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PREGUNTAS PARA FINAL. FÍSICA I
UNIDAD 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA PUNTUAL
Tema 1
a) Halle las expresiones finales para calcular la posición como función del tiempo y la velocidad como
función del tiempo de una partícula de la cual se conoce la aceleración como función del tiempo. Mencione
qué condiciones iniciales son necesarias para completar el resultado.
b) Aplique el resultado obtenido en el inciso anterior al caso particular en que la aceleración es
constante.
a) para hallar la posición y la velocidad con respecto al tiempo sabiendo la aceleración en función del
tiempo tenemos que partir de la definición de velocidad y aceleración:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Desarrollando:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑡 0
𝑡
𝑣 0
𝑣(𝑡)
𝑡 0
𝑡
0
0
𝑡 0
𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑡 0
𝑡
𝑥 0
𝑥
𝑡 0
𝑡
0
0
𝑡 0
𝑡
a) si 𝑎 entonces:
→
→
→
0
→
𝑡 0
𝑡
→
→
0
→
0
→
→
0
𝑡 0
𝑡
→
0
→
0
→
→
0
𝑡 0
𝑡
→
0
𝑡 0
𝑡
→
0
→
→
0
→
0
0
→
𝑡 0
𝑡
→
→
0
→
0
0
→
𝑡 0
𝑡
𝑡 0
𝑡
0
→
→
0
→
0
0
→
· [
1
2
2
− 𝑡 0
· 𝑡']
𝑡 0
𝑡
→
→
0
→
0
0
→
· [
1
2
2
− 𝑡 0
1
2
0
2
− 𝑡 0
0
)]
→
→
0
→
0
0
→
· [
1
2
2
− 𝑡 0
1
2
0
2
)] ⇒ 𝑟
→
→
0
→
0
0
→
1
2
2
− 𝑡 0
1
2
→
→
0
→
0
0
𝑎
→
2
2 − 2 · 𝑡 0
0
2 ) ⇒ 𝑟
→
→
0
→
0
0
𝑎
→
2
0
2
Tema 2
a) Dados dos sistemas de referencia, S y S’, en movimiento relativo (uno respecto del otro), defina las
coordenadas de un punto vistos desde cada sistema.
b) Halle la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración del punto en un sistema y la posición,
la velocidad y la aceleración del mismo punto en el otro sistema.
a) 𝑅es el vector posición de O’ con respecto a O
→
𝑟' es el vector posición de p con respecto O’
→
𝑟 es el vector posición p con respecto a O’
→
b) la relación que existe entre las posiciones que ve cada observador varía en
un término que es la distancia entre los observadores 𝑟 , y con esta relación se puede obtener las
→
→
→
demás magnitudes partiendo de su definición, la velocidad de define como la derivada de la posición con
respecto al tiempo y la aceleración como la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
→
𝑑𝑟
→
𝑑𝑡
→
𝑑
𝑑𝑡
→
→
→
𝑑
𝑑𝑡
→
𝑑
𝑑𝑡
→
→
→
→
donde 𝑣es la velocidad de la partícula con respecto al observador O, es la velocidad de la partícula con
→
→
respecto al observador O, y 𝑉Es la velocidad del observador O’ con respecto al observador O.
→
→
𝑑𝑣
→
𝑑𝑡
→
𝑑
𝑑𝑡
→
→
→
𝑑
𝑑𝑡
→
𝑑
𝑑𝑡
→
→
→
→
donde 𝑎es la aceleración de la partícula con respecto al observador O, es la aceleración de la partícula con
→
→
respecto al observador O, y 𝐴Es la aceleración del observador O’ con respecto al observador O.
