Docsity
Docsity

Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes

Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity


Consigue puntos base para descargar
Consigue puntos base para descargar

Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium


Orientación Universidad
Orientación Universidad

Ejercicios de Cinemática: Movimiento Rectilíneo Uniforme y Acelerado, Apuntes de Física

Libro sobre fisica universitaris completo

Tipo: Apuntes

Antes del 2010

Subido el 22/09/2021

fernando-tapia-10
fernando-tapia-10 🇪🇸

5

(1)

2 documentos

1 / 25

Toggle sidebar

Esta página no es visible en la vista previa

¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
MOVIMIENTO
EN LÍNEA RECTA
?Un velocista común
acelera durante el
primer tercio de la
carrera y desacelera
gradualmente en el
resto de la competencia.
¿Es correcto decir
que un corredor está
acelerando conforme
desacelera durante
los dos tercios finales
de la carrera?
¿Qué distancia debe recorrer un avión comercial antes de alcanzar la rapi-
dez de despeje? Cuando lanzamos una pelota de béisbol verticalmente,
¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto
tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque contra el piso? Éste es el tipo de
preguntas que usted aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciamos nuestro estudio
de física con la mecánica, que es el estudio de las relaciones entre fuerza, materia
y movimiento. En este capítulo y el siguiente estudiaremos la cinemática, es decir,
la parte de la mecánica que describe el movimiento. Después veremos la dinámica: la
relación entre el movimiento y sus causas.
En este capítulo nos concentramos en el tipo de movimiento más simple: un cuerpo
que viaja en línea recta. Para describir este movimiento, introducimos las cantida-
des físicas velocidad y aceleración, las cuales en física tienen definiciones sencillas;
aunque son más precisas y algo distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano.
Un aspecto importante de las definiciones de velocidad y aceleración en física es que
tales cantidades son vectores. Como vimos en el capítulo 1, esto significa que tienen
tanto magnitud como dirección. Aquí nos interesa sólo el movimiento rectilíneo, por
lo que no necesitaremos aún toda el álgebra vectorial; no obstante, el uso de vectores
será esencial en el capítulo 3, al considerar el movimiento en dos o tres dimensiones.
Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el movimiento rectilíneo en el
importante caso en que la aceleración es constante. Un ejemplo es el movimiento de
un objeto en caída libre. También consideraremos situaciones en las que la acelera-
ción varía durante el movimiento. En estos casos habrá que integrar para describir el
movimiento. (Si no ha estudiado integración aún, la sección 2.6 es opcional.)
36
2
METAS DE
APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo,
usted aprenderá:
Cómo describir el movimiento
en línea recta en términos de
velocidad media, velocidad
instantánea, aceleración media
y aceleración instantánea.
Cómo interpretar gráficas de
posición contra tiempo, velocidad
contra tiempo y aceleración contra
tiempo para el movimiento en
línea recta.
Cómo resolver problemas que
impliquen movimiento en línea
recta con aceleración constante,
incluyendo problemas de caída
libre.
Cómo analizar el movimiento en
línea recta cuando la aceleración
no es constante.
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Ejercicios de Cinemática: Movimiento Rectilíneo Uniforme y Acelerado y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

MOVIMIENTO

EN LÍNEA RECTA

? Un velocista común

acelera durante el

primer tercio de la

carrera y desacelera

gradualmente en el

resto de la competencia.

¿Es correcto decir

que un corredor está

acelerando conforme

desacelera durante

los dos tercios finales

de la carrera?

¿Q

ué distancia debe recorrer un avión comercial antes de alcanzar la rapi-

dez de despeje? Cuando lanzamos una pelota de béisbol verticalmente,

¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto

tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque contra el piso? Éste es el tipo de

preguntas que usted aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciamos nuestro estudio

de física con la mecánica , que es el estudio de las relaciones entre fuerza, materia

y movimiento. En este capítulo y el siguiente estudiaremos la cinemática , es decir,

la parte de la mecánica que describe el movimiento. Después veremos la dinámica : la

relación entre el movimiento y sus causas.

En este capítulo nos concentramos en el tipo de movimiento más simple: un cuerpo

que viaja en línea recta. Para describir este movimiento, introducimos las cantida-

des físicas velocidad y aceleración , las cuales en física tienen definiciones sencillas;

aunque son más precisas y algo distintas de las empleadas en el lenguaje cotidiano.

Un aspecto importante de las definiciones de velocidad y aceleración en física es que

tales cantidades son vectores. Como vimos en el capítulo 1, esto significa que tienen

tanto magnitud como dirección. Aquí nos interesa sólo el movimiento rectilíneo, por

lo que no necesitaremos aún toda el álgebra vectorial; no obstante, el uso de vectores

será esencial en el capítulo 3, al considerar el movimiento en dos o tres dimensiones.

Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el movimiento rectilíneo en el

importante caso en que la aceleración es constante. Un ejemplo es el movimiento de

un objeto en caída libre. También consideraremos situaciones en las que la acelera-

ción varía durante el movimiento. En estos casos habrá que integrar para describir el

movimiento. (Si no ha estudiado integración aún, la sección 2.6 es opcional.)

36

METAS DE

APRENDIZAJE

Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:

  • Cómo describir el movimiento

en línea recta en términos de velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración instantánea.

  • Cómo interpretar gráficas de

posición contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo para el movimiento en línea recta.

  • Cómo resolver problemas que impliquen movimiento en línea recta con aceleración constante, incluyendo problemas de caída libre.
  • Cómo analizar el movimiento en

línea recta cuando la aceleración no es constante.

2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media 37

2.1 Desplazamiento, tiempo

y velocidad media

Suponga que una piloto de autos de arrancones conduce su vehículo por una pista

recta (figura 2.1). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordena-

das. Elegimos que el eje x vaya a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el ori-

gen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el auto, digamos su

extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos co-

mo una partícula.

Una forma útil de describir el movimiento de la partícula —es decir, el punto que

representa el automóvil— es en términos del cambio en su coordenada x durante un

intervalo de tiempo. Suponga que 1.0 s después del arranque el frente del vehículo es-

tá en el punto P 1 , a 19 m del origen, y que 4.0 s después del arranque está en el punto

P 2 , a 277 m del origen. El desplazamiento de la partícula es un vector que apunta de

P l a P 2 (véase la sección 1.7). La figura 2.1 muestra que este vector apunta a lo lar-

go del eje x. La componente x del desplazamiento es simplemente el cambio en el

valor de x , (277 m 2 19 m) 5 258 m, que hubo en un lapso de (4.0 s 2 1.0 s) 5 3.0 s.

Definimos la velocidad media del auto durante este intervalo de tiempo como una

cantidad vectorial , cuya componente x es el cambio en x dividido entre el intervalo de

tiempo: (258 m)>(3.0 s) 5 86 m>s.

En general, la velocidad media depende del intervalo de tiempo elegido. Durante

un lapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media fue cero, porque el auto es-

taba en reposo en la línea de salida y tuvo un desplazamiento cero.

Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo t 1 el auto está en el pun-

to P l, con la coordenada x 1 , y en el tiempo t 2 está en el punto P 2 con la coordenada x 2.

