Unidad 6. Sistemas de ecuaciones lineales
6.4 Espacio de soluciones
El espacio de soluciones de un sistemas no homogéneo de ecuaciones lineales
Considérese el sistema de m ecuaciones con n incognitas
a11x1+a12x2+... +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+... +a2nxn=b2
· · ·
am1x1+am2x2+... +amnxn=bm
(1)
se puede expresar como producto de matrices
a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
..
.
.
· · ·
.
.
.
am1am2· · · amn
x1
x2
x3
.
.
.
xn
=
b1
b2
b3
.
.
.
bm
y se denota
AX =B
(A es una matriz
m×n
).
Podemos asociarle el sistema homogéneo
a11x1+a12x2+... +a1nxn= 0
a21x1+a22x2+... +a2nxn= 0
· · ·
am1x1+am2x2+... +amnxn= 0
(2)
que también se puede expresar como producto de matrices
a11 a12 · · · a1n
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
..
.
.
· · ·
.
.
.
am1am2· · · amn
x1
x2
x3
.
.
.
xn
=
0
0
0
.
.
.
0
podemos denotarlo
AX = 0
.
Ahora consideremos el siguiente subconjunto de
Rn
S={(x1, x2, ..., xn)|(x1, x2, ..., xn)es soluci´on de AX = 0}
Se arma que S es un subespacio de
Rn
. En efecto
1. Suponga que
X1
y
X2
son soluciones del sistema
AX = 0
. Entonces
A(X1+X2) = AX1+AX2= 0 + 0 = 0
lo que dice que
X1+X2
es también solución
2. Si
µ
es un escalar, se tiene
A(µX1) = µAX1=µ0 = 0
de donde se ve que
µX1
es también solución.
Entonces S es un subespacio de
Rn
que se llamará
espacio de soluciones
(o espacio solución) del
sistema
AX = 0
.
Facultad de Ciencias UNAM
Álgebra Superior 1 Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
