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Libro sobre fisica universitaris completo
Tipo: Apuntes
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36
METAS DE
APRENDIZAJE
Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
en línea recta en términos de velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración instantánea.
posición contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo para el movimiento en línea recta.
línea recta cuando la aceleración no es constante.
2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media 37
2.1 Desplazamiento, tiempo
y velocidad media
CI U DADO (^) El significado de D x Note que D x no es el producto de D y x ; es sólo un sím- bolo que significa “el cambio en la cantidad x ”. Siempre usaremos la letra griega mayúscula D (delta) para representar un cambio en cierta cantidad, calculada restando el valor inicial del va- lor final , y nunca a la inversa_._ Asimismo, el intervalo de tiempo de t 1 a t 2 es D t , el cambio en la cantidad t : D t 5 t 2 2 t 1 (tiempo final menos tiempo inicial). ❚
2.2 Velocidad instantánea 39
Pendiente 5 5
Para un desplazamiento a lo largo del eje x , la velocidad media de un objeto v med- x es igual a la pendiente de una línea que conecta los puntos correspondientes en una gráfica de posición ( x ) contra tiempo ( t ).
x (m)
x 2
p 1
P 2 p 2
x 1
t 2
t (s) O
Pista de arrancones (no está a escala)
D x 5 x 2 2 x 1
Pendiente
velocidad
x
D t 5 t 2 2 t 1
t 1
D x D t
inclinación de la recta
Evalúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguientes viajes en automóvil dura una hora. La dirección x positiva es hacia el este. i) El automóvil A viaja 50 km al este. ii) El automóvil B viaja 50 km al oeste. iii) El automóvil C viaja 60 km al este, luego da vuelta y viaja 10 km al oeste. iv) El automóvil D viaja 70 km al este. v) El automóvil E viaja 20 km al oeste, luego da vuelta y viaja 20 km al este. a ) Clasifique los cinco viajes en orden de velocidad media de más positivo a más negativo. b ) ¿Cuáles viajes, si hay, tienen la misma velocidad media? c ) ¿Para cuál viaje, si hay, la velocidad media es igual a cero? ❚
Reptar de caracol Andar rápido Hombre más rápido
Guepardo en carrera Automóvil más rápido Movimiento aleatorio de moléculas de aire Avión más rápido Satélite de comunicación en órbita Electrón en un átomo de hidrógeno Luz que viaja en el vacío 3 3 108 m/s
2 3 106 m/s
3000 m/s
1000 m/s
500 m/s
341 m/s
35 m/s
11 m/s
2 m/s
1023 m/s
2.2 Velocidad instantánea
CU I DADO (^) ¿Cuánto tiempo dura un instante? Note que la palabra “instante” tiene un significado un poco distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos utilizar la frase “duró sólo un instante” para referirnos a algo que duró un intervalo de tiempo muy corto. Sin embargo, en física un instante no tiene duración; es un solo valor de tiempo. ❚
40 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
Ejemplo 2.1 (^) Velocidades media e instantánea
Un guepardo acecha 20 m al este del escondite de un observador (figura 2.6a). En el tiempo t 5 0, el guepardo ataca a un antílope y empieza a correr en línea recta. Durante los primeros 2.0 s del ataque, la coordenada x del guepardo varía con el tiempo según la ecuación x 5 20 m 1 (5.0 m>s^2 ) t^2. a ) Obtenga el desplazamiento del guepardo entre t 1 5 1.0 s y t 2 5 2.0 s. b ) Calcule la velocidad media en dicho
intervalo. c ) Calcule la velocidad instantánea en t 1 5 1.0 s tomando D t 5 0.1 s, luego D t 5 0.01 s, luego D t 5 0.001 s. d ) Deduzca una expresión general para la velocidad instantánea en función del tiem- po, y con ella calcule vx en t 5 1.0 s y t 5 2.0 s.
CU I DADO (^) Rapidez media y velocidad media La rapidez media, sin embargo, no es la magnitud de la velocidad media. Cuando Alexander Popov estableció un récord mundial en 1994 nadando 100.0 m en 46.74 s , su rapidez media fue de (100.0 m)>(46.74 s) 5 2.139 m>s_._ No obstante, como nadó dos veces la longitud de una alberca de 50 m, terminó en el punto de donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidad media de cero! Tanto la rapidez media como la rapidez instantánea son escalares, no vectores, porque no contienen información de dirección. ❚
D t S 0
42 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
Cuando la velocidad media v med- x es calculada en intervalos cada vez más cortos ...