El desplazamiento del auto en el intervalo de t 1 a t 2 es el vector de P l a P 2. La compo-

nente x del desplazamiento, denotada con D x , es el cambio en la coordenada x :

El auto de arrancones se mueve sólo a lo largo del eje x , de manera que las compo-

nentes y y z del desplazamiento son iguales a cero.

CI U DADO (^) El significado de D x Note que D x no es el producto de D y x ; es sólo un sím- bolo que significa “el cambio en la cantidad x ”. Siempre usaremos la letra griega mayúscula D (delta) para representar un cambio en cierta cantidad, calculada restando el valor inicial del va- lor final , y nunca a la inversa_._ Asimismo, el intervalo de tiempo de t 1 a t 2 es D t , el cambio en la cantidad t : D t 5 t 2 2 t 1 (tiempo final menos tiempo inicial). ❚

La componente x de la velocidad promedio, o velocidad media , es la componen-

te x del desplazamiento, D x , dividida entre el intervalo de tiempo D t en el que ocurre

el desplazamiento. Usamos el símbolo v med- x para representar velocidad media (el

D x 5 x 2 2 x 1

2.1 Posiciones de un auto de arrancones en dos instantes durante su recorrido.

2.2 Velocidad instantánea 39

tiempo. Los puntos p l y p 2 en la gráfica corresponden a los puntos P 1 y P 2 de la tra-

yectoria del auto. La línea p 1 p 2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cate-

to vertical D x 5 x 2 2 x 1 y cateto horizontal D t 5 t 2 2 t 1. Así, la velocidad media

del auto v med- x 5 D x >D t es igual a la pendiente de la línea p 1 p 2 , es decir, el cocien-

te del cateto vertical D x y el cateto horizontal D t.

La velocidad media depende sólo del desplazamiento total D x 5 x 2 2 x 1 que se

da durante el intervalo D t 5 t 2 2 t 1 , no en los pormenores de lo que sucede dentro de

ese intervalo. En el tiempo t 1 una motocicleta podría haber rebasado al auto de arran-

cones en el punto P l de la figura 2.1, para después reventar el motor y bajar la veloci-

dad, pasando por P 2 en el mismo instante t 2 que el auto. Ambos vehículos tienen el

mismo desplazamiento en el mismo lapso, así que tienen la misma velocidad media.

Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad me-

dia se mide en metros por segundo (m>s). Otras unidades de velocidad comunes son

kilómetros por hora (km>h), pies por segundo (ft>s), millas por hora (mi>h) y nudos

(1 nudo 5 1 milla náutica>h 5 6080 ft>h). La tabla 2.1 muestra algunas magnitudes

típicas de velocidad.

Pendiente 5 5

Para un desplazamiento a lo largo del eje x , la velocidad media de un objeto v med- x es igual a la pendiente de una línea que conecta los puntos correspondientes en una gráfica de posición ( x ) contra tiempo ( t ).

x (m)

x 2

P 1

p 1

P 2 p 2

x 1

t 2

t (s) O

Pista de arrancones (no está a escala)

D x 5 x 2 2 x 1

Pendiente

velocidad

x

D t 5 t 2 2 t 1

t 1

D x D t

inclinación de la recta

2.3 La posición de un auto de arrancones

en función del tiempo.

Evalúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguientes viajes en automóvil dura una hora. La dirección x positiva es hacia el este. i) El automóvil A viaja 50 km al este. ii) El automóvil B viaja 50 km al oeste. iii) El automóvil C viaja 60 km al este, luego da vuelta y viaja 10 km al oeste. iv) El automóvil D viaja 70 km al este. v) El automóvil E viaja 20 km al oeste, luego da vuelta y viaja 20 km al este. a ) Clasifique los cinco viajes en orden de velocidad media de más positivo a más negativo. b ) ¿Cuáles viajes, si hay, tienen la misma velocidad media? c ) ¿Para cuál viaje, si hay, la velocidad media es igual a cero? ❚

2.4 El ganador de una carrera de natación

de 50 m es el nadador cuya velocidad

media tenga la mayor magnitud, es decir,

quien cubra el desplazamiento D x de 50 m

en el tiempo transcurrido D t más corto.

Tabla 2.1 Magnitudes típicas

de velocidad

Reptar de caracol Andar rápido Hombre más rápido

Guepardo en carrera Automóvil más rápido Movimiento aleatorio de moléculas de aire Avión más rápido Satélite de comunicación en órbita Electrón en un átomo de hidrógeno Luz que viaja en el vacío 3 3 108 m/s

2 3 106 m/s

3000 m/s

1000 m/s

500 m/s

341 m/s

35 m/s

11 m/s

2 m/s

1023 m/s

2.2 Velocidad instantánea

Hay ocasiones en que la velocidad media es lo único que necesitamos saber acerca

del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es en reali-

dad una competencia para determinar quién tuvo la mayor velocidad media, v med- x.

Se entrega el premio al competidor que haya recorrido el desplazamiento D x de la

línea de salida a la de meta en el intervalo de tiempo más corto, D t (figura 2.4).

Sin embargo, la velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo

no nos indica con qué rapidez, o en qué dirección, la partícula se estaba moviendo en

un instante dado del intervalo. Para describir el movimiento con mayor detalle, nece-

sitamos definir la velocidad en cualquier instante específico o punto específico del ca-

mino. Ésta es la velocidad instantánea , y debe definirse con cuidado.

CU I DADO (^) ¿Cuánto tiempo dura un instante? Note que la palabra “instante” tiene un significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos utilizar la frase “duró sólo un instante” para referirnos a algo que duró un intervalo de tiempo muy corto. Sin embargo, en física un instante no tiene duración; es un solo valor de tiempo. ❚

40 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

2.5 Incluso al avanzar, la velocidad

instantánea de este ciclista puede

ser negativa: si está viajando en la

dirección x negativa. En cualquier

problema, nosotros decidimos cuál

dirección es positiva y cuál es negativa.

Ejemplo 2.1 (^) Velocidades media e instantánea

Un guepardo acecha 20 m al este del escondite de un observador (figura 2.6a). En el tiempo t 5 0, el guepardo ataca a un antílope y empieza a correr en línea recta. Durante los primeros 2.0 s del ataque, la coordenada x del guepardo varía con el tiempo según la ecuación x 5 20 m 1 (5.0 m>s^2 ) t^2. a ) Obtenga el desplazamiento del guepardo entre t 1 5 1.0 s y t 2 5 2.0 s. b ) Calcule la velocidad media en dicho

intervalo. c ) Calcule la velocidad instantánea en t 1 5 1.0 s tomando D t 5 0.1 s, luego D t 5 0.01 s, luego D t 5 0.001 s. d ) Deduzca una expresión general para la velocidad instantánea en función del tiem- po, y con ella calcule vx en t 5 1.0 s y t 5 2.0 s.

Para obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 2.1 en el punto P 1 , mo-

vemos el segundo punto P 2 cada vez más cerca del primer punto P 1 y calculamos la

velocidad media v med- x 5 D x >D t para estos desplazamientos y lapsos cada vez más

cortos. Tanto D x y D t se hacen muy pequeños; pero su cociente no necesariamente lo

hace. En el lenguaje del cálculo, el límite de D x >D t cuando D t se acerca a cero es la

derivada de x con respecto a t y se escribe dx > dt. La velocidad instantánea es el lími-

te de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero; es igual a

la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el símbolo vx , sin

“med” en el subíndice, para la velocidad instantánea en el eje x :

(velocidad instantánea, movimiento rectilíneo) (2.3)

Siempre suponemos que D t es positivo, así que vx tiene el mismo signo algebrai-

co que D x. Un valor positivo de vx indica que x aumenta y el movimiento es en la di-

rección x positiva; un valor negativo de vx indica que x disminuye y el movimiento

es en la dirección x negativa. Un cuerpo puede tener x positivo y vx negativa, o al re-

vés; x nos dice dónde está el cuerpo, en tanto que vx nos indica cómo se mueve (fi-

gura 2.5).

