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Error en estado estable
Se denomina error en estado estable al error entre el valor de la salida de un sistema y el comando
de entrada del sistema, después de que se desvanecen todos los efectos transitorios. Este error es una
medida de la exactitud de un sistema de control a seguir una entrada de comando. A fin de realizar
un análisis de los errores en estado estable de sistemas es útil clasificar los sistemas en tipos de
sistemas que indican el error en estado estable que se presentará para cada una de las diferentes
entradas.
El error en un sistema es la diferencia entre la señal de salida requerida, es decir, la señal de entrada
de referencia que especifica qué se requiere, y la señal de salida real que se presenta.
Para un sistema de control en lazo abierto es
𝑖
𝑜
Como la función de transferencia es
0
𝑖
Entonces
𝑖
𝑖
𝑖
De esta manera, el error depende no sólo del sistema, como determina su función de transferencia,
sino de la forma de la entrada 𝜽
𝒊
Para un sistema en lazo cerrado , se simplifica un sistema con realimentación unitaria.
Cuando existe una entrada de referencia 𝜽
𝒊
(𝒔) y una salida real 𝜽
𝒐
(𝒔) entonces la señal que se
alimenta de regreso es 𝜽
𝒐
(𝒔) y, de esta manera el error E(s) es
𝑖
𝑜
Si G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa, entonces hay realimentación unitaria
0
𝑖
Por lo tanto
𝑖
𝑖
𝑖
De esta forma el error depende del sistema, como lo indica su función de transferencia, y la forma de
la entrada, 𝜽 𝒊
Si el sistema de control en lazo cerrado tiene un lazo de realimentación como una función de
transferencia H(s) ,
con función de transferencia total igual a
𝑇
Entonces el sistema se puede convertir en uno con realimentación unitaria.
La función de transferencia de la trayectoria directa está entonces dada por
Entonces
𝑇
1 + [
]
Queremos hacer esta transformación para llevarlo a algo parecido al anterior y así poder usarlo en
MatLab con la función feedback(G(s)) ; MatLab lo transforma a uno como un sistema de
realimentación unitaria.
Comprobamos que es igual a la ecuación (1) :
1
𝑇
1
1
𝑇
[ 1 +
]
𝑇
𝑇
𝑇
Clasificación de sistemas
El error en estado estable para un sistema depende del valor de 𝐥𝐢𝐦
𝒔→𝟎
𝒔𝑬(𝒔) y el valor de E(s) depende
de la función de transferencia en la trayectoria directa de un sistema a lazo cerrado cuando hay
realimentación unitaria. En el estudio de la clasificación de sistemas es importante considerar que
todos los casos de sistemas en lazo cerrado se suponen que están en la forma que se tiene
realimentación unitaria. Los sistemas se clasifican de acuerdo con el valor de la función de
transferencia de la trayectoria directa (con realimentación unitaria). Para un sistema con función de
transferencia de la trayectoria directa G(s) y lazo de realimentación con función de transferencia H(s) ,
la función de transferencia en lazo abierto Go(s) está dada por la ecuación (2)
𝑜
Se puede representar mediante una ecuación de la forma
Donde q nos va a decir qué tipo de sistema tenemos; si q=0 , el sistema es de tipo 0; si q=1 , es de tipo
1, y si q=2 , es de tipo 2.
k , m , a , b , n , son constantes.
Ejemplo: ¿Cuál es el tipo para los sistemas siguientes?
a)
b)
a) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto Go(s) con H(s) = 1
𝑜
𝑜
2
2
Quede de la forma
𝑜
0
2
Es tipo cero; q = 0.
b) La función de transferencia en lazo abierto es
𝑜
1 + [
− 1 )]
𝑜
1 + [
2
)]
𝑜
3
2
2
𝑜
3
2
2
3
2
3
2
2
En el denominador del numerador se puede cancelar s con el del denominador del denominador
𝑜
3
2
2
2
3
2
𝑜
2
4
3
3
2
2
4
3
2
Queda de la forma
𝑜
2
0
4
3
2
Es tipo cero; q = 0.
Error en estado estable para una entrada escalón
El error en estado estable e ss
para un sistema en lazo cerrado está dado por le ecuación
= lim
𝑒(𝑡) = lim
∙ 𝑠 = lim
[
(𝑠) ∙ 𝑠]
Donde Go(s) es la función de transferencia en lazo abierto ya visto. Una entrada escalón unitario es
𝒊
𝟏
𝒔
. Entonces
𝑠𝑠
= lim
𝑠→ 0
[
𝑜
∙ 𝑠]
𝑠𝑠
= lim
𝑠→ 0
[
𝑜
]
La función de transferencia en lazo abierto está dada por la ecuación ya vista
y así, cuando s tiende a cero, la función de transferencia en lazo abierto para un sistema tipo 0 se
convertirá en
0
0
Es decir, una constante, y para todos los otros tipos es infinito ya que si por ejemplo q = 2 , tendríamos
𝟐
, que es igual a cero.
Representamos al valor de la función de transferencia en lazo abierto cuando 𝒔 → 𝟎 como una
constante kp , llamada constante del error de posición y es adimensional.
𝑝
= lim
𝑠→ 0
𝑜
𝑠𝑠
= lim
𝑠→ 0
[
2
] = lim
𝑠→ 0
[
2
]
Nos quedaría que
𝑝
0
0
𝑠𝑠
𝑝
𝑠𝑠
El valor de 𝐺 𝑜
(𝑠) en estado estable es 0,
Step Response
Time (seconds)
Amplitude
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.
0
1
System: G
Final value: 0.
Aplicando lo último visto se puede hacer de esta forma:
Tenemos Go(s) , o sea que, la función de transferencia de la trayectoria directa es G(s) y lazo de
realimentación con función de transferencia H(s) = 1 , la función de transferencia en lazo abierto Go(s)
está dada por la ecuación (2)
𝑜
aplicamos límite para cuando s tiende a cero
𝑝
= lim
𝑠→ 0
𝑜
𝑃
= lim
𝑠→ 0
[
2
]
𝑝
𝑃
= lim
𝑠→ 0
[
]
𝑝
Entonces el EEE es
𝑠𝑠
𝑝
𝑠𝑠
𝑠𝑠