... su valor v med- x 5 D x /D t se acerca a la velocidad instantánea.
La velocidad instantánea vx en un tiempo dado es igual a la pendiente de la tangente a la curva x - t en ese tiempo.
5 40 m/s
vx 5 160 m4.0 s
D t 5 1.0 s D x 5 55 m v med- x 5 55 m/s Pendiente de la tangente
velocidad instantánea p (^1) 4.0 s
160 m
t (s) O 1 2 3 4 5
x (m) 400
a) b) c)
t (s) 1 2 3 4 5
p 2 p (^1) D t D x
x (m)
t (s) 1 2 3 4 5
p 2
D t 5 2.0 s D x 5 150 m v med- x 5 75 m/s
p 1
D x D t
x (m) 400
La partícula está en x , 0 y se mueve en la dirección 1 x.
De tA a tB acelera, ...
... y de tB a tC frena, y se detiene momentáneamente en tC.
De tC a tD acelera en la dirección 2 x , ... ... y de tD a tE frena en la dirección 2 x.
Cuanto más empinada está la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica x - t de un objeto, mayor será la rapidez del objeto en la dirección positiva o negativa.
Pendiente positiva: vx. 0
Pendiente cero: vx 5 0
Pendiente negativa: vx , 0
a) Gráfica x - t b) Movimiento de partículas
tA 5 0
tB
tC
tD
tE
v 0
x
v 0
x
x
v
v
v 5 0 0
x
x
x C
D
E t
Obtención de la velocidad en una gráfica x-t
D t S^ 0,
1.1 Análisis del movimiento usando diagramas
O N L I N E
2.3 Aceleración media e instantánea 43
2.3 Aceleración media e instantánea
Aceleración media
CU I DADO (^) Aceleración contra velocidad ¡No confunda aceleración con velocidad! La velocidad describe el cambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos indica con qué rapi- dez y en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velocidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del movimiento. Podría ser útil recordar la frase “aceleración es a velocidad lo que velocidad es a posición”. También ayudaría imaginarse a usted mismo yendo en un automóvil con el cuerpo en movimiento. Si el auto acelera hacia delante y aumenta su rapidez, usted se sentiría empujado hacia atrás hacia su asiento; si acelera hacia atrás y disminuye su rapidez, se sentiría empujado hacia delante. Si la velocidad es constante y no hay aceleración, no sentiría sensación alguna. (Analizaremos la causa de estas sensaciones en el capítulo 4.) ❚
t
x
2.3 Aceleración media e instantánea 45
Obtención de la aceleración en una gráfica vx - t
o una gráfica x-t
Ejemplo 2.3 (^) Aceleraciones media e instantánea
Suponga que la velocidad vx del auto en la figura 2.11 en el tiempo t está dada por
a) Calcule el cambio de velocidad del auto en el intervalo entre t 1 5 1.0 s y t 2 5 3.0 s. b ) Calcule la aceleración media en este intervalo. c ) Obtenga la aceleración instantánea en t 1 5 1.0 s tomando D t prime- ro como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s. d ) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea en cualquier instante y úsela para obtener la aceleración en t 5 1.0 s y t 5 3.0 s.
IDENTIFICAR: Este ejemplo es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasar ahora ese ejemplo.) Ahí, calculamos la velocidad media en intervalos cada vez más cortos considerando el cambio en el desplazamiento, y obtuvimos la velocidad instantánea di- ferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo, deter- minaremos la aceleración media considerando cambios de velocidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, obtendremos la aceleración ins- tantánea diferenciando la velocidad en función del tiempo.
PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) de la aceleración media y la ecuación (2.5) de la aceleración instantánea.
EJECUTAR: a) Primero obtenemos la velocidad en cada instante susti- tuyendo cada valor de t en la ecuación. En el instante t 1 5 1.0 s,
En el instante t 2 5 3.0 s,
El cambio en la velocidad D vx es
El intervalo de tiempo es D t 5 3.0 s 2 1.0 s 5 2.0 s.