La velocidad instantánea, igual que la velocidad media, es una cantidad vectorial.

La ecuación (2.3) define su componente x. En el movimiento rectilíneo, las demás

componentes de la velocidad instantánea son cero y, en este caso, llamaremos a vx

simplemente velocidad instantánea. (En el capítulo 3 veremos el caso general en el

que la velocidad instantánea puede tener componentes x , y y z distintas de cero.) Al

usar el término “velocidad”, siempre nos referiremos a la velocidad instantánea, no a

la media.

Los términos “velocidad” y “rapidez” se usan indistintamente en el lenguaje coti-

diano; no obstante, en física tienen diferente significado. Rapidez denota distancia re-

corrida dividida entre tiempo, con un régimen medio o instantáneo. Usaremos el

símbolo v ( sin subíndice) para denotar la rapidez instantánea, que mide qué tan rápido

se mueve una partícula; la velocidad instantánea mide con qué rapidez y en qué direc-

ción se mueve. Por ejemplo, una partícula con velocidad instantánea vx 5 25 m>s y

otra con vx 5 225 m>s se mueven en direcciones opuestas con la misma rapidez ins-

tantánea de 25 m>s. La rapidez instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea,

así que no puede ser negativa.

CU I DADO (^) Rapidez media y velocidad media La rapidez media, sin embargo, no es la magnitud de la velocidad media. Cuando Alexander Popov estableció un récord mundial en 1994 nadando 100.0 m en 46.74 s , su rapidez media fue de (100.0 m)>(46.74 s) 5 2.139 m>s_._ No obstante, como nadó dos veces la longitud de una alberca de 50 m, terminó en el punto de donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidad media de cero! Tanto la rapidez media como la rapidez instantánea son escalares, no vectores, porque no contienen información de dirección. ❚

vx 5 lím

D t S 0

D x

D t

dx

dt

42 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

Cuando la velocidad media v med- x es calculada en intervalos cada vez más cortos ...

... su valor v med- x 5 D x /D t se acerca a la velocidad instantánea.

La velocidad instantánea vx en un tiempo dado es igual a la pendiente de la tangente a la curva x - t en ese tiempo.

5 40 m/s

vx 5 160 m4.0 s

D t 5 1.0 s D x 5 55 m v med- x 5 55 m/s Pendiente de la tangente

velocidad instantánea p (^1) 4.0 s

160 m

t (s) O 1 2 3 4 5

x (m) 400

a) b) c)

t (s) 1 2 3 4 5

p 2 p (^1) D t D x

x (m)

O O

t (s) 1 2 3 4 5

p 2

D t 5 2.0 s D x 5 150 m v med- x 5 75 m/s

p 1

D x D t

x (m) 400

2.7 Uso de una gráfica x-t al ir de a), b) velocidad media a c) velocidad instantánea vx. En c) obtenemos la pendiente de la tangente

a la curva x-t dividiendo cualquier intervalo vertical (con unidades de distancia) a lo largo de la tangente entre el intervalo horizontal

correspondiente (con unidades de tiempo).

La partícula está en x , 0 y se mueve en la dirección 1 x.

De tA a tB acelera, ...

... y de tB a tC frena, y se detiene momentáneamente en tC.

De tC a tD acelera en la dirección 2 x , ... ... y de tD a tE frena en la dirección 2 x.

Cuanto más empinada está la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica x - t de un objeto, mayor será la rapidez del objeto en la dirección positiva o negativa.

Pendiente positiva: vx. 0

Pendiente cero: vx 5 0

Pendiente negativa: vx , 0

a) Gráfica x - t b) Movimiento de partículas

tA 5 0

tB

tC

tD

tE

v 0

x

v 0

x

x

v

v

v 5 0 0

x

x

A
B

x C

D

E t

2.8 a) Gráfica x-t del movimiento de una partícula dada. La pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la velocidad en

ese punto. b) Diagrama de movimiento que muestra la posición y velocidad de la partícula en los cinco instantes rotulados en el

diagrama x-t.

Obtención de la velocidad en una gráfica x-t

La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posición de

la partícula en función del tiempo. Suponga que queremos conocer la velocidad del

auto de la figura 2.1 en P l. En la figura 2.1, conforme P 2 se acerca a P 1 , el punto p 2 en

la gráfica x-t de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al punto p 1 y la velocidad media se

calcula en intervalos D t cada vez más cortos. En el límite ilustrado en la fi-

gura 2.7c, la pendiente de la línea p 1 p 2 es igual a la pendiente de la línea tangente a la

curva en el punto p 1. Así, en una gráfica de posición en función del tiempo para movi-

miento rectilíneo, la velocidad instantánea en cualquier punto es igual a la pendiente

de la tangente a la curva en ese punto.

Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, entonces

su pendiente es positiva, la velocidad es positiva y el movimiento es en la dirección 1 x.

Si la tangente baja hacia la derecha, la pendiente de la gráfica x - t y la velocidad son ne-

gativas, y el movimiento es en la dirección 2 x. Cuando la tangente es horizontal, la

pendiente y la velocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades.

La figura 2.8 muestra el movimiento de una partícula en dos formas: como a ) una

gráfica x - t y como b ) un diagrama de movimiento que muestra la posición de la par-

tícula en diversos instantes, como cuadros de un filme o video del movimiento de la

D t S^ 0,

1.1 Análisis del movimiento usando diagramas

O N L I N E

2.3 Aceleración media e instantánea 43

2.3 Aceleración media e instantánea

Así como la velocidad describe la tasa de cambio de posición con el tiempo, la acele-

ración describe la tasa de cambio de velocidad con el tiempo. Al igual que la veloci-

dad, la aceleración es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su única

componente distinta de cero está sobre el eje en que ocurre el movimiento. Como ve-

remos, en el movimiento rectilíneo la aceleración puede referirse tanto a aumentar la

rapidez como a disminuirla.

Aceleración media

Consideremos otra vez el movimiento de una partícula en el eje x. Suponga que, en el

tiempo t l, la partícula está en el punto P l y tiene una componente x de velocidad (ins-

tantánea) v 1 x , y en un instante posterior t 2 está en P 2 y tiene una componente x de velo-

cidad v 2 x. Así, la componente x de la velocidad cambia en D vx 5 v 2 x 2 v 1 x en el

intervalo D t 5 t 2 2 t 1.

Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de P l a P 2 como una

cantidad vectorial cuya componente x es a med - x igual a D vx , el cambio en la compo-

nente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo D t :

(aceleración media,

movimiento rectilíneo)

En el movimiento rectilíneo a lo largo del eje x , por lo general llamaremos v med- x a la

aceleración media. (Veremos otras componentes del vector de aceleración media en

el capítulo 3.)

Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el tiempo en segundos, la

aceleración media está en metros por segundo por segundo, o bien (m>s)>s. Esto sue-

le escribirse como m>s^2 y se lee “metros por segundo al cuadrado”.

CU I DADO (^) Aceleración contra velocidad ¡No confunda aceleración con velocidad! La velocidad describe el cambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos indica con qué rapi- dez y en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velocidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del movimiento. Podría ser útil recordar la frase “aceleración es a velocidad lo que velocidad es a posición”. También ayudaría imaginarse a usted mismo yendo en un automóvil con el cuerpo en movimiento. Si el auto acelera hacia delante y aumenta su rapidez, usted se sentiría empujado hacia atrás hacia su asiento; si acelera hacia atrás y disminuye su rapidez, se sentiría empujado hacia delante. Si la velocidad es constante y no hay aceleración, no sentiría sensación alguna. (Analizaremos la causa de estas sensaciones en el capítulo 4.) ❚

a med- x 5

v 2 x 2 v 1 x

t 2 2 t 1

D vx

D t

Evalúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gráfica x - t

del movimiento de una partícula. a ) Ordene los valores de la velocidad vx de la

partícula en los puntos P , Q , R y S del más positivo al más negativo. b ) ¿En qué

puntos vx es positiva? c ) ¿En cuáles puntos vx es negativa? d ) ¿En cuáles es cero?

e ) Ordene los valores de la rapidez de la partícula en los puntos P , Q , R y S del más

rápido al más lento.

partícula, junto con flechas que representan la velocidad de la partícula en cada ins-

tante. En este capítulo, usaremos tanto las gráficas x - t como los diagramas de movi-

miento para ayudarle a entender el movimiento. Le recomendamos dibujar una

gráfica x-t y un diagrama de movimiento como parte de la resolución de cualquier

problema que implique movimiento.

R

t

S
Q
P

x

2.9 Una gráfica x - t para una partícula.

Observe que la ecuación (2.5) es realmente la definición de la componente x del

vector de aceleración o la aceleración instantánea ; en el movimiento rectilíneo, las

demás componentes de este vector son cero. A partir de aquí, al hablar de “acelera-

ción” nos referiremos siempre a la aceleración instantánea, no a la aceleración media.

2.3 Aceleración media e instantánea 45

Obtención de la aceleración en una gráfica vx - t

o una gráfica x-t

En la sección 2.2 interpretamos las velocidades media e instantánea en términos de

la pendiente de una gráfica de posición contra tiempo. Igualmente, podemos enten-

der mejor las aceleraciones media e instantánea graficando la velocidad instantánea

vx en el eje vertical y el tiempo t en el eje horizontal, es decir, usando una gráfica vx - t

(figura 2.12). Los puntos rotulados p 1 y p 2 corresponden a los puntos P l y P 2 de la

figura 2.11. La aceleración media a med- x 5 D vx >D t durante este intervalo es la pen-

diente de la línea p 1 p 2. Al acercarse P 2 a P 1 en la figura 2.11, p 2 se acerca a p 1 en la

gráfica vx-t de la figura 2.12, y la pendiente de la línea p 1 p 2 se acerca a la pendiente

de la tangente a la curva en el punto p 1. Así, en una gráfica de velocidad en función

del tiempo, la aceleración instantánea en cualquier punto es igual a la pendiente de

la tangente de la curva en ese punto. En la figura 2.12, las tangentes trazadas en

Ejemplo 2.3 (^) Aceleraciones media e instantánea

Suponga que la velocidad vx del auto en la figura 2.11 en el tiempo t está dada por

a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre t 1 5 1.0 s y t 2 5 3.0 s. b ) Calcule la aceleración media en este intervalo. c ) Obtenga la aceleración instantánea en t 1 5 1.0 s tomando D t prime- ro como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s. d ) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración en t 5 1.0 s y t 5 3.0 s.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este ejemplo es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasar ahora ese ejemplo.) Ahí, calculamos la velocidad media en intervalos cada vez más cortos considerando el cambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantánea di- ferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo, deter- minaremos la aceleración media considerando cambios de velocidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la aceleración ins- tantánea diferenciando la velocidad en función del tiempo.

PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y la ecuación (2.5) de la aceleración instantánea.

EJECUTAR: a) Primero obtenemos la velocidad en cada instante susti- tuyendo cada valor de t en la ecuación. En el instante t 1 5 1.0 s,

En el instante t 2 5 3.0 s,

El cambio en la velocidad D vx es

El intervalo de tiempo es D t 5 3.0 s 2 1.0 s 5 2.0 s.

D vx 5 v 2 x 2 v 1 x 5 64.5 m/s 2 60.5 m/s 5 4.0 m/s

v 2 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1 3.0 s 2 2 5 64.5 m/s

v 1 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1^ 1.0 s 2 2 5 60.5 m/s

vx 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 t^2

b) La aceleración media durante este intervalo es

Durante el intervalo de t 1 5 1.0 s a t 2 5 3.0 s, la velocidad y la ace- leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y el auto acelera. c) Cuando y obtenemos

Repita este modelo con y los resultados son a med- x 5 1.005 m>s^2 y a med- x 5 1.0005 m>s^2 , respectivamente. Al redu- cirse D t , la aceleración media se acerca a 1.0 m>s^2 , por lo que conclui- mos que la aceleración instantánea en t 5 1.0 s es 1.0 m>s^2. d) La aceleración instantánea es ax 5 dvx > dt. La derivada de una constante es cero y la derivada de t^2 es 2 t. Con esto, obtenemos

Cuando t 5 1.0 s,

Cuando t 5 3.0 s,

EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos en el inciso d ) es igual a la aceleración media obtenida en b ). La aceleración instantánea del auto varía con el tiempo. La tasa de cambio de la acele- ración con el tiempo se suele denominar el “tirón”.

ax 5 1 1.0 m/s^3 2 1^ 3.0 s 2 5 3.0 m/s^2

ax 5 1 1.0 m/s^3 2 1 1.0 s 2 5 1.0 m/s^2

5 1 0.50 m/s^3 2 1 2 t 2 5 1 1.0 m/s^3 2 t

ax 5

dvx dt

d dt

3 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 t^2

D t 5 0.01 s D t 5 0.001 s;

a med- x 5

D vx D t

0.105 m/s 0.1 s

5 1.05 m/s^2

D vx 5 0.105 m/s

v 2 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1^ 1.1 s 2 2 5 60.605 m/s

D t 5 0.1 s, t 2 5 1.1 s

a med- x 5

v 2 x 2 v 1 x t 2 2 t 1

4.0 m/s 2.0 s

5 2.0 m/s^2

46 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

diferentes puntos en la curva tienen pendientes diferentes, de manera que la acelera-

ción instantánea varía con el tiempo.

CU I DADO (^) Los signos de aceleración y velocidad En sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo está acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la aceleración. Si vx y ax tienen el mismo signo, el cuerpo está acelerando; si ambas son positivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si ambas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad cada vez más negativa, y la rapidez aumenta nuevamente. Si vx y ax tienen signos opuestos , el cuerpo está frenando. Si vx es positiva y ax negativa, el cuerpo se mueve en dirección positiva con rapidez decreciente; si vx es negativa y ax positiva, el cuerpo se mueve en dirección negati- va con una velocidad cada vez menos negativa, y nuevamente está frenando. La figura 2. ilustra algunas de tales posibilidades. ❚

Frecuentemente llamamos “desaceleración” a una reducción de rapidez. Dado que

esto puede implicar ax positiva o negativa, dependiendo del signo de vx , evitaremos

este término.