→
UNIDAD 2: DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA PUNTUAL
Tema 3
a) Enuncie y discuta la validez de las leyes de Newton y la importancia de las experiencias e Mach.
b) Describa las experiencias de Mach y analice los resultados obtenidos.
c) Enuncie los principios de aditividad de las masas y de aditividad de las fuerzas.
a) primera ley de newton: “todo cuerpo libre de acciones se mueve con un movimiento rectilíneo
uniforme ya que si no hay interacciones la aceleración es 0
→
𝑑𝑣
→
𝑑𝑡
segunda ley de newton: “si a un cuerpo le actúan fuerzas esta le impone una aceleración y esta relación es
dependiente de la masa
→
→
- fuerza gravitatoria, esta es independiente del ángulo, siempre apunta hacia abajo (hacia el centro de
la tierra) y su módulo es 𝑚 · 𝑔
- fuerza normal, esta fuerza es normal a la trayectoria y es una fuerza de vínculo, esta es la reacción
del suelo ante las fuerzas que ejerce el bloque sobre el (gravitatoria o parte de ella)
Si tomamos el eje x paralelo al plano inclinado y el eje y perpendicular y apuntando hacia arriba , utilizando
la ley de newton, podemos describir que las fuerzas:
● Si el ángulo α = 0
Σ𝑓 y 𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
ahora si se le incorpora una fuerza 𝐹si esta no supera al valor límite de la fuerza roce límite, el cuerpo se
→
mantendrá igual, ya que 𝐹 , si el cuerpo sufrirá una aceleración en x, la cual será:
𝑟
→
𝑟 𝑙𝑖𝑚
→
𝑥
𝑥
𝑟
𝑥
𝑥
1
𝑚
(𝐹 − μ 𝑑
𝑥
1
𝑚
(𝐹 − μ 𝑑
𝑥
𝐹
𝑚
− μ 𝑑
● Si el ángulo α ≠ 0
𝑥
𝑥
𝑟
𝑥
𝑟
𝑥
𝑟
= 𝑚 · 𝑔 · sin(α)
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
⇒ 𝑁 = 𝑚 · 𝑔 · cos(α)
Mientras el ángulo sea tal que la fuerza roce no alcance su límite el objeto permanecerá quieto, sino se
empezará a mover
b) a partir de este juego con el ángulo α podemos denominar dos ángulos, uno es el ángulo límite ( α), 𝑙
el cual establece el ángulo con el cual la fuerza roce llega al límite, y el ángulo crítico ( α), el cual un cuerpo 𝑐
en movimiento tiene velocidad constante.
Cálculo del ángulo límite:
a partir del desarrollo de las fuerzas cuando el ángulo NO era 0 reemplazamos 𝐹 por : 𝑟
𝑟 𝑙𝑖𝑚
= μ 𝑒
𝑟
= 𝑚 · 𝑔 · sin(α) ⇒ μ 𝑒
· 𝑁 = 𝑚 · 𝑔 · sin(α) ⇒ μ 𝑒
· 𝑚 · 𝑔 · 𝑐𝑜𝑠(α) = 𝑚 · 𝑔 · sin(α) ⇒ μ 𝑒
· 𝑐𝑜𝑠(α) = sin(α)
μ 𝑒
· 𝑐𝑜𝑠(α) = sin(α) ⇒ μ 𝑒
= tan(α) ⇒ α = arctan (μ 𝑒
Cálculo del ángulo Crítico:
para ello planteamos que hubo una aceleración en x y que luego se hizo 0 en un momento determinado:
𝑦
𝑦
𝑦
𝑦
⇒ 𝑁 = 𝑚 · 𝑔 · cos(α 𝑐
𝑥
𝑥
𝑥
𝑟
𝑥
⇒ 𝑚 · 𝑔 · sin(α 𝑐
) − μ 𝑑
𝑥
𝑚 · 𝑔 · sin(α 𝑐
) − μ 𝑑
· (𝑚 · 𝑔 · cos(α 𝑐
𝑥
⇒ 𝑔 · (sin(α 𝑐
) − μ 𝑑
· cos(α 𝑐
𝑥
𝑔 · (sin(α 𝑐
) − μ 𝑑
· cos(α 𝑐
)) = 0 ⇒ sin(α 𝑐
) − μ 𝑑
· cos(α 𝑐
) = 0 ⇒ sin(α 𝑐
) = μ 𝑑
· cos(α 𝑐
tan(α 𝑐
) = μ 𝑑
⇒ α 𝑐
= arctan (μ 𝑑
La relación que tienen ambos es que el ángulo límite es mayor que el ángulo crítico, ya que el coeficiente
estático es mayor al dinámico
μ
𝑒
μ 𝑑
⇒ arctan (μ 𝑒
) > arctan (μ 𝑑
) ⇒ α 𝑙
α 𝐶
c) Los coeficientes se pueden obtener gracias a la relación que hay con los ángulos, y los ángulos ( αy
𝑙
α ) podemos obtenerlo experimentalmente
𝑐
μ 𝑒
= tan(α 𝑙
) μ 𝑑
= tan(α 𝑐
UNIDAD 3: TRABAJO Y ENERGÍA
Tema 5
a) Defina la energía cinética de una partícula de masa m.