D vx 5 v 2 x 2 v 1 x 5 64.5 m/s 2 60.5 m/s 5 4.0 m/s
v 2 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1 3.0 s 2 2 5 64.5 m/s
v 1 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1^ 1.0 s 2 2 5 60.5 m/s
vx 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 t^2
b) La aceleración media durante este intervalo es
Durante el intervalo de t 1 5 1.0 s a t 2 5 3.0 s, la velocidad y la ace- leración media tienen el mismo signo (positivo en este caso) y el auto acelera. c) Cuando y obtenemos
Repita este modelo con y los resultados son a med- x 5 1.005 m>s^2 y a med- x 5 1.0005 m>s^2 , respectivamente. Al redu- cirse D t , la aceleración media se acerca a 1.0 m>s^2 , por lo que conclui- mos que la aceleración instantánea en t 5 1.0 s es 1.0 m>s^2. d) La aceleración instantánea es ax 5 dvx > dt. La derivada de una constante es cero y la derivada de t^2 es 2 t. Con esto, obtenemos
Cuando t 5 1.0 s,
Cuando t 5 3.0 s,
EVALUAR: Observe que ninguno de los valores que obtuvimos en el inciso d ) es igual a la aceleración media obtenida en b ). La aceleración instantánea del auto varía con el tiempo. La tasa de cambio de la acele- ración con el tiempo se suele denominar el “tirón”.
ax 5 1 1.0 m/s^3 2 1^ 3.0 s 2 5 3.0 m/s^2
ax 5 1 1.0 m/s^3 2 1 1.0 s 2 5 1.0 m/s^2
5 1 0.50 m/s^3 2 1 2 t 2 5 1 1.0 m/s^3 2 t
ax 5
dvx dt
d dt
3 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 t^2
D t 5 0.01 s D t 5 0.001 s;
a med- x 5
D vx D t
0.105 m/s 0.1 s
5 1.05 m/s^2
D vx 5 0.105 m/s
v 2 x 5 60 m/s 1 1 0.50 m/s^3 2 1^ 1.1 s 2 2 5 60.605 m/s
D t 5 0.1 s, t 2 5 1.1 s
a med- x 5
v 2 x 2 v 1 x t 2 2 t 1
4.0 m/s 2.0 s
5 2.0 m/s^2
46 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
CU I DADO (^) Los signos de aceleración y velocidad En sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo está acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la aceleración. Si vx y ax tienen el mismo signo, el cuerpo está acelerando; si ambas son positivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si ambas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad cada vez más negativa, y la rapidez aumenta nuevamente. Si vx y ax tienen signos opuestos , el cuerpo está frenando. Si vx es positiva y ax negativa, el cuerpo se mueve en dirección positiva con rapidez decreciente; si vx es negativa y ax positiva, el cuerpo se mueve en dirección negati- va con una velocidad cada vez menos negativa, y nuevamente está frenando. La figura 2. ilustra algunas de tales posibilidades. ❚
dt^1
dt^2
vx
v 2 x
v 1 x
t 1 t 2
t O
p 1
p 2
D t 5 t 2 2 t 1
D vx 5 v 2 x 2 v 1 x
Pendiente de la tangente a la curva vx - t en un punto dado 5 aceleración instantánea en ese punto.
Para un desplazamiento a lo largo del eje x , la aceleración media de un objeto es igual a la pendiente de una línea que conecta los puntos correspondientes en una gráfica de velocidad ( vx ) contra tiempo ( t ).
Pendiente
aceleración media
Pendiente cero: ax 5 0
Cuanto más empinada esté la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica vx - t de un objeto, mayor será la aceleración del objeto en la dirección positiva o negativa.
El objeto está en x , 0 y se mueve en la dirección 2 x ( vx , 0), frenando ( vx y ax tienen signos opuestos).
El objeto está en x. 0 y se mueve en la dirección 2 x ( vx , 0), acelerando ( vx y ax tienen el mismo signo).
El objeto está en x. 0 y se mueve en la dirección 1 x ( vx. 0); su rapidez no cambia instantáneamente ( ax 5 0).
El objeto está en x , 0, instantáneamente en reposo ( vx 5 0), y a punto de moverse en la dirección 1 x ( ax. 0).
El objeto está en x. 0, instantáneamente en reposo ( vx 5 0), y a punto de moverse en la dirección 2 x ( ax , 0).
