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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
CENTRO UNIVERSITARIO DE ORIENTE
FACULTAD DE INGENIERIA
ESTADÍSTICA 1
PROBLEMAS CLASE 01
Instrucciones: después de la lectura, conteste las siguientes preguntas
- En un estudio se examinaron los tiempos de espera en el departamento de radiología para un hospital en Florida, Estados Unidos. Un empleado registró la cantidad de pacientes que esperaban para servicio a las 9 de la mañana en 20 días consecutivos y obtuvo los siguientes resultados. Número en Cantidad de días espera que ocurrió el resultado 0 2 1 5 2 6 3 4 4 3 Ver problema 1 página 51. a) Defina el experimento que realizó el empleado. Registrar la cantidad de pacientes que esperaban para servicio a las 9 de la mañana en 20 días consecutivos. b) Enliste los resultados experimentales. Número en Cantidad de días espera que ocurrió el resultado 0 2 1 5 2 6 3 4 4 3 Total 20 c) Asigne probabilidad a los resultados experimentales. Número en Cantidad de días espera que ocurrió el resultado Probabilidad 0 2 10.00% 1 5 25.00% 2 6 30.00% 3 4 20.00% 4 3 15.00% Total 20 100.00%
d) ¿Qué método uso? El método de frecuencia relativa.
- Una compañía que concede franquicias para cafeterías efectuó pruebas de degustación para nuevas mezclas de café. La compañía preparó cuatro mezclas y eligió al azar individuos para hacer una degustación y establecer cuál de las mezclas les gustaba más. Se dan los resultados de la prueba de degustación para 100 individuos.
Ver problema 2 de la página 52. Preferencia de los Mezcla degustadores 1 20 2 30 3 35 4 15 Total 100
Defina el experimento. Se elige al azar un individuo, se hace que pruebe las cuatro muestras y se anota su preferencia
Antes de realizar el experimento, es razonable suponer que las preferencias para las cuatro mezclas son iguales, ¿qué probabilidades asignaría a los resultados experimentales antes de la degustación?, ¿qué método uso? Si se asignan probabilidades iguales, se asigna con el método clásico.
INVERSIÓN DE ESTADO CAPITAL RIESGO CALIFORNIA 1434 MASACHUSETTS 390 NEW YORK 217 COLORADO 112 TOTAL INVERSIONES DE CAPITAL DE RIESGO 2374
ETAPA DE DESARROLLO PORCENTAJE 1RA ETAPA 22% ETAPA EXPANSIÓN 55%
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía elegida sea de California? P = (1434)/(2374) = 0.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía elegida no será de uno de los cuatro estados mencionados? Cantidad que no es de los cuatro estados = 2374 – 1434 – 390 – 217 – 112 = 221 P = 221 / 2374 = 0.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no estará en las primeras etapas de desarrollo? P = 1 – 0.22 = 0.
d) Suponiendo que las compañías en las primeras etapas de desarrollo estaban distribuidas uniformemente en Estados Unidos, es decir, todos los estados tienen la misma proporción de compañías en las primeras etapas de desarrollo, ¿cuántas compañías de Massachussets que recibieron fondos de capital de riesgo estaban en sus primeras etapas de desarrollo?
P = 0.22 * 390 = 85.
e) La cantidad total de fondos invertidos fue de Q 32,400,000. Estime la cantidad destinada a Colorado. Estimación de fondos para Colorado = (112)/(2374)*32,400,000 = Q 1,528,559.
Ver problema 4 página 52.
- Una muestra de 100 Clientes de Montana Gas and Electric dio como resultado la siguiente distribución de frecuencia de cargos mensuales. Número 0 - 49 13 50 - 99 22 100 - 149 34 150 - 199 26 200 - 249 5
Cantidad
a) Sea A el evento de que los cargos mensuales son Q 150.00 o más. Encuentre P(A). P(A) = (26)/(100) + (5)/(100) = 0.
b) Sea B el evento de que los cargos mensuales son menos que Q 150.00. Encuentre P(B). P(B) = (13)/(100) + (22)/(100) + (34)/(100) = 0. Ver problema 6 página 53.