b) Enuncie y demuestre el teorema del trabajo y la energía cinética.
c) Defina energía potencial e interacciones conservativas. Dé ejemplos.
d) Mencione al menos tres maneras diferentes de determinar si una fuerza es conservativa o no.
e) Defina energía mecánica. Calcule la variación de la energía mecánica para un cuerpo de masa m
sometido a un conjunto de fuerzas, algunas conservativas y otras no.
a) la energía cinética ( 𝐸) está definida como la siguiente expresión: 𝐶
𝐶
1
2
2
b) Sea una partícula de masa m sometida a fuerzas, siendo 𝐹la fuerza resultante, el trabajo de esta
→
fuerza será:
→
→
→
→
𝑑𝑣
→
𝑑𝑡
→
→
→
𝑤 0
𝑤
𝑣 0
𝑣
→
→
0
1
2
→ 2
→
0
2
1
2
→ 2
𝐶
→
→
→
→
𝑤 0
𝑤
𝐸 𝐶
𝐸 𝐶
𝐶
𝐶
𝐹
𝑟 0
→
𝑟
→
𝑁𝐶
→
→
𝑝
𝐹
𝑁𝐶
𝑝
Teniendo en cuenta el teorema del trabajo y la energía cinética𝑊 = ∆𝐸 𝐶
𝐶
𝑁𝐶
𝑝
𝐶
𝑝
𝑁𝐶
𝑀
𝑁𝐶
Tema 6
Un cuerpo se dirige desde el punto A hasta el punto B. Lo puede
hacer por dos caminos. Uno de ellos es en línea recta (horizontal) de
longitud L, y el otro es subiendo una cuesta (recta) de altura h,
pasando por el punto c, y luego bajando (en línea recta) hasta B. En
ambos caminos el coeficiente de rozamiento dinámico es el mismo y
vale 𝜇 d
a) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento dinámico en al
tramo AB por el camino horizontal.
b) Calcule el trabajo de la fuerza de rozamiento dinámico en el
tramo ACB (por la cuesta).
c) Compare ambos resultados ¿Es conservativa o no la fuerza
de rozamiento dinámico? ¿Cómo explica el resultado?