Pendiente positiva: ax. 0 Pendiente negativa: ax , 0
a) La gráfica vx - t para un objeto que se mueve en el eje x
b) Posición, velocidad y aceleración del objeto en el eje x
t
vx
tE
tA 5 0
tB
tC
tD
x
x
x
x
a
a
v
a 5 0
v
v 5 0
x
a
v 5 0
v
a
48 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
1 v 0 x 1 v 0 x 1 ax t 2
Aceleración constante: la gráfica ax - t es una línea horizontal (pendiente 5 0).
El área bajo la gráfica ax - t es vx 2 v 0 x 5 cambio de velocidad del tiempo 0 al tiempo t.
ax
ax
t
t
Aceleración constante: la gráfica vx - t es una recta.
Durante el intervalo t , la velocidad cambia como vx 2 v 0 x 5 axt.
Pendiente
aceleración
El área total bajo la gráfica vx - t es x 2 x 0 5 cambio en la coordenada x del tiempo 0 al tiempo t.
vx
vx
v 0 x
t t
vx
ax t
v 0 x
1.1 Análisis del movimiento con diagramas 1.2 Análisis del movimiento con gráficas 1.3 Predicción de un movimiento con base en gráficas 1.4 Predicción de un movimiento con base en ecuaciones 1.5 Estrategias para resolver problemas de cinemática 1.6 Esquiador en competencia de descenso
O N L I N E
2.4 Movimiento con aceleración constante 49
1 2
1 2
Durante el intervalo t , la velocidad cambia como vx 2 v 0 x 5 axt.
Aceleración constante: la gráfica x - t es una parábola.
a) Un auto de carreras se mueve en la dirección x con aceleración constante
b) La gráfica x - t
v 0 x
vx 5 v 0 x 1 axt
x
x x
x^ x^0 0
O
x
O
t t
Pendiente 5 vx
Pendiente 5 v 0 x
1.8 Los cinturones de seguridad salvan vidas 1.9 Frenado con derrape 1.10 Auto arranca y luego se detiene 1.11 Resolución de problemas con dos vehículos 1.12 Auto alcanza a camión 1.13 Cómo evitar un choque por atrás
O N L I N E
2.4 Movimiento con aceleración constante 51
Estrategia para resolver problemas 2.1 (^) Movimiento con aceleración constante
IDENTIFICAR los conceptos pertinentes : En casi todos los proble- mas de movimiento rectilíneo, usted podrá usar las ecuaciones de ace- leración constante, aunque a veces se topará con situaciones en que la aceleración no es constante. En tales casos, necesitará otra estrategia (véase la sección 2.6).
PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:
ne cierta velocidad (esto es, cuánto vale x cuando vx tiene ese va- lor)? El ejemplo 2.4 pregunta “¿Dónde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m>s?” En símbolos, esto indica “¿Cuánto va- le x cuando vx 5 25 m>s?”
EJECUTAR la solución: Elija una de las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) que contenga sólo una de las incógnitas. Despeje la in- cógnita usando sólo símbolos, sustituya los valores conocidos y calcu- le el valor de la incógnita. A veces tendrá que resolver dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.
EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para ver si son ló- gicos. ¿Están dentro del intervalo general de valores esperado?
Ejemplo 2.4 (^) Cálculos de aceleración constante
Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad de Iowa y acelera apenas pasa el letrero que marca el límite de la ciudad (figura 2.20). Su aceleración constante es de 4.0 m>s^2. En t 5 0, está a 5.0 m al este del letrero, moviéndose al este a 15 m>s. a ) Calcule su posición y velocidad en t 5 2.0 s. b ) ¿Dónde está el motociclista cuando su velo- cidad es de 25 m>s?
IDENTIFICAR: El enunciado del problema nos dice que la acelera- ción es constante, así que podemos usar las ecuaciones para acele- ración constante.
PLANTEAR: Tomamos el letrero como origen de coordenadas ( x 5 0) y decidimos que el eje 1 x apunta al este (figura 2.20, que también es un diagrama de movimiento). En t 5 0, la posición inicial es x 0 5 5.0 m y la velocidad inicial es v 0 x 5 15 m>s. La aceleración constante es ax 5 4.0 m>s^2. Las variables desconocidas en el inciso a ) son los valores de la posición x y la velocidad vx en el instante pos- terior t 5 2.0 s; la incógnita en el inciso b ) es el valor de x cuando vx 5 25 m>s.