También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a partir de una gráfica de

su posición contra tiempo. Dado que ax 5 dvx > dt y vx 5 dx > dt , escribimos

ax 5 (2.6)

dvx

dt

d

dt^1

dx

dt^2

d^2 x

dt^2

vx

v 2 x

v 1 x

t 1 t 2

t O

p 1

p 2

D t 5 t 2 2 t 1

D vx 5 v 2 x 2 v 1 x

Pendiente de la tangente a la curva vx - t en un punto dado 5 aceleración instantánea en ese punto.

Para un desplazamiento a lo largo del eje x , la aceleración media de un objeto es igual a la pendiente de una línea que conecta los puntos correspondientes en una gráfica de velocidad ( vx ) contra tiempo ( t ).

Pendiente

aceleración media

2.12 Gráfica vx-t del movimiento de la

figura 2.11.

Pendiente cero: ax 5 0

Cuanto más empinada esté la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica vx - t de un objeto, mayor será la aceleración del objeto en la dirección positiva o negativa.

El objeto está en x , 0 y se mueve en la dirección 2 x ( vx , 0), frenando ( vx y ax tienen signos opuestos).

El objeto está en x. 0 y se mueve en la dirección 2 x ( vx , 0), acelerando ( vx y ax tienen el mismo signo).

El objeto está en x. 0 y se mueve en la dirección 1 x ( vx. 0); su rapidez no cambia instantáneamente ( ax 5 0).

El objeto está en x , 0, instantáneamente en reposo ( vx 5 0), y a punto de moverse en la dirección 1 x ( ax. 0).

El objeto está en x. 0, instantáneamente en reposo ( vx 5 0), y a punto de moverse en la dirección 2 x ( ax , 0).

Pendiente positiva: ax. 0 Pendiente negativa: ax , 0

a) La gráfica vx - t para un objeto que se mueve en el eje x

b) Posición, velocidad y aceleración del objeto en el eje x

A
B
C
D
E

t

vx

tE

tA 5 0

tB

tC

tD

x

x

x

x

a

a

v

a 5 0

v

v 5 0

x

a

v 5 0

v

a

2.13 a) Gráfica vx - t del movimiento de una partícula diferente de la que se muestra en la figura 2.8. La pendiente de la tangente

en cualquier punto es igual a la aceleración en ese punto. b) Diagrama de movimiento que indica la posición, velocidad y

aceleración de la partícula en los instantes rotulados en la gráfica vx - t. Las posiciones son congruentes con la gráfica vx - t ;

por ejemplo, de tA a tB la velocidad es negativa, así que en tB la partícula está en un valor más negativo de x que en tA.

48 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

Cuando la aceleración ax es constante, la aceleración media a med- x para cualquier

intervalo es ax. Esto vuelve sencillo derivar las ecuaciones para la posición x y la ve-

locidad vx como funciones del tiempo. Para encontrar una expresión para vx primero

sustituimos a med- x por ax en la ecuación (2.4):

Sean ahora t l 5 0 y t 2 cualquier instante posterior t. Simbolizamos con v 0 x la compo-

nente x de la velocidad en el instante inicial t 5 0; la componente x de la velocidad en

el instante posterior t es vx. Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en

(sólo con aceleración constante) (2.8)

Podemos interpretar la ecuación como sigue. La aceleración ax es la tasa constan-

te de cambio de velocidad, es decir, el cambio en la velocidad por unidad de tiempo.

El término axt es el producto del cambio en la velocidad por unidad de tiempo, ax , y

el intervalo de tiempo t ; por lo tanto, es el cambio total de la velocidad desde el ins-

tante inicial t 5 0 hasta un instante posterior t. La velocidad vx en cualquier instante

t es entonces la velocidad inicial v 0 x (en t 5 0) más el cambio en la velocidad axt

(véase la figura 2.17).

Otra interpretación de la ecuación (2.8) es que el cambio de velocidad vx 2 v 0 x

de la partícula entre t 5 0 y un tiempo posterior t es igual al área bajo la gráfica

ax - t entre esos dos instantes. En la figura 2.16, el área bajo la gráfica ax - t es el rec-

tángulo verde con lado vertical ax y lado horizontal t. El área del rectángulo es axt ,

que por la ecuación (2.8) es igual al cambio en velocidad vx 2 v 0 x. En la sección 2.

veremos que aun cuando la aceleración no sea constante, el cambio de velocidad du-

rante un intervalo es igual al área bajo la curva ax - t , aunque en tal caso la ecuación

(2.8) no es válida.

Ahora deduciremos una ecuación para la posición x en función del tiempo cuan-

do la aceleración es constante. Para ello, usamos dos expresiones distintas para la

velocidad media a med- x en el intervalo de t 5 0 a cualquier t posterior. La primera

proviene de la definición de v med- x , ecuación (2.2), que se cumple sea constante o no

la aceleración. La posición inicial es la posición en t 5 0 , denotada con x 0. La posi-

ción en el t posterior es simplemente x. Así, para el intervalo D t 5 t 2 0 y el despla-

zamiento D x 5 x 2 x 0 , la ecuación (2.2) da

También podemos obtener otra expresión para v med- x que sea válida sólo si la ace-

leración es constante, de modo que la gráfica vx - t sea una línea recta (como en la fi-

gura 2.17) y la velocidad cambie a ritmo constante. En este caso, la velocidad media

en cualquier intervalo es sólo el promedio de las velocidades al principio y al final del

intervalo. Para el intervalo de 0 a t ,

(sólo con aceleración constante) (2.10)

(Esto no se cumple si la aceleración varía y la gráfica vx - t es una curva, como en la

figura 2.13.) También sabemos que, con aceleración constante, la velocidad vx en un

instante t está dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por vx en la

ecuación (2.10),

5 v 0 x 1 (sólo con aceleración constante) (2.11)

ax t

v med- x 5

1 v 0 x 1 v 0 x 1 ax t 2

v med- x 5

v 0 x 1 vx

v med- x 5

x 2 x 0

t

vx 5 v 0 x 1 ax t

ax 5

vx 2 v 0 x

t 2 0

o

ax 5

v 2 x^2 v 1 x

t 2 2 t 1

Aceleración constante: la gráfica ax - t es una línea horizontal (pendiente 5 0).

El área bajo la gráfica ax - t es vx 2 v 0 x 5 cambio de velocidad del tiempo 0 al tiempo t.

O

ax

ax

t

t

2.16 Gráfica aceleración-tiempo ( ax - t )

para movimiento rectilíneo con aceleración

positiva constante ax.

Aceleración constante: la gráfica vx - t es una recta.

Durante el intervalo t , la velocidad cambia como vx 2 v 0 x 5 axt.

Pendiente

aceleración

El área total bajo la gráfica vx - t es x 2 x 0 5 cambio en la coordenada x del tiempo 0 al tiempo t.

vx

vx

v 0 x

O

t t

vx

ax t

v 0 x

2.17 Gráfica velocidad-tiempo ( vx - t ) para

movimiento rectilíneo con aceleración

positiva constante ax. La velocidad inicial

v 0 x también es positiva en este caso.