a) 𝑊
𝐹 𝑟
→
𝐴−𝐵
𝐴
𝐵
𝑟
→
→
𝐹 𝑟
→
𝐴−𝐵
𝐴
𝐵
∫ μ 𝑑
→
𝐹 𝑟
→
𝐴−𝐵
= μ 𝑑
𝐴
𝐵
→
𝐹 𝑟
→
𝐴−𝐵
= μ 𝑑
si 𝑁 = 𝑃 entonces𝑊
𝐹 𝑟
→
𝐴−𝐵
= μ 𝑑
b) 𝑊
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
𝐴
𝐶
𝑟
→
→
𝐶
𝐵
𝑟
→
→
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
𝐴
𝐶
∫ μ 𝑑
→
𝐶
𝐵
∫ μ 𝑑
→
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
𝐴
𝐶
→
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
si 𝑁' = 𝑃 · 𝑐𝑜𝑠(α)entonces
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
· 𝑃 · 𝑐𝑜𝑠(α) · 2 · 𝑙 ⇒ 𝑊 𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
· 𝑃 · 𝑐𝑜𝑠(α) · 2 · 𝑙
ahora bien 𝑙 · 𝑐𝑜𝑠(α) =
𝐿
2
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
𝐿
2
𝐹 𝑟
→ 𝐴−𝐶−𝐵
= μ 𝑑
c) Nos da que la fuerza roce es independiente del camino, pero esto no significa que sea conservativa,
ya que si hacemos la integral cerrada, no nos da 0, ya que la fuerza roce depende de la dirección en que
vayas.
UNIDAD 4: DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
Tema 7
a) Dado un conjunto de n partículas y un sistema de referencia, defina los vectores:
i) Posición del centro de masa.
ii) Velocidad del centro de masa.
iii) Aceleración del centro de masa.
b) Expresar la cantidad de movimiento lineal del conjunto de partículas en función de la velocidad del
centro de masa. Justifique.
c) En caso que la distribución de masa sea continua, defina la densidad de la masa y luego re-obtenga
las expresiones halladas en el inciso a).
a) Dado un sistema de n partículas, la posición del centro de masa mediante un promedio ponderando
la masa:
→
𝐶𝑀
𝑖=
𝑛
∑ (𝑚 𝑖
·𝑟 𝐼
→
)
𝑖=
𝑛
∑ 𝑚 𝑖
→
𝐶𝑀
𝑖=
𝑛
∑ (𝑚 𝑖
·𝑟 𝐼
→
)
𝑀
luego para sacar la velocidad a partir de la definición de velocidad 𝑣 :
→
𝑑𝑟
→
𝑑𝑡
→
𝐶𝑀
𝑑𝑅
→
𝐶𝑀
𝑑𝑡
→
𝐶𝑀
𝑑
𝑑𝑡
∫𝑟
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
∫
𝑑
𝑑𝑡
·𝑟
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
∫𝑣
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
𝑑𝑡
→
𝐶𝑀
𝑑
𝑑𝑡
∫𝑣
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
∫
𝑑
𝑑𝑡
·𝑣
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
→
𝐶𝑀
∫𝑎
→ ·𝑑𝑉
∫𝑑𝑉
Tema 8
a) Dado un sistema de referencia S fijo y una distribución de masas puntuales, defina la energía cinética
total del sistema de masas.
b) Sea S’ un sistema de referencia que se mueve con velocidad constante respecto de S. Escriba la
relación entre las coordenadas de un punto vistas desde ambos sistemas de referencia.
c) Encuentre la relación entre las energías cinéticas del sistema de partículas según cada sistema de
referencia.
d) ¿Existe algún sistema de referencia particular S’ que permita reducir esta expresión? Justifique.
a) La energía cinética a partir de un sistema fijo s se define como:
𝐶
1
2
𝑖=
𝑛
𝑖
𝑖
2
)
b) la relación que hay entre las coordenadas de un sistema s y otro s’
Siendo 𝑡 = 𝑡podemos tener estas relaciones:
'
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑟 Posición, velocidad y aceleración de la masa visto desde el sistema S. 𝑖
𝑖
𝑖
𝑅 : De S’ respecto de S. 𝑖
𝑖
𝑖
𝑟' : De la masa vista desde el sistema S’. 𝑖
𝑖
𝑖
c) sabemos que 𝐸 y que 𝐶
1
2 𝑖=
𝑛
𝑖
𝑖
2
) 𝑣
→
𝑖
→
→
𝑖
𝐶
1
2 𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖
2
) ⇒ 𝐸 𝐶
1
2 𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
→
→
𝑖
→
𝑖
2
))
𝐶
1
2
𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖
2
) ⇒ 𝐸 𝐶
1
2
→ 2
𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖
1
2 𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖
2
⇒
𝐶
1
2
→ 2
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖
𝑀
𝑀
→
𝐶
𝐶
1
2
→ 2
→
𝐶𝑀
→
𝐶
d) Si, si el observador primado se encuentra en el centro de masa, la velocidad del centro de masa de
dicho observador es 0 ya que si la posición del centro de masa es el vector nulo, la derivada del vector nulo
sigue siendo el vector nulo.