(^19651) AWx (^19651) AWx x (este) x 5? t 5 2.0 s
v 0 x 5 15 m/s (^) v x^5?
ax 5 4.0 m/s^2
x 0 5 5.0 m t 5 0
OSAGE
continúa
52 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
EJECUTAR: a ) Podemos hallar la posición x en t 5 2.0 s usando la ecuación (2.12) que da la posición x en función del tiempo t :
Podemos hallar la velocidad vx en ese instante con la ecuación (2.8), que da la velocidad vx en función del tiempo t :
b ) Queremos encontrar el valor de x cuando vx 5 25 m>s, pero no sabemos el momento en que el motociclista lleva tal velocidad. Por lo tanto, utilizamos la ecuación (2.13), que incluye x , vx y ax pero no incluye t :
Despejando x y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos
5 55 m
5 5.0 m 1
1 25 m/s 2 2 2 1 15 m/s 2 2 2 1 4.0 m/s^2
x 5 x 0 1
vx^2 2 v 0 x^2 2 ax
5 15 m/s 1 1 4.0 m/s^2 2 1 2.0 s 2 5 23 m/s
vx 5 v 0 x 1 ax t
5 43 m
5 5.0 m 1 1 15 m/s 2 1 2.0 s 2 1
1 4.0 m/s^2 2 1 2.0 s 2 2
x 5 x 0 1 v 0 x t 1
ax t^2
Un método alterno aunque más largo para la mima respuesta se- ría usar la ecuación (2.8) para averiguar primero en qué instante vx 5 25 m>s:
Dado el tiempo t , podemos calcular x usando la ecuación (2.12):
EVALUAR: ¿Son lógicos los resultados? Según lo que calculamos en el inciso a ), el motociclista acelera de 15 m>s (unas 34 mi>h o 54 km>h) a 23 m>s (unas 51 mi>h o 83 km>h) en 2.0 s, mientras reco- rre una distancia de 38 m (unos 125 ft). Ésta es una aceleración consi- derable, pero una motocicleta de alto rendimiento bien puede al- canzarla. Al comparar nuestros resultados del inciso b ) con los del inciso a ), notamos que el motociclista alcanza una velocidad vx 5 25 m>s en un instante posterior y después de recorrer una distancia mayor, que cuando el motociclista tenía vx 5 23 m>s. Esto suena lógico porque el motociclista tiene una aceleración positiva y, por ende, se incremen- ta su velocidad.
5 55 m
5 5.0 m 1 1 15 m/s 2 1 2.5 s 2 1
1 4.0 m/s^2 2 1 2.5 s 2 2
x 5 x 0 1 v 0 x t 1
ax t^2
t 5
vx 2 v 0 x ax
25 m/s 2 15 m/s 4.0 m/s^2
5 2.5 s
vx 5 v 0 x 1 ax t así que
Ejemplo 2.5 (^) Dos cuerpos con diferente aceleración
Un conductor que viaja a rapidez constante de 15 m>s (unas 34 mi>h) pasa por un cruce escolar, cuyo límite de velocidad es de 10 m>s (unas 22 mi>h). En ese preciso momento, un oficial de policía en su motocicleta, que está parado en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0 m>s^2 (figura 2.21a). a ) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el oficial de policía alcance al infractor? b ) ¿A qué rapidez va el policía en ese instante? c ) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí?
IDENTIFICAR: El oficial de policía y el conductor se mueven con ace- leración constante (cero en el caso del conductor), así que podemos usar las fórmulas que ya dedujimos.
PLANTEAR: Tomamos como origen el cruce, así que x 0 5 0 para am- bos, y tomamos como dirección positiva a la derecha. Sea x P la po- sición del policía y xM la del conductor en cualquier instante. Las velocidades iniciales son v P0 x 5 0 para el policía y v M0 x 5 15 m>s para el conductor; las respectivas aceleraciones constantes son a P x 5 3.0 m>s^2 y a M x 5 0. Nuestra incógnita en el inciso a ) es el tiempo tras el cual el policía alcanza al conductor, es decir, cuando los dos vehículos están en la misma posición. En el inciso b ) nos interesa la rapidez v del policía (la magnitud de su velocidad) en el tiempo obtenido en el inciso a ). En el inciso c ) nos interesa la po- sición de cualesquiera de los vehículos en ese tiempo. Por lo tanto, usaremos la ecuación (2.12) (que relaciona posición y tiempo) en los
POLICE
Oficial de policía: inicialmente en reposo, aceleración constante.
