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Factorización
Unidad 1. Tópicos de álgebra Matemática 1 Universidad de Piura
Reflexión
Supongamos que el área de un rectángulo está expresado, como: 𝒙𝟐^ + 𝟐𝒙 – 𝟏𝟓 48 2 ✓ ¿Cuáles son las expresiones del largo y ancho del rectángulo? ✓ ¿Habría la posibilidad de encontrar las dimensiones del rectángulo? ✓ Si dicha área es 48 m^2 , ¿qué número es 𝑥? Universidad de Piura^3
Logros de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica factorización en la resolución de situaciones algebraicas siguiendo procedimientos coherentes. Universidad de Piura^4
Factorización
La factorización, es el proceso algebraico mediante el cual un polinomio se puede expresar como la multiplicación indicada de sus factores primos o potencias de estos. factorización Factores primos Observación La representación factorizada de un polinomio es única, salvo el orden de los factores.
𝒙𝟐^ + 𝟐𝒙 – 𝟏𝟓 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟑)
Universidad de Piura^5 FACTORIZACIÓN Descomposición en factores primos algebraicos Métodos común^ Factor Identidades^ Aspa Simple^ BinómicosDivisores
Métodos de factorización
Universidad de Piura^6
1. Factor común
Se buscan factores comunes que pueden ser monomios o polinomios de más de un término. Ejemplo 1 𝑝 𝑥 = 4 𝑥^4 + 5 𝑥^2 𝑞 𝑥, 𝑦 = 𝑥^3 (𝑥 + 𝑦) + 5𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦)
= 𝑥^2 4 𝑥^2 + 5
= 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑥^2 + 5𝑦
Ejercicios: 1 ) (2𝑥 + 3 )( 3 − 𝑦 ) − (2𝑥 − 5 )( 3 − 𝑦 ) = 2 ) 𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 3 ) 6𝑎𝑏 + 4𝑎 − 15𝑏 – 10 =
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2. Por identidades
En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los productos notables.
Ejemplo 2 q x ( , y , z )= x^2^ + 2 xy + y^2 − z^2
= ( x + y )^2 − z^2
=( x + y + z )( x + y − z )
Diferencia de cuadrados Ejercicios:
1 ) ( a − b )^2 − m^2 =
2 ) a^3 + 8 = 3 ) 125 x^3 − 64 w^3 = Binomio al cuadrado Universidad de Piura^8
3. Por aspa simple
Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma general
P x ( ) = Ax^2 n^ + Bxn + C P x y ( , ) = Ax^2^ n^ + Bx yn^ m + Cy^2 m
Ejemplo 3 P x y ( , ) = 4 x^4^ + 15 x y^2 2^ − 54 y^4
P x y ( , ) = ( x^2^ + 6 y^2 ) ( 2 x + 3 y )( 2 x − 3 y )
= (^) ( x^2^ + 6 y^2^ )( 4 x^2 − 9 y^2 ) Ejercicios: 1 ) 2 ) 𝑥^4 + 7 𝑥^2 + 10 = (^) 3 ) 𝑚^6 − 7 𝑚^3 − 8 = Tiene 3 factores primos 5 𝑥^2 + 3 𝑥 − 2 = Universidad de Piura^9
Raíz de un polinomio
Dado un polinomio 𝑃(𝑥) no constante, a es una raíz del polinomio 𝑃(𝑥), si y solo si 𝑃(𝑎) = 0.
Ejemplo 4 P x ( )= x^3^ − 3 x − 2
Diremos que 2 es una raíz de 𝑃(𝑥), pues: Propiedad Dado un polinomio P ( x ), el número b es una raíz de este polinomio, si y solo si ( x – b ) será un factor de P ( x ). Ejemplo 5 Como 𝟐 es una raíz de 𝑃(𝑥), entonces 𝑥 − 𝟐 es factor de 𝑃(𝑥), es decir: 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝟐 (𝑥^2 + 2𝑥 + 1 ) Universidad de Piura Factorizar el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥^3 + 𝑥^2 − 41 𝑥 − 105 Posibles raíces racionales: ± 1 , ± 3 , ± 5 , … 1 1 − 41 − 105 − 3 1
𝑝 𝑥 = 𝒙 + 𝟑 𝑥^2 − 2𝑥 − 35
Ejemplo 6 Raíz → es factor^ 𝒙^ +^ 𝟑 𝑞 𝑥 = 1𝑥^2 − 2𝑥 − 35 Ejercicios 1 ) 𝑥^3 − 6 𝑥^2 + 11𝑥 − 6 = 2 )𝑥^3 − 8 𝑥^2 + 17𝑥 − 10 = 10
4. Criterio de divisores binómicos (Ruffini)
Se recomienda utilizar para polinomios de una variable de grado mayor a dos. Divisores del término independiente Otro factor: Universidad de Piura
Apliquemos lo aprendido
11 Si al factorizar 𝑃 𝑥, 𝑦 =𝑥^2 (𝑥 − 𝑦)^2 − 14 𝑥 𝑥 − 𝑦 𝑦^2 + 24 𝑦^4 , se obtiene que la suma de sus factores primos está representada por 𝐹(𝑥 , 𝑦), halle el valor de 𝐹( 3 , 3 ). Universidad de Piura
Integremos lo aprendido
- ¿Cuáles son los métodos de factorización estudiados en clase?
- ¿Qué es factorizar?
- ¿Cómo se factoriza polinomios de grado mayor a dos? 12 7 8 9 10 11 12