𝐶
1
2
→ 2
𝐶
Tema 9
a) Utilice la conservación de la cantidad de movimiento lineal estudiando la fuerza de retropropulsión y
el movimiento de un cohete.
b) Halle la velocidad del cohete como función del tiempo (una sola etapa).
a) si el momento lineal se conserva ∆𝑃
→
→
𝑖
→
𝑓
entonces podemos tomar como inicio antes de que se desprende
una porción de masa ∆𝑚, con lo cual 𝑃 donde es la
→
𝑖
→
masa total del cohete y 𝑉es la velocidad del mismo, y otro en un
→
momento donde se disparó una cierta cantidad de porción de
masa ∆𝑚, la cual nos quedaría como
𝑃 donde es la velocidad
→
𝑓
→
→
→
→
que adquiere el chorro de masa expulsada por lo que
𝑀 · 𝑉 ahora bien mediante
→
→
→
→
las transformaciones de galileo tenemos que 𝑣
→
→
𝑟
→
→
→
→
→
𝑟
→
→
→
→
→
→
→
𝑟
→
→
→
𝑟
→
ahora bien ∆𝑚 · ∆𝑣es muy chico comparado con las otras magnitudes, por lo que se puede despreciar
→
→
𝑟
→
→
𝑟
→
→
−∆𝑚·𝑣 𝑟
→
𝑀
∆𝑡→
lim
∆𝑣
→
∆𝑡
∆𝑡→
lim
−∆𝑚·𝑣 𝑟
→
𝑀·∆𝑡
→
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑣 𝑟
→
𝑀
Ahora es una magnitud que la da el fabricante y se conoce como
𝑑𝑚
𝑑𝑡
μ
→
=− μ ·
𝑣 𝑟
→
𝑀
por lo que si vamos a lo que equivale la fuerza 𝑓
→
→
𝑐
→
→
𝑐
→
=− μ ·
𝑣 𝑟
→
𝑀
𝑐
→
=− μ · 𝑣 𝑟
→
𝐶
1
2
→
𝐶𝑀
2
→
𝐶𝑀
· (ω
→
× 𝑅
→
𝐶𝑀
1
2 𝑖=
𝑛
𝑖
· (|ω
→
2 · |𝑟
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2 )
𝐶
1
2
→
𝐶𝑀
2
→
𝐶𝑀
· (ω
→
× 𝑅
→
𝐶𝑀
1
2
· (|ω
→
2 ·
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2 )
𝐶
1
2
→
𝐶𝑀
2
→
𝐶𝑀
· (ω
→
× 𝑅
→
𝐶𝑀
1
2
· (ω
2
· 𝐼)
si se plantea desplazar el eje de rotación que centro de masa
𝐶
1
2
→
𝐶𝑀
2
1
2
· (ω
2
· 𝐼)
b) Sean 2 masas m1 y m2 unidas por una barra rígida. El sistema se mueve con
velocidad angular Ω, formando un ángulo 𝛼 con la recta de unión entre las masas y pasa
por el centro de masa.