1.1 Análisis del movimiento con diagramas 1.2 Análisis del movimiento con gráficas 1.3 Predicción de un movimiento con base en gráficas 1.4 Predicción de un movimiento con base en ecuaciones 1.5 Estrategias para resolver problemas de cinemática 1.6 Esquiador en competencia de descenso

O N L I N E

2.4 Movimiento con aceleración constante 49

Por último, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos el resultado:

(sólo con aceleración constante) (2.12)

Esta ecuación (2.12) indica que si, en el instante t 5 0, una partícula está en x 0 y

tiene velocidad v 0 x , su nueva posición x en un t posterior es la suma de tres términos:

su posición inicial x 0 , más la distancia v 0 xt que recorrería si su velocidad fuera cons-

tante, y una distancia adicional axt^2 causada por el cambio de velocidad.

Una gráfica de la ecuación (2.12), es decir, una gráfica x-t para movimiento con

aceleración constante (figura 2.18a), siempre es una parábola. La figura 2.18b mues-

tra tal gráfica. La curva interseca el eje vertical ( x ) en x 0 , la posición en t 5 0. La

pendiente de la tangente en t 5 0 es v 0 x , la velocidad inicial, y la pendiente de la tan-

gente en cualquier t es la velocidad vx en ese instante. La pendiente y la velocidad

aumentan continuamente, así que la aceleración ax es positiva. Usted puede también

ver esto porque la gráfica de la figura 2.18b es cóncava hacia arriba (se curva hacia

arriba). Si ax es negativa, la gráfica x-t es una parábola cóncava hacia abajo (tiene

curvatura hacia abajo).

Si hay aceleración cero, la gráfica x-t es una recta; si hay una aceleración cons-

tante, el término adicional axt^2 en la ecuación (2.12) para x en función de t curva la

gráfica en una parábola (figura 2.19 a ). Podemos analizar la gráfica vx-t de la misma

forma. Si hay aceleración cero, esta gráfica es una línea horizontal (la velocidad es

constante); sumar una aceleración constante da una pendiente para la gráfica vx-t

(figura 2.19b).

1 2

1 2

x 5 x 0 1 v 0 x t 1

ax t^2

v 0 x 1

ax t 5

x 2 x 0

t

o

Durante el intervalo t , la velocidad cambia como vx 2 v 0 x 5 axt.

Aceleración constante: la gráfica x - t es una parábola.

a) Un auto de carreras se mueve en la dirección x con aceleración constante

b) La gráfica x - t

v 0 x

vx 5 v 0 x 1 axt

x

x x

x^ x^0 0

O

x

O

t t

Pendiente 5 vx

Pendiente 5 v 0 x

2.18 a) Movimiento rectilíneo con

aceleración constante. b) Una gráfica

de posición contra tiempo ( x-t ) para este

movimiento (el mismo movimiento que se

muestra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17).

En este caso, la posición inicial x 0 , la

velocidad inicial v 0 x y la aceleración ax

son todas positivas.

2.19 a) Cómo una aceleración

constante influye en a) la gráfica x-t

y b) la gráfica vx - t de un cuerpo.

1.8 Los cinturones de seguridad salvan vidas 1.9 Frenado con derrape 1.10 Auto arranca y luego se detiene 1.11 Resolución de problemas con dos vehículos 1.12 Auto alcanza a camión 1.13 Cómo evitar un choque por atrás

O N L I N E

2.4 Movimiento con aceleración constante 51

Estrategia para resolver problemas 2.1 (^) Movimiento con aceleración constante

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes : En casi todos los proble- mas de movimiento rectilíneo, usted podrá usar las ecuaciones de ace- leración constante, aunque a veces se topará con situaciones en que la aceleración no es constante. En tales casos, necesitará otra estrategia (véase la sección 2.6).

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:

  1. Primero decida dónde está el origen de las coordenadas y cuál di- rección es positiva. A menudo lo más sencillo es colocar la partícu- la en el origen en t 5 0; así, x 0 5 0. Siempre es útil un diagrama de movimiento que muestre las coordenadas y algunas posiciones posteriores de la partícula.
  2. Recuerde que elegir la dirección positiva del eje determina automá- ticamente las direcciones positivas de la velocidad y la aceleración. Si x es positiva a la derecha del origen, vx y ax también serán positi- vas hacia la derecha.
  3. Replantee el problema con palabras y luego traduzca su descrip- ción a símbolos y ecuaciones. ¿ Cuándo llega la partícula a cierto punto (es decir, cuánto vale t )? ¿ Dónde está la partícula cuando tie-

ne cierta velocidad (esto es, cuánto vale x cuando vx tiene ese va- lor)? El ejemplo 2.4 pregunta “¿Dónde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m>s?” En símbolos, esto indica “¿Cuánto va- le x cuando vx 5 25 m>s?”

  1. Haga una lista de las cantidades como x , x 0 , vx , v 0 x , ax y t. En gene- ral, algunas serán conocidas y otras no. Escriba los valores de las conocidas y decida cuáles de las variables son las incógnitas. No pase por alto información implícita. Por ejemplo, “un automóvil está parado ante un semáforo” implica v 0 x 5 0.

EJECUTAR la solución: Elija una de las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) que contenga sólo una de las incógnitas. Despeje la in- cógnita usando sólo símbolos, sustituya los valores conocidos y calcu- le el valor de la incógnita. A veces tendrá que resolver dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para ver si son ló- gicos. ¿Están dentro del intervalo general de valores esperado?

Ejemplo 2.4 (^) Cálculos de aceleración constante

Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad de Iowa y acelera apenas pasa el letrero que marca el límite de la ciudad (figura 2.20). Su aceleración constante es de 4.0 m>s^2. En t 5 0, está a 5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 m>s. a ) Calcule su posición y velocidad en t 5 2.0 s. b ) ¿Dónde está el motociclista cuando su velo- cidad es de 25 m>s?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice que la acelera- ción es constante, así que podemos usar las ecuaciones para acele- ración constante.

PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas ( x 5 0) y decidimos que el eje 1 x apunta al este (figura 2.20, que también es un diagrama de movimiento). En t 5 0, la posición inicial es x 0 5 5.0 m y la velocidad inicial es v 0 x 5 15 m>s. La aceleración constante es ax 5 4.0 m>s^2. Las variables desconocidas en el inciso a ) son los valores de la posición x y la velocidad vx en el instante pos- terior t 5 2.0 s; la incógnita en el inciso b ) es el valor de x cuando vx 5 25 m>s.

(^19651) AWx (^19651) AWx x (este) x 5? t 5 2.0 s

O

v 0 x 5 15 m/s (^) v x^5?

ax 5 4.0 m/s^2

x 0 5 5.0 m t 5 0

OSAGE

2.20 Un motociclista que viaja con aceleración constante.

Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del movimiento

con aceleración constante. Con ellas, podemos resolver cualquier problema que im-

plique movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante.

En el caso específico de movimiento con aceleración constante ilustrado en la fi-

gura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los valores de x 0 , v 0 x y ax son

positivos. Vuelva a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las tres canti-

dades sean negativas.