El policía y el conductor se encuentran en el instante t donde se cruzan sus gráficas x-t.
Conductor: velocidad constante.
O^ x P
a P x 5 3.0 m/s^2 v M0 x 5 15 m/s
x M
x (m)
x O 2 6 8 10 12
t (s)
Conductor
Policía
4
a)
b)
ESCOLAR^ CRUCE
54 C APÍT U LO 2 Movimiento en línea recta
5 32 ft/s^2
g 5 9.8 m/s^2 5 980 cm/s^2
Ejemplo 2.6 (^) Moneda en caída libre
Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; parte del reposo y cae libremente. Calcule su posición y su velocidad después de 1.0, 2.0 y 3.0 s.
IDENTIFICAR: “Cae libremente” significa “tiene una aceleración constante debida a la gravedad”, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración constante en la determinación de nuestras incógnitas.
PLANTEAR: El lado derecho de la figura 2.23 muestra nuestro diagra- ma de movimiento para la moneda. El movimiento es vertical, de ma- nera que usamos un eje de coordenadas vertical y llamaremos a la coordenada y en vez de x. Sustituiremos todas las x de las ecuaciones para aceleración constante por y. Tomaremos el origen O como el punto de partida y la dirección hacia arriba como positiva. La coorde- nada inicial y 0 y la velocidad inicial v 0 y son ambas cero. La acelera- ción es hacia abajo, en la dirección y negativa, así que ay 5 2 g 5 2 9.8 m>s^2. (Recuerde que por definición g siempre es positiva.) Por lo tanto, nuestras incógnitas son los valores de y y vy en los tres ins- tantes especificados. Para obtenerlos usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustituyendo x por y.
EJECUTAR: En un instante t después de que se suelta la moneda, su posición y su velocidad son
Cuando t 5 1.0 s, y 5 ( 2 4.9 m>s^2 ) (1.0 s)^2 5 24.9 m y vy 5 ( 2 9. m>s^2 ) (1.0 s) 5 29.8 m>s; después de 1 s, la moneda está 4.9 m de- bajo del origen ( y es negativa) y tiene una velocidad hacia abajo ( vy es negativa) con magnitud de 9.8 m>s. La posición y la velocidad a los 2.0 s y 3.0 s se obtienen de la misma forma. ¿Puede usted demostrar que y 5 219.6 m y vy 5 2 19.6 m>s en t 5 2.0 s, y que y 5 244.1 m y vy 5 229.4 m>s en t 5 3.0 s?
EVALUAR: Todos los valores que obtuvimos para vy son negativos porque decidimos que el eje 1 y apuntaría hacia arriba; pero bien podríamos haber decidido que apuntara hacia abajo. En tal caso, la aceleración habría sido ay 5 1 g y habríamos obtenido valores posi- tivos para vy. No importa qué eje elija; sólo asegúrese de decirlo claramente en su solución y confirme que la aceleración tenga el signo correcto.
vy 5 v 0 y 1 ay t 5 0 1 1 2 g 2 t 5 1 2 9.8 m/s^2 2 t
y 5 y 0 1 v 0 y t 1
ay t^2 5 0 1 0
(^1 2) g (^2) t^2 5 1 2 4.9 m/s^2 2 t^2
La Torre Inclinada Nuestra gráfica del problema
1.7 Se deja caer limonada desde un globo aerostático 1.10 Caída de un saltador con garrocha
O N L I N E
2.5 Cuerpos en caída libre 55
Ejemplo 2.7 Movimiento ascendente y descendente en caída libre
Imagine que usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio. La pelota sale de la mano, en un punto a la al- tura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15.0 m>s, quedando luego en caída libre. Al bajar, la pelota libra apenas el barandal. En este lugar, g 5 9.8 m>s^2. Obtenga a ) la posición y veloci- dad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b ) la velocidad cuando la pelota está 5.00 m sobre el barandal; c ) la altura máxima alcanzada y el instante en que se alcanza; y d ) la aceleración de la pelota en su altura máxima.
IDENTIFICAR: Las palabras “caída libre” en el enunciado del proble- ma implican que la aceleración es constante y debida a la gravedad. Las incógnitas son la posición [en los incisos a ) y c )], la velocidad [en los incisos a ) y b )] y la aceleración [en el inciso d )].