1
1
×𝑚. 𝑣
1
2
2
×𝑚. 𝑣
2
2
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐿 1
1
2
sabemos que si 𝐿 y como , entonces
→
→
× 𝑃
→
→
× 𝑚𝑣
→
→
→
0
→
× 𝑟
→
→
× 𝑟
→
→
→
× (𝑚 Ω
→
× 𝑟
→
→
→
× (Ω
→
× 𝑟
→
si consideramos una porción diferencial de masa 𝑑𝑚 donde 𝑑𝑚 = ρ · 𝑑𝑉la expresión nos queda
→
= ∫ ρ[𝑟
→
× (Ω
→
× 𝑟
→
)]𝑑𝑉
ahora bien 𝐿no es paralelo a , pero se le puede calcular La componente de :
→
→
𝐶𝑀
Ω
= ∫ ρ. [𝑟 × (Ω × 𝑟 )⏟
]
Ω
para ello llamamos 𝑥 = 𝑟 × (Ω × 𝑟 ) y 𝑥 ,
→
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
π
2
− α ( )
por lo que 𝑥
→
Ω
→
π
2
− α) ≡ |𝑥
→
| · 𝑠𝑒𝑛(α)
| | = 𝑟. Ω × 𝑟𝑥 | | 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟 ⊥ Ω × 𝑟 ⇒ sin( , Además
π
2
) = 1 |Ω × 𝑟 | = Ω. 𝑟. sin(α)
2
. sin(α)
La proyección de 𝑥 sobre el vector Ωserá:
Ω
= [𝑟 × (Ω × 𝑟 )]
Ω
2
. sin(α). cos
π
2
− α ( )
Ω
2
. sin
2
(α) ⟹ 𝑥 Ω
⊥
2
Siendo 𝑟 la componente de perpendicular a. ⊥
De esta manera la 𝐿 resulta: Ω
Ω
= ∫ ρ. Ω. 𝑟 ⊥
2
𝑑𝑉 = Ω∫ ρ. 𝑟 ⊥
2
𝑑𝑉 = Ω. 𝐼
𝐼 = ∫ ρ. 𝑟 ⊥
2
𝑑𝑉 ó 𝐼 = ∑ 𝑚 𝑖
⊥𝑖
2
( )
c) Dado un cuerpo de masa rígida podemos calcular la inercia 𝐼de un punto que está
contenido en un eje de rotación a partir de otro de inercia 𝐼 donde dicho punto tiene un eje 0
paralelo que contiene el centro de masa
𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
0
𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2
)
𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
→
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2
)) ⇒ 𝐼 = (
𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2
))
𝑖=
𝑛
𝑖
→ 2
𝑖=
𝑛
𝑖
→
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
2
)
→ 2
→
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
0
→ 2
→
𝑖=
𝑛
𝑖
→
𝑖 𝑝𝑒𝑟𝑝
𝑀
𝑀
0
→ 2
→
→
𝐶𝑀
0
Ahora bien si 𝐼es la inercia del centro de masa quiere decir que el observador esta en en centro de masa, 0
por lo que 𝑅
→
𝐶𝑀
→ 2
𝑐𝑚
Esto es lo que se conoce como teorema de steiner
Tema 12
a) Haga un esquema representativo de un giróscopo. Ubíquelo en un sistema de
referencias. Aplique una fuerza F desplazada del punto fijo.
b) Calcule la variación del momento angular debido a la fuerza F.
c) Calcule la velocidad angular de precesión del giróscopo.
a) →
b) Intentaremos modificar la posición del cuerpo aplicando una fuerza 𝐹como la
indicada en la figura. El torque que produce esta fuerza respecto al centro de masa es
un vector a lo largo del eje x. en un intervalo dt de tiempo la cantidad angular de
movimiento habrá variado en:
𝑑𝐿 = τ. 𝑑𝑡
Al ser τ ⊥ 𝐿, 𝑑𝐿 es perpendicular a 𝐿, por lo que 𝐿 habrá girado un ángulo 𝑑φ en el
plano que contiene a τ y𝐿
a) Si la fuerza se mantiene, el giróscopo comenzará a girar
alrededor de Z con una velocidad angular Ω:
𝑃
𝑃
𝑑φ
𝑑𝑡
𝑑𝐿
𝐿.𝑑𝑡
τ
𝐿
τ
𝐼.Ω
Este movimiento se llama de “precesión”, siendo Ω la velocidad
𝑃
angular de precesión.