Un caso especial de movimiento con aceleración constante se da cuando la acele-

ración es cero. La velocidad es entonces constante, y las ecuaciones del movimiento

se convierten sencillamente en

x 5 x 0 1 vx t

vx 5 v 0 x 5 constante

continúa

52 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

EJECUTAR: a ) Podemos hallar la posición x en t 5 2.0 s usando la ecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t :

Podemos hallar la velocidad vx en ese instante con la ecuación (2.8), que da la velocidad vx en función del tiempo t :

b ) Queremos encontrar el valor de x cuando vx 5 25 m>s, pero no sabemos el momento en que el motociclista lleva tal velocidad. Por lo tanto, utilizamos la ecuación (2.13), que incluye x , vx y ax pero no incluye t :

Despejando x y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos

5 55 m

5 5.0 m 1

1 25 m/s 2 2 2 1 15 m/s 2 2 2 1 4.0 m/s^2

x 5 x 0 1

vx^2 2 v 0 x^2 2 ax

vx^2 5 v 0 x^2 1 2 ax 1 x 2 x 0 2

5 15 m/s 1 1 4.0 m/s^2 2 1 2.0 s 2 5 23 m/s

vx 5 v 0 x 1 ax t

5 43 m

5 5.0 m 1 1 15 m/s 2 1 2.0 s 2 1

1 4.0 m/s^2 2 1 2.0 s 2 2

x 5 x 0 1 v 0 x t 1

ax t^2

Un método alterno aunque más largo para la mima respuesta se- ría usar la ecuación (2.8) para averiguar primero en qué instante vx 5 25 m>s:

Dado el tiempo t , podemos calcular x usando la ecuación (2.12):

EVALUAR: ¿Son lógicos los resultados? Según lo que calculamos en el inciso a ), el motociclista acelera de 15 m>s (unas 34 mi>h o 54 km>h) a 23 m>s (unas 51 mi>h o 83 km>h) en 2.0 s, mientras reco- rre una distancia de 38 m (unos 125 ft). Ésta es una aceleración consi- derable, pero una motocicleta de alto rendimiento bien puede al- canzarla. Al comparar nuestros resultados del inciso b ) con los del inciso a ), notamos que el motociclista alcanza una velocidad vx 5 25 m>s en un instante posterior y después de recorrer una distancia mayor, que cuando el motociclista tenía vx 5 23 m>s. Esto suena lógico porque el motociclista tiene una aceleración positiva y, por ende, se incremen- ta su velocidad.

5 55 m

5 5.0 m 1 1 15 m/s 2 1 2.5 s 2 1

1 4.0 m/s^2 2 1 2.5 s 2 2

x 5 x 0 1 v 0 x t 1

ax t^2

t 5

vx 2 v 0 x ax

25 m/s 2 15 m/s 4.0 m/s^2

5 2.5 s

vx 5 v 0 x 1 ax t así que

Ejemplo 2.5 (^) Dos cuerpos con diferente aceleración

Un conductor que viaja a rapidez constante de 15 m>s (unas 34 mi>h) pasa por un cruce escolar, cuyo límite de velocidad es de 10 m>s (unas 22 mi>h). En ese preciso momento, un oficial de policía en su motocicleta, que está parado en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0 m>s^2 (figura 2.21a). a ) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el oficial de policía alcance al infractor? b ) ¿A qué rapidez va el policía en ese instante? c ) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: El oficial de policía y el conductor se mueven con ace- leración constante (cero en el caso del conductor), así que podemos usar las fórmulas que ya dedujimos.

PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que x 0 5 0 para am- bos, y tomamos como dirección positiva a la derecha. Sea x P la po- sición del policía y xM la del conductor en cualquier instante. Las velocidades iniciales son v P0 x 5 0 para el policía y v M0 x 5 15 m>s para el conductor; las respectivas aceleraciones constantes son a P x 5 3.0 m>s^2 y a M x 5 0. Nuestra incógnita en el inciso a ) es el tiempo tras el cual el policía alcanza al conductor, es decir, cuando los dos vehículos están en la misma posición. En el inciso b ) nos interesa la rapidez v del policía (la magnitud de su velocidad) en el tiempo obtenido en el inciso a ). En el inciso c ) nos interesa la po- sición de cualesquiera de los vehículos en ese tiempo. Por lo tanto, usaremos la ecuación (2.12) (que relaciona posición y tiempo) en los

POLICE

Oficial de policía: inicialmente en reposo, aceleración constante.

El policía y el conductor se encuentran en el instante t donde se cruzan sus gráficas x-t.

Conductor: velocidad constante.

O^ x P

a P x 5 3.0 m/s^2 v M0 x 5 15 m/s

x M

x (m)

x O 2 6 8 10 12

t (s)

Conductor

Policía

4

a)

b)

ESCOLAR^ CRUCE

2.21 a) Movimiento con aceleración constante que alcanza a movimiento con velocidad constante. b) Gráfica de x contra t para

cada vehículo.

54 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta

destellos son iguales, la velocidad media de la pelota entre dos destellos es propor-

cional a la distancia entre las imágenes correspondientes en la fotografía. El aumen-

to en las distancias muestra que la velocidad cambia continuamente: la pelota

acelera hacia abajo. Al medir cuidadosamente constatamos que el cambio de veloci-

dad es el mismo en cada intervalo, así que la aceleración de la pelota en caída libre

es constante.

La aceleración constante de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida

a la gravedad , y denotamos su magnitud con la letra g. Por lo regular, usaremos el

valor aproximado de g cerca de la superficie terrestre:

(valor aproximado cerca de la superficie terrestre)

El valor exacto varía según el lugar, así que normalmente sólo lo daremos con dos ci-

fras significativas. Dado que g es la magnitud de una cantidad vectorial, siempre es

positiva. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la gravedad se debe a la

fuerza de atracción de la Luna, no de la Tierra, y g 5 1.6 m>s^2. Cerca de la superficie

del Sol, g 5 270 m>s^2.

En los ejemplos que siguen usamos las ecuaciones para aceleración constante que

dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lector que repase las estrategias de resolu-

ción de problemas de esa sección antes de estudiar estos ejemplos.

5 32 ft/s^2

g 5 9.8 m/s^2 5 980 cm/s^2

Ejemplo 2.6 (^) Moneda en caída libre

Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; parte del reposo y cae libremente. Calcule su posición y su velocidad después de 1.0, 2.0 y 3.0 s.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: “Cae libremente” significa “tiene una aceleración constante debida a la gravedad”, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración constante en la determinación de nuestras incógnitas.

PLANTEAR: El lado derecho de la figura 2.23 muestra nuestro diagra- ma de movimiento para la moneda. El movimiento es vertical, de ma- nera que usamos un eje de coordenadas vertical y llamaremos a la coordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuaciones para aceleración constante por y. Tomaremos el origen O como el punto de partida y la dirección hacia arriba como positiva. La coorde- nada inicial y 0 y la velocidad inicial v 0 y son ambas cero. La acelera- ción es hacia abajo, en la dirección y negativa, así que ay 5 2 g 5 2 9.8 m>s^2. (Recuerde que por definición g siempre es positiva.) Por lo tanto, nuestras incógnitas son los valores de y y vy en los tres ins- tantes especificados. Para obtenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustituyendo x por y.

