evaluacion Unidad 6 m, Apuntes de Matemática Discreta

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Árboles y Redes

BERTHA YAZMIN SOTO MANCILLA

Felicitas López Vargas | Matemáticas discretas | Sábado 18 de diciembre de 2021

ÍNDICE

• Árboles y Redes
  • 6.1 Arboles.
    • 6.1.1 Componentes y propiedades
    • 6.1.1 Propiedades.......................................................................................................
    • 6.1.2 Clasificación por altura y número de nodos
  • 6.2. Árboles con peso
    • 6.2.1 Recorrido de un árbol
  • 6.3 Redes.
    • 6.3.1 Teorema de flujo máximo.
    • 6.3.2 Teorema de flujo mínimo.
    • 6.3.3 Pareos y redes de Petri.
• Referencias.
• CONCLUSIÓN

de la conexión de un grafo, búsqueda de ciclos hamiltonianos para resolver el problema del viajante, problemas de optimización, análisis de juegos, etc. 6.1.1 Componentes y propiedades Componentes (raíz, hoja, padre, hijo, descendientes, ancestros) Altura: Es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol. Equivale al nivel más alto de los nodos más 1. También podemos hablar de altura de ramas, el máximo número de nodos que hay que recorrer para llegar de la raíz a una de las hojas. Ancestros: los padres y los abuelos de un nodo hijo. Descendientes: Hijos de los hijos. Grado del Árbol: Es el máximo grado de todos los nodos del árbol. Grado: El número de hijos que tiene el elemento con más hijos dentro del árbol. En el árbol del ejemplo, el grado es tres, ya que tanto A como D tienen tres hijos, y no existen elementos con más de tres hijos. También es el número de descendientes directos de un determinado nodo. Hermano: Dos nodos serán hermanos si son descendientes directos de un mismo nodo. En cuanto a la posición dentro del árbol. Longitud de Camino: Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar desde la raíz al nodo X. Por definición la raíz tiene longitud de camino 1, y sus descendientes directos longitud de camino 2 y así sucesivamente. Nivel: Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Por definición la raíz tiene nivel 1. Se define para cada elemento del árbol como la distancia a la raíz, medida en nodos Nodo Hermano: Dos nodos serán hermanos si son descendientes directos de un mismo nodo. Nodo Hijo: Cualquiera de lo nodo apuntado por uno de lo nodo del árbol. Un nodo puede tener varios hijos. X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X es apuntado por Y. También se dice que X es descendiente directo de Y. Nodo Hoja: Nodo que no tiene hijos. Se llama hoja o terminal a aquellos nodos que no tienen ramificaciones (hijos). Nodo Interior: Es un nodo que no es raíz ni hoja.

Nodo Padre : X es padre de Y sí y solo sí el nodo X apunta a Y. También se dice que X es antecesor de Y. Nodo Raíz: Es el único nodo del árbol que no tiene padre es decir no es hijo de ningún elemento. Este es el nodo que usaremos para referirnos al árbol. Nodo: Son los Vértices o elementos del Árbol. Orden: Es el número potencial de hijos que puede tener cada elemento de árbol. De este modo, diremos que un árbol en el que cada nodo puede apuntar a otros dos es de orden dos, si puede apuntar a tres será de orden tres, etc. Podríamos decir que nuestro árbol de ejemplo es de orden tres. Peso: Es el número de nodos del árbol sin contar la raíz. Rama: Es el camino desde el nodo raíz a una hoja. 6.1.1 Propiedades Entre las propiedades más importantes de los árboles está la presencia de un paseo entre cualquiera de dos vértices del árbol; segundo, que el número de vértices no es menor al número de aristas del árbol y que un árbol con más de dos vértices tiene por lo menos dos hojas. Un ejemplo claro de los árboles en la vida cotidiana son los árboles genealógicos. Para este caso, los vértices representan a los miembros de la familia y los arcos representan la relación de parentesco. Conforme los conocimientos adquiridos con anterioridad, el árbol no deja de ser un grafo, pero es del tipo no dirigido. Ejemplo de árbol genealógico:

insertadas en orden. Mantener baja la altura se consigue habitualmente realizando transformaciones en el árbol, como la rotación de árboles, en momentos clave. Árbol multicamino Los árboles multicamino o árboles multirrama son estructuras de datos de tipo árbol usadas en computación. Un árbol multicamino posee un grado g mayor a dos, donde cada nodo de información del árbol tiene un máximo de g hijos. Sea un árbol de m-caminos A, es un árbol m-caminos si y sólo si: A está vacío. 6.2. ÁRBOLES CON PESO Dado un grafo conexo, un árbol recubierto mínimo de ese grafo es un subgrafo que tiene que ser un árbol y contener todos los vértices del grafo inicial. Cada arista tiene asignado un peso proporcional entre ellos, que es un número representativo de algún objeto, distancia, etc., y se usa para asignar un peso total al árbol recubierto mínimo computando la suma de todos los pesos de las aristas del árbol en cuestión. Un árbol recubridor mínimo o un árbol expandido mínimo es un árbol recubridor que pesa menos o igual que otros árboles recubridores.