UNIDAD 6: MOVIMIENTO OSCILATORIO
Tema 13
a) Escriba la ecuación diferencial correspondiente a un péndulo físico de masa M.
b) Indique como simplificaría esta ecuación si las oscilaciones son de amplitud muy pequeña.
c) Halle la expresión del período en el caso de pequeñas oscilaciones.
d) Halle la solución de la ecuación diferencial en el caso de pequeñas oscilaciones. Represente
gráficamente esa solución.
e) Describa como mediría experimentalmente la aceleración de la gravedad g utilizando un péndulo
físico.
a) La ecuación diferencial corresponde a un péndulo físico de masa M debemos
partir de sumatorias de torques:
Στ = 𝐼 0
· α ⇒ − 𝑚 · 𝑔 · 𝑙 · sin(θ) = 𝐼 0
· α
− 𝑚 · 𝑔 · 𝑙 · sin(θ) = (𝐼
𝐶𝑀
2 ) · α
ahora se hacemos despejes y transcribimos α = obtendremos la ecuación
𝑑
2 θ
𝑑𝑡
2
diferencial
−𝑚·𝑔·𝑙·sin(θ)
(𝐼 𝐶𝑀
+𝑚·𝑙
2 )
𝑑
2 θ
𝑑𝑡
2
−𝑚·𝑔·𝑙
(𝐼 𝐶𝑀
+𝑚·𝑙
2 )
· sin(θ) =
𝑑
2 θ
𝑑𝑡
2
b) ahora bien para oscilaciones chicas sin(θ) ≈ θ, por lo que la ecuación se simplificaría a
𝑚·𝑔·𝑙
(𝐼 𝐶𝑀
+𝑚·𝑙
2 )
· θ =
𝑑
2 θ
𝑑𝑡
2
c) ahora el término acompañante a θse le indica cómo ω y se la conoce como frecuencia angular al
2
cuadrado, si aplicamos raíz tenemos ω y esta tiene la siguiente relación con el periodo𝑇 =
2π
ω
si ω = entonces
𝑚·𝑔·𝑙
(𝐼 𝐶𝑀
+𝑚·𝑙
2 )
𝑇 = 2 · π ·
(𝐼 𝐶𝑀
+𝑚·𝑙
2 )
𝑚·𝑔·𝑙
Tema 14
Sean los movimientos armónicos simples siguientes: 𝑥 y. 1
1
. sin ω 1
( )
2
2
. sin ω 2
𝑡 + φ ( )
Para encontrar la trayectoria, desarrollo y(t):
𝑦
[sin (ω𝑡 ). cos (φ ) + sin (φ ). cos (ω𝑡 )]
𝑦
sin (ω𝑡 ). cos (φ ) + sin (φ ). 1 − 𝑠𝑒𝑛
2 (ω𝑡 )
𝑦
𝐴 𝑦
− sin (ω𝑡 ). cos (φ ) = sin (φ ). 1 − 𝑠𝑒𝑛
2
(ω𝑡 )
Elevando al cuadrado ambos miembros:
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝑦
𝐴 𝑦
- sin (ω𝑡 ). cos (φ ) = (φ ) − (φ ). (ω𝑡 )
𝑦
𝐴 𝑦
2
- (ω𝑡 ). [ φ( ) + (φ )] − 2
𝑦
𝐴 𝑦
- sin (ω𝑡 ). cos (φ ) = (φ )
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝑦
𝐴 𝑦
- sin (ω𝑡 ). cos (φ ) = (φ )
d) Si reemplazamos el sin ω𝑡( ) despejando de la ecuación 𝑥(𝑡) = 𝐴 , resulta:
𝑥
. sin ω𝑡( )
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝑥
𝐴 𝑥
2
𝑦
𝐴 𝑦
𝑥
𝐴 𝑥
. cos (φ ) = (φ )
e) Si φ = 0; π:
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝑥
𝐴 𝑥
2
𝑦
𝐴 𝑦
𝑥
𝐴 𝑥
. cos (φ ) = 0
𝑥
𝐴 𝑥
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝐴 𝑦
𝐴 𝑥
∙𝑥 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
Si φ = :
π
2
3
2
π
𝑦
𝐴 𝑦
2
𝑥
𝐴 𝑥
2
= 1 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒
UNIDAD 8: MECÁNICA DE FLUIDOS
Tema 15
a) Defina fluido no viscoso.