EJECUTAR: En un instante t después de que se suelta la moneda, su posición y su velocidad son

Cuando t 5 1.0 s, y 5 ( 2 4.9 m>s^2 ) (1.0 s)^2 5 24.9 m y vy 5 ( 2 9. m>s^2 ) (1.0 s) 5 29.8 m>s; después de 1 s, la moneda está 4.9 m de- bajo del origen ( y es negativa) y tiene una velocidad hacia abajo ( vy es negativa) con magnitud de 9.8 m>s. La posición y la velocidad a los 2.0 s y 3.0 s se obtienen de la misma forma. ¿Puede usted demostrar que y 5 219.6 m y vy 5 2 19.6 m>s en t 5 2.0 s, y que y 5 244.1 m y vy 5 229.4 m>s en t 5 3.0 s?

EVALUAR: Todos los valores que obtuvimos para vy son negativos porque decidimos que el eje 1 y apuntaría hacia arriba; pero bien podríamos haber decidido que apuntara hacia abajo. En tal caso, la aceleración habría sido ay 5 1 g y habríamos obtenido valores posi- tivos para vy. No importa qué eje elija; sólo asegúrese de decirlo claramente en su solución y confirme que la aceleración tenga el signo correcto.

vy 5 v 0 y 1 ay t 5 0 1 1 2 g 2 t 5 1 2 9.8 m/s^2 2 t

y 5 y 0 1 v 0 y t 1

ay t^2 5 0 1 0

(^1 2) g (^2) t^2 5 1 2 4.9 m/s^2 2 t^2

La Torre Inclinada Nuestra gráfica del problema

2.23 Una moneda en caída libre desde reposo.

1.7 Se deja caer limonada desde un globo aerostático 1.10 Caída de un saltador con garrocha

O N L I N E

2.5 Cuerpos en caída libre 55

Ejemplo 2.7 Movimiento ascendente y descendente en caída libre

Imagine que usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. La pelota sale de la mano, en un punto a la al- tura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15.0 m>s, quedando luego en caída libre. Al bajar, la pelota libra apenas el barandal. En este lugar, g 5 9.8 m>s^2. Obtenga a ) la posición y veloci- dad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b ) la velocidad cuando la pelota está 5.00 m sobre el barandal; c ) la altura máxima alcanzada y el instante en que se alcanza; y d ) la aceleración de la pelota en su altura máxima.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Las palabras “caída libre” en el enunciado del proble- ma implican que la aceleración es constante y debida a la gravedad. Las incógnitas son la posición [en los incisos a ) y c )], la velocidad [en los incisos a ) y b )] y la aceleración [en el inciso d )].

PLANTEAR: En la figura 2.24 (que también es un diagrama de movi- miento para la pelota), la trayectoria descendente se muestra desplaza- da un poco a la derecha de su posición real por claridad. Sea el origen el barandal, donde la pelota sale de la mano, y sea la dirección positiva hacia arriba. La posición inicial y 0 es cero, la velocidad inicial v 0 y es 1 15.0 m>s y la aceleración es aY 5 2 g 5 29.80 m>s2.^ Usaremos otra vez las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la veloci- dad, respectivamente, en función del tiempo. En el inciso b ), nos piden hallar la velocidad en cierta posición, no en cierto tiempo, así que nos convendrá usar la ecuación (2.13) en esa parte.

EJECUTAR: a ) La posición y y la velocidad vy , en cualquier instante t una vez que se suelta la pelota están dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), cambiando las x por y :

5 15.0 m/s 1 1 2 9.80 m/s^2 2 t

vy 5 v 0 y 1 ay t 5 v 0 y 1 1 2 g 2 t

5 1 0 2 1 1 15.0 m/s 2 t 1

1 2 9.80 m/s^2 2 t^2

y 5 y 0 5 v 0 y t 1

ay t^2 5 y 0 1 v 0 y t 1

1 2 g 2 t^2

Cuando t 5 1.00 s, estas ecuaciones dan

La pelota está 10.1 m sobre el origen ( y es positiva) y se mueve hacia arriba ( vy es positiva) con rapidez de 5.2 m>s, menor que la rapidez ini- cial porque la pelota frena mientras asciende. Cuando t 5 4.00 s, las ecuaciones para y y vy en función del tiempo t dan

La pelota pasó su punto más alto y está 18.4 m debajo del origen ( y es negativa); tiene velocidad hacia abajo ( vy es negativa) de magnitud 24.2 m>s. Conforme sube, la pelota pierde rapidez, luego la gana al descender; se mueve a la rapidez inicial de 15.0 m>s cuando pasa hacia abajo por su punto de lanzamiento (el origen) y continúa ganando rapi- dez conforme desciende por debajo de este punto. b ) La velocidad vy en cualquier posición y está dada por la ecua- ción (2.13) cambiando las x por y :

Con la pelota a 5.00 m sobre el origen, y 5 15.00 m, así que

Obtenemos dos valores de vy , pues la pelota pasa dos veces por el punto y 5 15.00 m (véase la figura 2.24), una subiendo con vy posi- tiva y otra bajando con vy negativa. c ) En el instante en que la pelota llega al punto más alto, está mo- mentáneamente en reposo y vy 5 0. La altura máxima y 1 puede obte- nerse de dos formas. La primera es usar la ecuación (2.13) y sustituir vy 5 0, y 0 5 0 y ay 5 2 g :

La segunda consiste en calcular el instante en que vy 5 0 usando la ecuación (2.8), vy 5 v 0 y 1 ayt , y sustituir este valor de t en la ecuación (2.12), para obtener la posición en ese instante. Por la ecuación (2.8), el instante t l en que la pelota llega al punto más alto es

Sustituyendo este valor de t en la ecuación (2.12) obtenemos

Observe que la primera forma de hallar la altura máxima es más senci- lla, ya que no es necesario calcular primero el tiempo.

1 2 9.8 m/s^2 2 1 1.53 s 2 2 5 111.5 m

y 5 y 0 1 v 0 y t 1

ay t^2 5 1 0 2 1 1 15 m/s 2 1^ 1.53 s 2

t 1 5

v 0 y g

15.0 m/s 9.80 m/s^2

5 1.53 s

vy 5 0 5 v 0 y 1 1 2 g 2 t 1

y 1 5

v 0 y^2 2 g

1 15.0 m/s 2 2 2 1 9.80 m/s^2

5 111.5 m

0 5 v 0 y^2 1 2 1 2 g 2 1^ y 1 2 0 2

vy 5 611.3 m/s

vy^2 5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 2 9.80 m/s^2 2 1 5.00 m 2 5 127 m^2 /s^2

5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 2 9.80 m/s^2 2 y

vy^2 5 v 0 y^2 1 2 ay^1 y 2 y 0 2 5 v 0 y^2 1 2 1 2 g 2 1^ y 2 0 2

y 5 218.4 m vy 5 224.2 m/s

y 5 110.1 m vy 5 15.2 m/s

La pelota realmente se mueve hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, presentamos una trayectoria con forma de U.

t 5 0, v 0 y 5 15.0 m/s

t 5 1.00 s, vy 5?

y 5? y 5?

y 5?

y 5 5.00 m

y 5 0

y

t 5 4.00 s vy 5?

vy 5?

t 5?

t 5?

vy 5 0

ay 5 2 g

t 5 ?, vy 5?

5 29.80 m/s^2

2.24 Posición y velocidad de una pelota que se lanza vertical-

mente hacia arriba.

continúa