Todo grafo tiene un bosque recubridor mínimo. En el caso de un empate, porque podría haber más de un árbol recubridor mínimo; en particular, si todos los pesos son iguales, todo árbol recubridor será mínimo. De todas formas, si cada arista tiene un peso distinto existirá sólo un árbol recubridor mínimo. Árbol abarcador de menor peso. Vamos a considerar de nuevo el problema de la red de conducción, pero ahora añadiremos un ingrediente nuevo. El estudio previo de ingeniería nos informa de qué tramos es posible construir, pero, además, disponemos de la información sobre el coste de cada uno de esos tramos. Queremos, claro, elegir una red que conecte todas las ciudades con el menor coste posible. La información de los costes se traduce en que cada arista lleva asociado un número. Lo que buscamos es un árbol abarcador del grafo, pero justo aquel (o aquellos) para el que la suma de los costes de las aristas elegidas sea mínima. Para modelar esta situación, necesitamos una generalización del concepto de grafo. Un grafo con pesos (o grafo ponderado) será un grafo G en el que, además, cada arista a tenga asociado lo que llamaremos su peso, p(a), un número real no negativo. La matriz de vecindades de un grafo con pesos será simétrica, con ceros en la diagonal, y sus entradas serán los pesos de las aristas (o 0 si no hay tales aristas). Ejemplo: 6.2.1 Recorrido de un árbol El recorrido de un árbol es el proceso para recorrer (desplazarse a lo largo) un árbol de manera sistemática a fin de que cada vértice se visite

• El peso Cij de la arista dirigida (i, j) llamada capacidad de (i, j) es un número no negativo. 6.3.1 Teorema de flujo máximo. Siendo G una red de trasporte, un flujo máximo es un flujo con valor máximo. En general, habrá varios flujos con el mismo valor máximo. La idea es sencilla: comenzar con cierto flujo inicial e incrementar de forma iterativa hasta que no pueda mejorarse más. El flujo resultante será el máximo. Para aumentar el valor de un flujo dado, debemos determinar un camino de la fuente al sumidero e incrementar el flujo a lo largo de ese camino. 6.3.2 Teorema de flujo mínimo. En lo que respecta a las redes, un corte es un conjunto de corte en el cual quedando partes disjuntas del conjunto de vértices, V1 y V2 que, situados en la red, dejan la fuente en una de ellas y al sumidero en la otra. Se llama capacidad de un corte a la suma: Capacidad (v,w) ; vV1, w?V2 V1es la parte que contiene a la fuente V2 es la parte que contiene al sumidero Sea F un flujo en G y sea (P, P) un corte en G. Entonces la capacidad de (p, p) es mayor o igual que el valor de F. Ejercicio: La administración de Seervada Park necesita determinar la capacidad de agua residual de 0 a T.

Determinar la capacidad mínima de agua residual que se puede llevar de 0 a T. La gráfica es la siguiente: SOLUCIÓN: Se aplica el método con los siguientes flojos: El flujo total es de 70. El valor máximo de la red es del 25. El flujo mínimo de la capacidad de agua es de 25. Interpretación: El flujo mínimo que se puede llevar es de 0 a t es de 25. 6.3.3 Pareos y redes de Petri. Carl Petri creo en 1962, una herramienta matemática para el estudio de las comunicaciones con los Autómatas. Algunas de las aplicaciones más importantes de las Redes de Petri han sido en el modelado y análisis de los protocolos de comunicación, en el modelado y análisis de los sistemas de manufactura. En esta área, se han utilizado para representar líneas de producción, líneas de ensamble automatizadas, sistema de producción automotriz, sistemas de manufactura flexible, sistemas just-in-time, etc.

Referencias. Discretas27. (20 06 ). Unidad 6. Árboles. diciembre 18, 2021, de google site Sitio web: https://sites.google.com/site/discretas27/unidad- 6 - arboles Galindo, K. (2016). 6.4.1 Componentes (raíz, hoja, padre, hijo, descendientes, ancestros). diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/matematicasmoralesgalindo/6- 4 - arboles/6- 4 - 1 - componentes-raiz-hoja-padre-hijo-descendientes- ancestros Discretas27. (2007). Unidad 6. Árboles. diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/discretas27/unidad- 6 - arboles?tmpl=%2Fsystem%2Fapp%2Ftemplates%2Fprint%2F&showPri ntDialog= Lopez, A. (2016). 6.4.3 Clasificación (altura, número de nodos). diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/teoriadegrafosmd/6- 4 - 3 - clasificacion- altura-numero-de-nodos Galindo, K. (2016). 6.4.4 Arboles con peso. diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/matematicasmoralesgalindo/6- 4 - arboles/6- 4 - 4 - arboles-con-peso Gomez, A. (2008). RECORRIDO DE UN ÁRBOL. diciembre 18, 2021, de weebly Sitio web: https://arboles12.weebly.com/recorrido.html Callejas, A., Serrano, Y., & Domínguez, A.. (2015). 6.5 Redes. diciembre 18, 2021, de wixsite Sitio web: https://trabajoenequipoitq.wixsite.com/matematicas-discreta/65- redes Galindo, K.. (2016). 6.5 Redes (teorema de flujo máximo, teorema de flujo mínimo, pareos y redes de Petri). diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/matematicasmoralesgalindo/6- 5 - redes-teorema-de-flujo-maximo-teorema-de-flujo-minimo-pareos-y- redes-de-petri

Valdez, J.. (2016). 6.5 Redes (teorema de flujo máximo, teorema de flujo mínimo, pareos y redes de Petri). diciembre 18, 2021, de sites google Sitio web: https://sites.google.com/site/joselsanchezvaldez/6- 5 - redes- teorema-de-flujo-maximo-teorema-de-flujo-minimo-pareos-y-redes- de-petri López, V.. (2018). pareos y redes de petri. diciembre 18, 2021, de homepage Sitio web: http://homepage.cem.itesm.mx/vlopez/redes_de_petri.htm CONCLUSIÓN En ciencias de la informática, un árbol es una estructura datos ampliamente usada qué imita la forma de un árbol (único conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos (también llamadas gráficas) estructuras qué constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos y puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no.