- De acuerdo con la oficina estadounidense del censo, en ese país ocurren 2,425,000 muertes por año. El National Center for Health Statistics informó que las tres causas principales de muerte durante 1997 fueron enfermedad cardiaca (725,790), cáncer (537,390) y apoplejía (159,877). Sea que H, C
e) Encuentre la probabilidad de que alguien muera de una causa distinta a una de estas tres enfermedades. P = 1 – 0.5868 = 0.
- Un estudio de 100 estudiantes a quienes se les había otorgado becas universitarias mostró que 40 tenían empleos de medio tiempo, 25 fueron incluidos en la lista de honor el semestre anterior por su buen desempeño académico y 15 tenían un empleo de medio tiempo y fueron incluidos en la lista de honor. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante trabaje medio tiempo o sea incluido en la lista de honor? Problema 10 página 54. Número de estudiantes: 100.
Número de estudiantes con empleos de ½ tiempo: 40. P(EE) = 0.40.
Número de estudiantes en la lista de honor el semestre anterior: 25. P(ELH) = 0.25.
Número de estudiantes con empleos de ½ tiempo y en la lista de honor: 15. P(ELH&EE) = 0.15.
P(probabilidad de que un estudiante trabaje ½ tiempo o sea incluido en la lista de honor) = P(probabilidad que trabaje ½ tiempo) + P(probabilidad que esté en la lista de honor) – P(probabilidad que trabaje ½ tiempo y esté en la lista de honor) = 0.40 + 0.25 – 0.15 = 0.50.
7) Para dos eventos A y B, P(A) = 0.50, P(B) = 0.60 y P(A B) = 0.40.
Problema 12 página 54. a) Encuentre P(A / B).
P(A / B) = P(A B) / P(B) = (0.40) / (0.60) = 0.67.
b) Encuentre P(B / A).
P(B / A) = P(A B) / P(A) = (0.40)/ (0.5) = 0.80.
c) ¿Son independientes A y B? ¿Por qué sí o por qué no?
Son eventos dependientes debido a que P(A / B) P(A)
- A continuación se muestra la tabla de contingencia para la situación de promoción de oficiales de policía durante los dos años anteriores: Promovido No Promovido Total Hombres 288 672 960 Mujeres 36 204 240 Total 324 876 1200 Encuentre: Ejemplo página 41. Promovido No Promovido Total Hombres 0.24 0.56 0. Mujeres 0.03 0.17 0. Total 0.27 0.73 1. M = evento de que un oficial sea hombre. W = evento de que un oficial sea mujer. B = evento de que un oficial sea promovido.
a) La probabilidad de que un oficial sea hombre y se promueva.
P(M B) = 288 / 1200 = 0.
b) La probabilidad de que un oficial sea hombre y no se promueva.
P(M Bc)= 672 / 1200 = 0.
c) La probabilidad de que un oficial sea mujer y se promueva.
P(W B) = 36 / 1200 = 0.
b) Use las probabilidades marginales de calidad de la escuela, costo o conveniencia de la escuela y otras para comentar sobre la razón más importante de elegir escuela. Costo o conveniencia de la escuela 0.511. Calidad de la escuela 0.426.
c) Si un estudiante asiste a tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección? P(C/TC) = 0.218 / 0.461 = 0.
d) Si un estudiante asiste tiempo parcial, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección? P(C/TP) = 0.207 / 0.539 = 0.
e) Sea A el evento de que un estudiante asiste a tiempo completo y B el evento de que el estudiante indique la calidad de la escuela como la primera razón para su solicitud. ¿son independientes los eventos A y B? Justifique su respuesta. P(B) = probabilidad de evento de que el estudiante indique la calidad de la escuela como la primera razón para su solicitud =
P(A) = probabilidad de evento de que un estudiante asiste a tiempo completo = 0. P(B/A) = 0.218 / 0.461 = 0.
P(B/A) B ; 0.473 0.
Los eventos son dependientes.
- La siguiente tabla muestra la distribución de tipos sanguíneos en la población general (Hoxworth Blood Center, Cincinnati, Ohio). A B AB O Rh + 34.00% 9.00% 4.00% 38.00% Rh - 6.00% 2.00% 1.00% 6.00% Problema 14 página 55. A B AB O Rh + 34.00% 9.00% 4.00% 38.00% 85.00% Rh - 6.00% 2.00% 1.00% 6.00% 15.00% 40.00% 11.00% 5.00% 44.00% 100.00% a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O? 0.44.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la sangre de una persona sea Rh-? 0.15.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos sean Rh- ? P(matrimonio Rh-) = (0.06 + 0.02 + 0.01 + 0.06)( 0.06 + 0.02 + 0.