PLANTEAR: En la figura 2.24 (que también es un diagrama de movi- miento para la pelota), la trayectoria descendente se muestra desplaza- da un poco a la derecha de su posición real por claridad. Sea el origen el barandal, donde la pelota sale de la mano, y sea la dirección positiva hacia arriba. La posición inicial y 0 es cero, la velocidad inicial v 0 y es 1 15.0 m>s y la aceleración es aY 5 2 g 5 29.80 m>s2.^ Usaremos otra vez las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la veloci- dad, respectivamente, en función del tiempo. En el inciso b ), nos piden hallar la velocidad en cierta posición, no en cierto tiempo, así que nos convendrá usar la ecuación (2.13) en esa parte.
EJECUTAR: a ) La posición y y la velocidad vy , en cualquier instante t una vez que se suelta la pelota están dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), cambiando las x por y :
5 15.0 m/s 1 1 2 9.80 m/s^2 2 t
5 1 0 2 1 1 15.0 m/s 2 t 1
1 2 9.80 m/s^2 2 t^2
y 5 y 0 5 v 0 y t 1
ay t^2 5 y 0 1 v 0 y t 1
Cuando t 5 1.00 s, estas ecuaciones dan
La pelota está 10.1 m sobre el origen ( y es positiva) y se mueve hacia arriba ( vy es positiva) con rapidez de 5.2 m>s, menor que la rapidez ini- cial porque la pelota frena mientras asciende. Cuando t 5 4.00 s, las ecuaciones para y y vy en función del tiempo t dan
La pelota pasó su punto más alto y está 18.4 m debajo del origen ( y es negativa); tiene velocidad hacia abajo ( vy es negativa) de magnitud 24.2 m>s. Conforme sube, la pelota pierde rapidez, luego la gana al descender; se mueve a la rapidez inicial de 15.0 m>s cuando pasa hacia abajo por su punto de lanzamiento (el origen) y continúa ganando rapi- dez conforme desciende por debajo de este punto. b ) La velocidad vy en cualquier posición y está dada por la ecua- ción (2.13) cambiando las x por y :
Con la pelota a 5.00 m sobre el origen, y 5 15.00 m, así que
Obtenemos dos valores de vy , pues la pelota pasa dos veces por el punto y 5 15.00 m (véase la figura 2.24), una subiendo con vy posi- tiva y otra bajando con vy negativa. c ) En el instante en que la pelota llega al punto más alto, está mo- mentáneamente en reposo y vy 5 0. La altura máxima y 1 puede obte- nerse de dos formas. La primera es usar la ecuación (2.13) y sustituir vy 5 0, y 0 5 0 y ay 5 2 g :
La segunda consiste en calcular el instante en que vy 5 0 usando la ecuación (2.8), vy 5 v 0 y 1 ayt , y sustituir este valor de t en la ecuación (2.12), para obtener la posición en ese instante. Por la ecuación (2.8), el instante t l en que la pelota llega al punto más alto es
Sustituyendo este valor de t en la ecuación (2.12) obtenemos
Observe que la primera forma de hallar la altura máxima es más senci- lla, ya que no es necesario calcular primero el tiempo.
1 2 9.8 m/s^2 2 1 1.53 s 2 2 5 111.5 m
y 5 y 0 1 v 0 y t 1
ay t^2 5 1 0 2 1 1 15 m/s 2 1^ 1.53 s 2
t 1 5
v 0 y g
15.0 m/s 9.80 m/s^2
5 1.53 s
y 1 5
v 0 y^2 2 g
1 15.0 m/s 2 2 2 1 9.80 m/s^2
5 111.5 m
vy 5 611.3 m/s
vy^2 5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 2 9.80 m/s^2 2 1 5.00 m 2 5 127 m^2 /s^2
5 1 15.0 m/s 2 2 1 2 1 2 9.80 m/s^2 2 y
y 5 218.4 m vy 5 224.2 m/s
y 5 110.1 m vy 5 15.2 m/s
La pelota realmente se mueve hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, presentamos una trayectoria con forma de U.
t 5 0, v 0 y 5 15.0 m/s
t 5 1.00 s, vy 5?
y 5? y 5?
y 5?
y 5 5.00 m
y 5 0
y
t 5 4.00 s vy 5?
vy 5?
t 5?
t 5?
vy 5 0
ay 5 2 g
t 5 ?, vy 5?
5 29.80 m/s^2
continúa