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1)Dos placas planas de dimensiones iguales a 60 cm son espaciadas 12,5 mm entre si. La placa inferior está estática y la placa superior requiere una fuerza de 100 N para mantenerlo moviendo con una velocidad de 2,5 m/s. La película del aceite tiene una viscosidad constante y corresponde a un fluido Newtoniano. a) Determine el perfil del esfuerzo cortante. b) Determine el perfil de velocidades. c) Determine la viscosidad del fluido. De la ecuación de continuidad obtenemos:
( WL) τ XZ ¿−x−( WL) τ XZ ¿−x−∆ x +( w ∆ x vz ) vz ¿z= 0 +( w ∆ x vz ρ) vz ¿z=L +wL ∆ xρg+W ∆ x ( P 0 −PL )= 0
Ya que el fluido solo se mueve por el movimiento de la placa superior, no hay variación de presión entonces P 0 −PL=^0 ( WL) τ (^) XZ ¿−x−( WL) τ (^) XZ ¿−x−∆ x= 0 ( (^) WL) (^) τ (^) XZ ¿−x−( (^) WL) (^) τ (^) XZ ¿−x−∆ x WL ∆ x
lim ❑ ∆ x → 0 x ( τ (^) XZ ¿x−τ (^) XZ ¿x+∆ x ) ∆ x
d τ (^) XZ dx
Resolviendo la integral resulta que τ (^) XZ =C 1 Considerando un fluido newtoniano tenemos que τ (^) XZ =−μ d vz dx Igualamos ambos términos −μ d vz dx =c 1 V (^) z=
−C 1
μ x +C 2 Condiciones fronteras
x= 0 ;V (^) z=V (^0) x=−H ;V (^) z= 0 Obtenemos lo valores de las constantes C 2 =V (^0) C 1 = −V 0 μ H Obtenemos nuestra ecuación del perfil de velocidad V (^) z=V 0 ( 1 + x H
Reemplazando los valores dados por el problema V (^) z= 2 , (^5) ( 1 + x 0.0125 ) m/ s Grafica del perfil de velocidad Calculo de la viscosidad F= A∗τ (^) xz= A∗μ∗V 0 − 0 H − 0 Reemplazando por los valores del problema obtenemos 100 = 0.36∗μ∗2.
→ μ=1. kg ms
4 μL
( R 2
2 −R 1 2 )+c 1 ln (^) (
R 2
R 1 ) C 1 =
4 μL
( R 2
2 −R 1 2 ) ln (^) (
R 2
R 1 ) Vz=
4 μL r 2
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (^) (
R 2
R 1 )^ ln ( r ) +c 2
Hay dos posibles valores para C
4 μL
R 1
2
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (
R 2
R 1 )^ ln ( R 1 ) +c 2 0 =
4 μL
R 2
2
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (
R 2
R 1 )^ ln ( R 2 ) +c 2
Los valores para C2 serian
C 2 I =
4 μL
R 1
2 −
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (^) (
R 2
R 1 )^ ln ( R 1 ) C (^2) II =
4 μL
R 2
2 −
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (^) (
R 2
R 1 )^ ln ( R 2 )
Entonces las ecuaciones para Vz serían las siguientes
Vzi=
4 μL ( r 2 −R 1 2 )+
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (
R 2
R 1 )^ ln ( r R 1 ) Vzii=
4 μL ( r 2 −R 2 2 )+
4 μL
∗( R 2
2 −R 1 2 ) ln (
R 2
R 1 )^ ln ( r R 2 )
Los esquemas del perfil de velocidad para VzI es Los esquemas del perfil de velocidad para VzIi es