- 0.06) = (0.15)(0.15) = 0.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja de casados tengan ambos tipo de sangre AB? P(Pareja de casados ambos sean AB) = (0.05)(0.05) = 0.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona Rh- dado que tiene sangre de tipo O?
P(Rh- / O) = P(O Rh-) / (P(O)) = (0.06) / (0.44) = 0.
f) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre B dado que es Rh+?
P(B / Rh+) = P(B Rh+)/P(Rh+) = 0.09 / 0.85 = 0.
- En la evaluación de un programa de capacitación en ventas, una empresa descubrió que de 50 vendedores que recibieron un bono el año anterior, 20 habían asistido a un programa especial de capacitación en ventas. La firma emplea a 200 vendedores. Sea B = el evento de que un vendedor recibiera un bono y S = el evento de que un vendedor asistiera al programa de capacitación en ventas.
Problema 18 de la página 56.
a) Encuentre P(B), P(S/B) y P(S B).
P(B) = (50)/(200) = 0.
P(S/B) = P(S B) / P(B) = ((20/200))/((50/200)) = 0.
P(S B) = (20)/(200) = 0.
b) Suponga que 0.40 de los vendedores asistieron al programa de capacitación. ¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor reciba un bono dado que asistió al programa de capacitación en ventas, P(B/S)?
P(B/S) = P(B S) / P(S) = ((20)/(200))/(0.40) = 0.
c) Si la empresa evalúa el programa de capacitación en función de su efecto en la probabilidad de que un vendedor reciba un bono, ¿cuál es su evaluación del programa de capacitación? Comente si B y S son eventos dependientes o independientes. Son eventos independientes si P(B/S) = P(B); 0.25 = 0.25; entonces los eventos son independientes, debido a ello, el programa no ayuda.
- Las probabilidades previas para los eventos A1, A2 y A3 son P(A1) = 0.20; P(A2) = 0.50; y P(A3) = 0.30. Las probabilidades condicionales del evento B dados, A1, A2 y A3 son P(B/A1) = 0.50; P(B/A2) = 0.40 y P(B/A3) = 0.30.
Problema 20 página 56.
a) Calcule P(B A1), P(B A2) y P(B A3).
P(B A1) = [P(B/A1)][P(A1)] =(0.50)(0.20) = 0.
P(B A2) = [P(B/A2)][P(A2)] = (0.40)(0.50) = 0.
P(B A3) = [P(B/A3)][P(A3)] = (0.30)(0.30) = 0.
b) Aplique el teorema de Bayes, ecuación (2.16) para calcular la probabilidad posterior P(A2/B).
P(A2/B) = P(A2 B)/P(B) = 0.20 /(0.10+0.20+0.09) = 0.
c) Use el enfoque tabular para aplicar el teorema de Bayes para calcular P(A1/B), P(A2/B) y P(A3/B). A*B Ci/F Eventos P(Ai) P(B/Ai) P(Ai INTERSECCIÓN B) P(Ai/B) A1 0.20 0.50 0.10 0. A2 0.50 0.40 0.20 0. A3 0.30 0.30 0.09 0. TOTALES 1.00 F = P(B) = 0.39 1.
- Las compañías que hacen negocios por Internet frecuentemente pueden servirse de la probabilidad para obtener información acerca de los usuarios que visitan su sitio web a partir de sitios web visitados con anterioridad. Por ejemplo, la sección MC en acción, Mercadotecnia en Internet, describió cómo podían usarse los datos de flujo de clics en sitios web visitados, junto con un esquema de actualización bayesiana para determinar la probabilidad de que un visitante de un sitio web fuera mujer. La empresa ParFore creó un sitio web para comercializar equipos y ropa de golf. A la administración le gustaría que apareciera una cierta oferta para las mujeres
suponga que se entera de un accidente que implica un deceso. ¿Cuál es la probabilidad de que esté implicado un automóvil pequeño?