b) Enuncie el principio de Pascal.
c) Defina la presión hidrostática.
d) Suponga un fluido en equilibrio bajo la acción de la fuerza gravitatoria. Deduzca la relación que
vincula la variación de la presión con la variación de la altura y la densidad del fluido.
e) Halle la variación de la presión con la altura para los casos:
i) Líquido incompresible.
ii) Gas atmosférico.
a) Un fluido no viscoso se define como aquel fluido el cual no se puede ejercer esfuerzo de corte, lo
que significa que dos porciones contiguas de este líquido se pueden desplazar tangencialmente libre.
b) 1 Enunciado: todo cuerpo que esté en un líquido sufrirá una fuerza normal a él y dirigida hacia él,
cualquiera sea la orientación a el
2 Enunciado: todo cuerpo confinado transmite íntegramente una presión a todo el fluido y las paredes del
recipiente que lo contiene.
c) Si tomamos una pequeña porción de área orientada 𝐴, cuya normal indicamos con 𝑛, la
^
fuerza ejercida por el fluido en esa área, de acuerdo con el primer enunciado, se escribe:
^
= |𝐹 |.
𝐴
𝐴
Esta ecuación define a la cantidad escalar presión.
|𝐹 |
|𝐴 |
Esta presión en el seno de un fluido se denomina presión hidrostática.
d) Planteantenado la sumatoria de fuerzas en un volumen de un fluido que está en un
estanque, podemos obtener la expresión, para ello solo nos interesa el análisis en la dirección z, ya
que en dirección z hay una diferencia de presión lo cual nos interesa para saber cómo varía la
presión con la altura. Como el fluido no se mueve se tiene que cumplir la condición de equilibrio,
también se puede notar que se cumple la ley de pascal, ya que la fuerza que es ejercida hacia el
bloque de agua es en dirección normal a él y hacia el:
𝑧
∆𝑚
𝐴
𝑝(𝑧+∆𝑧)−𝑝(𝑧)
∆𝑧
∆𝑚
∆𝑧·𝐴
𝑝(𝑧+∆𝑧)−𝑝(𝑧)
∆𝑧
∆𝑚
∆𝑉
∆𝑧→
lim
𝑝(𝑧+∆𝑧)−𝑝(𝑧)
∆𝑧
∆𝑧→
lim −
∆𝑚
∆𝑉
𝑑𝑝
𝑑𝑧
𝑑𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑝
𝑑𝑧
=− ρ · 𝑔
e) i) En caso de que la sustancia sea un líquido incompresible podemos hacer el siguiente
despeje, ya que la densidad de un líquido incompresible se supone constante:
𝑑𝑝
𝑑𝑧
=− ρ · 𝑔 ⇒ 𝑑𝑝 =− ρ · 𝑔 · 𝑑𝑧 ⇒
𝑝 0
𝑝
𝑧 0
𝑧
∫− ρ · 𝑔 · 𝑑𝑧 ⇒ 𝑝 − 𝑝 0
=− ρ · 𝑔 · (𝑧 − 𝑧 0
0
− ρ · 𝑔 · (𝑧 −
Ahora bien 𝑧 − 𝑧 0
0
ii) En caso de que la sustancia sea un gas atmosférico podemos hacer el siguiente despeje, ya
que la densidad de un gas atmosférico es proporcional a la densidad:
