acercándose a P

La recta secante a la curva se

convierte en la recta tangente

La inclinación de la recta secante tiende

a la inclinación de la recta tangente

Si la función f tiene derivada en el punto p , la pendiente de la recta tangente a

la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p.

0

lim ( )

h

f p h f p

f p

h

→

Ecuación de la recta tangente

a

f(a)

t

t

Entonces:

• Pendiente de la tangente: m

t

= f '(a)

Ecuación de la recta tangente:

t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)

t

Ecuación de la recta que pasa por un

punto A(a, b) y de pendiente m :

y – b = m (x – a)

Derivadas laterales

a

f '(a

) = tg α > 0

f '(a

) = tg β < 0

Por ser f '(a

) ≠ f '(a

), f(x) no es

derivable en el punto a.

La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,

dado por f '(a

h

f x h f x

h

lim

0

→

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y

por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.

La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si

existe, dado por f '(a

h

f x h f x

h

lim

0

− −

→

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.

f a h f a

f a h f a h

h

( )

0 0

lim ( ) ( ) lim

h h

f a h f a

f a h f a h

h

→ →

0 0

lim lim

h h

f a h f a

h

h

→ →

f ( ) 0 a 0

0

lim ( ) ( )

h

f a h f a

→

f ( ) es continua en x x = a

f ( ) es derivable en x x = a

Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

Función derivada

f '(3) =

h→ 0

lim

f(3 + h) – f(3)

h

h→ 0

lim

(3 + h)

2

• 3

2

h

h→ 0

lim

h (h + 6)

h

Derivada de f(x) = x

2

en el punto 2:

f '(x) =

h→ 0

lim

f(x + h) – f(x)

h

h→ 0

lim

(x + h)

2

• x

2

h

h→ 0

lim

h (h + 2x)

h

= 2x

Derivada de f(x) = x

2

en el punto 3:

f '(2) =

h →

lim

f(2 + h) – f(2)

h

h →

lim

(2 + h)

2

• 2

2

h

h →

lim

h (h + 4)

h

Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x

2

es f '(x) = 2 x

Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a

cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x , siempre que exista.

Para obtener la derivada en x

Consecuencias de la definición de derivada

La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que

se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada.

Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante ⇒ f’(x) = g’(x)

h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante ⇒ h’(x) = g’(x)

Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una

traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las

tres funciones son paralelas.

Demostración de la regla de derivación del cociente

Enunciado : La derivada de un cociente

· ( ) lim ( )

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim

( ) lim

2

' '

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

'

( )· ( ) ( )· ( )

g x

f x g x f x g x

h

g x g x h

g x f x

h

f x h f x

g x g x h

h

f x g x f x g x h

h

f x h g x f x g x

g x g x h

h

g x g x h

f x h g x f x g x h

h

g x g x h

f x h g x f x g x h

h

g x

f x

g x h

f x h

h

x

g

f

x h

g

f

x

g

f

h h h

h h h

h h

h h

f x g x f x g x

→ → →

→ → →

→ →

→ →

− +

( )

'( )· ( ) ( )· '( )

( )

'

2

g x

f x g x f x g x

x

g

f −

=

















Derivada de una función compuesta: regla de la cadena

Se define la composición de una función f con otra función g , y se denota

por g

º

f a la nueva función dada por (g

º

f) (x) = g(f(x)).

La función h(x) = (2x – 1)

2

es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t

2

t

2

= (2x–1)

2

x

2x–1 = t

R R

f

R

g

x

(2x–1)

2

h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)

2

= (g o f)(x)

Ejemplo:

Regla de la cadena : si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es

derivable en a , entonces la función g

º

f es derivable en a y su derivada es:

(g

º

f)'(a) = g'(f(a))

.

f '(a)

Ejemplo:

Como (g

º

f)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)

2

⇒ (g

º

f)'(x) = g'(f(x))

.

f '(x) = 2(2x – 1)

.

(2x – 1)' = 2(2x – 1)

.

Derivada de la función inversa

Se denomina función inversa de una función f a una nueva función,

denotada por f

, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f

(f(x)) = x.

Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla:

x

1

≠ x

2

⇒ f(x

1

) ≠ f(x

2

Las gráficas de f y f

son simétricas respecto a la bisectriz del primer

cuadrante.

X

Y

f(x)

f

(x)

• (x, f(x))

(f(x), x)

Sea f una función definida en un inter-

valo abierto D en el que admite fun-

ción inversa siendo f derivable. Enton-

ces se tiene que, para todo punto

x

del dominio de f

-

en el que f

-

es deri-

vable y en el que f '(f

• 1

(x))

0 la deri-

vada de f

• 1

viene dada por:

'( ( ))

1

( )'( )

1

1

f f x

f x

−

−

=

Tabla de derivadas de las funciones elementales

Función Derivada

f(x) = sen x f '(x) = cos x

f(x) = cos x f '(x) =– sen x

f(x) = tan x

f '(x) =

Cos

2

x

f(x) = arcsen x f '(x) =

1 – x

2

f(x) = arccos x f '(x) =

• 1

1 – x

2

f(x) = arctan x

f '(x) =

1 + x

2

Función

Derivada

f(x) = c (constante)

f '(x) = 0

f(x) = x

n

f '(x) = n x

n – 1

f(x) = e

x

f '(x) = e

x

f(x) = a

x

(a > 0) f '(x) = a

x

ln a

f(x) = ln x

f '(x) =

x

f(x) = log

a

x, (a > 0)

f '(x) =

x ln a