Problema 23 página 57. AUTOMOVILES PROBABILIDAD PROBABILIDADES PROBABILIDADES EN EL CAMINO CONDICIONAL CONJUNTAS POSTERIORES P(Ai) P(B/Ai) P(A intersección B) P(Ai dado B) EVENTO A B C = A x B P(Ai/B) PEQUEÑO 0.180 0.128 0.023 0. GRANDE 0.820 0.050 0.041 0. TOTALES 1.000 P(B) = 0.064 1.
La probabilidad es de 0.36.
- Wayne Manufacturing Company compra cierta parte a los proveedores A, B y C. El proveedor A suministra 0.60 de las partes, B el 0.30 y C el 0.10. La calidad de las partes varía entre los proveedores, con las partes A, B y C que tienen tasas de defectos de 0.25%, 1% y 2%, respectivamente. Las partes se usan en uno de los productos principales de la compañía. Problema 25 página 57. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto principal de la compañía esté ensamblado con una parte defectuosa? Use el enfoque tabular del teorema de Bayes para resolver. DE PIEZAS CONDICIONAL CONJUNTAS POSTERIORES USADAS - % DEFECTOS - P(D dado Ai) P(Ai) P(D/Ai) P(A intersección D) P(Ai dado D) EVENTO A D C = A x D P(Ai/D) A 0.6000 0.0025 0.0015 0. B 0.3000 0.0100 0.0030 0. C 0.1000 0.0200 0.0020 0. TOTALES 1.0000 P(D) = 0.0065 1.
La probabilidad es de 0.0065.
b) Cuando se encuentra una parte defectuosa, ¿cuál es el proveedor más probable? El proveedor B
- M.D. computing (vol. 8, número 5, 1991) describe el uso del teorema de Bayes y la probabilidad condicional en el diagnóstico médico. Las probabilidades previas de las enfermedades se basan en la evaluación del médico de factores como ubicación y geografía, influencia estacional y ocurrencia y ocurrencia de epidemias. Suponga que se cree que un paciente tiene una de dos enfermedades, denotadas D1 y D2 con P(D1) = 0.60 y P(D2) = 0.40 y que la investigación médica muestra una probabilidad asociada con cada síntoma que puede acompañar a las enfermedades. Suponga que, dadas las enfermedades D1 y D2, las probabilidades de que un paciente tendrá los síntomas S1, S2 o S3 son como siguen: Después de encontrar que un paciente presenta un determinado síntoma, el diagnóstico médico puede auxiliarse encontrando las probabilidades revisadas de que dicho paciente tenga cada enfermedad particular. Calcule las probabilidades posteriores de cada enfermedad para los siguientes hallazgos médicos: [1] [2] [3] [4] DE ENFERMEDAD^ PROBABILIDAD^ PROBABILIDADCONDICIONAL PROBABILIDADCONDICIONAL PROBABILIDADCONDICIONAL EVENTO P(Ai)A P(S1/Di)S1 P(S2/Di)S2 P(S/Di)S D1 D2 0.60000.4000 0.15000.8000 0.10000.1500 0.15000. TOTALES 1.0000 P(B) = PROBABILIDADES^ [5]^ PROBABILIDADES[6]^ [7]º PROBABILIDADES[8] P(A intersección S1)^ CONJUNTAS^ POSTERIORESP(Di dado S1) P(A intersección S2)CONJUNTAS^ POSTERIORESP(Di dado S2) D1^ EVENTO C = A x S1 0.0900^ P(Di/S1) 0.2195^ C = A x S2 0.0600^ P(Di/S2) 0. D2 TOTALES 0.3200 0.4100 (^) 0.7805 1.0000 (^) 0.0600 0.1200 (^) 0.5000 1.
PROBABILIDADES^ [9]^ PROBABILIDADES[10] P(A intersección S3)^ CONJUNTAS^ POSTERIORESP(Di dado S3) D1^ EVENTO C = A x S3 0.0900^ P(Di/S3) 0. D2 TOTALES 0.0120 0.1020 (^) 0.1176 1.
Problema 26 página 57. a) El paciente tiene el síntoma S1. P(D1/S1) = 0. P(D2/S1) = 0. b) El paciente tiene el síntoma S2. P(D1/S2) = 0. P(D2/S2) = 0.
