Astrid Abarca Prieto
Olfato y gusto
Parcial |
Biomatematicas
CARLOS ALBERTO DEL VALLE LOPEZ
Licenciatura en Medicina Humana
Semestre 2
Comitán de Domínguez, Chiapas a 27 de febrero de 2025
Ensayo
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca documentos en el Store
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ranking de las universidades
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Límites, Continuidad y Derivadas: Apuntes de Biomatemáticas para Medicina Humana, Resúmenes de Matemáticas
Estos apuntes de biomatemáticas para la licenciatura en medicina humana, impartidos por el profesor carlos alberto del valle lópez, exploran conceptos fundamentales del cálculo como límites, continuidad y derivadas. Definiciones, propiedades, métodos de cálculo y aplicaciones prácticas de estos conceptos en el contexto de la biología y la medicina. Se incluyen ejemplos y ejercicios para facilitar la comprensión de los temas.
Tipo: Resúmenes
2024/2025
1 / 14
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Límites, Continuidad y Derivadas: Apuntes de Biomatemáticas para Medicina Humana y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Astrid Abarca Prieto
Olfato y gusto
Parcial |
Biomatematicas
CARLOS ALBERTO DEL VALLE LOPEZ
Licenciatura en Medicina Humana
Semestre 2
Comitán de Domínguez, Chiapas a 27 de febrero de 20 25
Ensayo
LIMITES (CONCEPTO)
Los límites en matemáticas son un concepto fundamental en análisis y cálculo que permite entender el comportamiento de una función a medida que se acerca a un punto específico o al infinito. En términos simples, el límite describe el valor al que se aproxima una función cuando su variable independiente se aproxima a un cierto valor. Por ejemplo, el límite de una función f(x) f ( x ) cuando x x se aproxima a a a se denota como: lim x→af(x) x → a lim f ( x ) Esto significa que estamos interesados en qué valor se está acercando f(x) f ( x ) cuando x x se acerca a a a. Los límites son útiles en varias áreas de las matemáticas, incluidos el cálculo diferencial e integral, para definir conceptos como la continuidad, la derivada y la integral. También ayudan a resolver indeterminaciones y a entender el comportamiento asintótico de las funciones. LAAS PROPIEDADES DE LOS LIMITES Las propiedades de los límites son reglas y teoremas que nos ayudan a calcular límites de funciones de manera más sencilla y eficiente. Aquí te presento algunas de las propiedades más importantes de los límites:
- Límite de una constante : limx→ac=c x → a lim c = c donde c c es una constante.
- Límite de la identidad : limx→ax=a x → a lim x = a
- Suma de límites : limx→a[f(x)+g(x)]=limx→af(x)+limx→ag(x ) x → a lim[ f ( x )+ g ( x )]= x → a lim f ( x )+ x → a lim g ( x )
- Resta de límites : limx→a[f(x)−g(x)]=limx→af(x)−limx→ag(x ) x → a lim[ f ( x )− g ( x )]= x → a lim f ( x )− x → a lim g ( x )
- Producto de límites : limx→a[f(x)⋅g(x)]=limx→af(x)⋅limx→ag(x) x → a lim[ f ( x )⋅ g ( x )]= x → a lim f ( x )⋅ x → a lim g ( x )
- Cociente de límites (si el límite del denominador no es cero): limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)(si l imx→ag(x)≠0) x → a lim g ( x ) f ( x )=lim x → a g ( x )lim x → af ( x )(si x → a lim g ( x ) =0)
- Límite de una potencia : limx→a[f(x)]n=[limx→af(x)]n x → a lim [ f ( x )] n =[ x → a lim f ( x )] n donde n n es un número real.
- Límite de una raíz : limx→af(x)n=limx→af(x)n x → a lim nf ( x )= nx → a lim f ( x ) siempre que el límite de f(x) f ( x ) sea no negativo. Estas propiedades son muy útiles para simplificar el cálculo de límites, especialmente en casos complejos o al afrontar indeterminaciones.
El cálculo de límites es una herramienta poderosa que permite comprender y manipular funciones en matemáticas y en diversas aplicaciones en ciencia e ingeniería. LOS LIMITES UNILATERALES Los límites unilaterales son límites que se evalúan considerando solo un lado en particular de un punto específico. En otras palabras, en lugar de aproximarse a un punto desde ambos lados (como se hace en un límite bilateral), se analiza la función aproximándose desde la izquierda o desde la derecha. Tipos de límites unilaterales
- Límite unilateral izquierdo : Se denota como lim x→a−f(x)lim x → a − f ( x ), y se refiere al límite de f(x) f ( x ) cuando x x se aproxima a a a desde valores menores que a a (desde la izquierda). lim x→a−f(x)=L x → a −lim f ( x )= L Esto significa que estamos considerando los valores de f(x) f ( x ) cuando x x se acerca a a a pero siempre manteniéndose un poco por debajo de a a.
- Límite unilateral derecho : Se denota como limx→a+f(x)lim x → a + f ( x ), y se refiere al límite de f(x) f ( x ) cuando x x se aproxima a a a desde valores mayores que a a (desde la derecha). limx→a+f(x)=L x → a +lim f ( x )= L Aquí se consideran los valores de f(x) f ( x ) cuando x x se acerca a a a pero siempre manteniéndose un poco por encima de a a. Importancia de los límites unilaterales Los límites unilaterales son importantes porque permiten analizar el comportamiento de la función en puntos donde pueden ocurrir discontinuidades. Por ejemplo, si limx→a−f(x)lim x → a − f ( x ) y limx→a+f(x)lim x → a + f ( x ) son diferentes, esto indica que hay una discontinuidad en x=a x = a. Además, para que el límite general limx→af(x)lim x → af ( x ) exista, es necesario que los límites unilaterales izquierdo y derecho sean iguales: lim x→af(x) existe ⟺ lim x→a−f(x)=lim x→a+f(x) x → a lim f ( x ) existe ⟺ x → a −lim f ( x )= x → a +lim f ( x ) Ejemplo Consideremos la función definida a trozos: f(x)={x 2 si x< 12 si x= 1 x+ 1 si x> 1 f ( x )=⎩⎨⎧ x 22 x + 1 si x < 1 si x = 1 si x > 1
- El límite unilateral izquierdo en x= 1 x = 1 :
limx→ 1 −f(x)=limx→ 1 x 2 = 1 x → 1 −lim f ( x )= x → 1 lim x 2 = 1
- El límite unilateral derecho en x= 1 x = 1 : limx→ 1 +f(x)=limx→ 1 (x+ 1 )= 2 x → 1 +lim f ( x )= x → 1 lim( x + 1 )= 2 Dado que los límites unilaterales son diferentes, el límite en x= 1 x = 1 no existe Los límites al infinito son un tipo de límite que se utiliza para describir el comportamiento de una función a medida que la variable independiente se aproxima a números muy grandes o muy pequeños, es decir, al infinito positivo (+∞+∞) o al infinito negativo (−∞−∞). Este concepto es fundamental en el análisis matemático y se usa para entender cómo se comportan las funciones en extremos. LOS LIMITES AL INFINITO Tipos de límites al infinito
- Límite al infinito positivo : Se denota como limx→+∞f(x)lim x →+∞ f ( x ) y se refiere al valor al que se aproxima f(x) f ( x ) a medida que x x se incrementa sin límite. limx→+∞f(x)=L x →+∞lim f ( x )= L Esto significa que a medida que x x se hace muy grande, f(x) f ( x ) se acerca a un valor específico L L.
- Límite al infinito negativo : Se denota como limx→−∞f(x)lim x →−∞ f ( x ) y se refiere al valor que toma f(x) f ( x ) cuando x x decrece sin límite. limx→−∞f(x)=L x →−∞lim f ( x )= L En este caso, estamos observando qué valor alcanza f(x) f ( x ) cuando x x se vuelve muy negativo. Comportamiento de funciones al infinito El análisis de límites al infinito es especialmente útil para estudiar el comportamiento asintótico de las funciones. Por ejemplo, algunos patrones comunes son:
- Funciones racionales : Para una función del tipo f(x)=p(x)q(x) f ( x )= q ( x ) p ( x ), donde p(x) p ( x ) y q(x) q ( x ) son polinomios, el límite al infinito depende de los grados de p p y q q : o Si el grado de p p es menor que el de q q , entonces limx→+∞f(x)= 0 lim x →+∞ f ( x )= 0. o Si el grado de p p es igual al de q q , entonces limx→+∞f(x)=ablim x →+∞ f ( x )= ba , donde a a y b b son los coeficientes principales de p p y q q. o Si el grado de p p es mayor que el de q q , entonces limx→+∞f(x)=+∞lim x →+∞ f ( x )=+∞ o −∞−∞ dependiendo del signo del coeficiente principal.
puntos extremos (los límites laterales en esos extremos coinciden con el valor de la función en esos puntos). Propiedades de funciones continuas
- Las funciones polinómicas son continuas en todos los números reales.
- Las funciones racionales son continuas en todos los puntos donde el denominador no es cero.
- Las funciones trigonométricas , exponenciales y logarítmicas son continuas en sus dominios.
- La suma, diferencia, producto y cociente de funciones continuas son también continuas (siempre que no haya división entre cero). Ejemplo de continuidad Consideremos la función: f(x)={x 2 si x< 23 si x= 2 x+ 1 si x> 2 f ( x )=⎩⎨⎧ x 23 x + 1 si x < 2 si x = 2 si x > 2 Vamos a evaluar si es continua en x= 2 x = 2 :
- Verificar si está definida : f( 2 )= 3 f ( 2 )= 3 (existe).
- Calcular el límite : o Desde la izquierda: limx→ 2 −f(x)=limx→ 2 x 2 = 4 lim x → 2 − f ( x )=lim x → 2 x 2 = 4. o Desde la derecha: limx→ 2 +f(x)=limx→ 2 (x+ 1 )= 3 lim x → 2 + f ( x )=lim x → 2 ( x + 1 )= 3.
- Comparar : limx→ 2 f(x) no existe, ya que 4 ≠ 3. x → 2 lim f ( x ) no existe, ya que 4 = 3. Por lo tanto, f(x) f ( x ) no es continua en x= 2 x = 2 debido a que el límite no coincide con el valor de la función. La continuidad es clave en el análisis matemático ya que permite aplicar teoremas como el Teorema del Valor Intermedio y el Teorema de Bolzano-Weierstrass, entre otros CONTINUIDAD APLICADA A DESIGUALDADES La continuidad aplicada a desigualdades en matemáticas se refiere al estudio de cómo las propiedades de continuidad de funciones pueden usarse para analizar o resolver desigualdades. Esto es especialmente útil para entender el comportamiento de funciones en intervalos y determinar cuándo una función es mayor o menor que cero (o que otra función) dentro de ciertos rangos. Conceptos Clave
- Funciones Continuas : Como mencionamos anteriormente, una función es continua en un punto si no presenta saltos ni interrupciones en ese punto. En un
intervalo, una función continua puede tener un comportamiento predecible, lo que es muy útil al trabajar con desigualdades.
- Desigualdades y Continuidad : Si tienes una función continua f(x) f ( x ) en un intervalo [a,b][ a , b ], puedes utilizar su continuidad para estudiar donde la función es positiva, negativa o donde cruza el eje x x. Aplicaciones de Continuidad en Desigualdades
- Teorema del Valor Intermedio : Este teorema establece que si f f es continua en [a,b][ a , b ] y N N es un valor entre f(a) f ( a ) y f(b) f ( b ), entonces existe al menos un c c en (a,b)( a , b ) tal que f(c)=N f ( c )= N. Esto se puede usar para demostrar la existencia de soluciones de desigualdades.
- Solución de Desigualdades : o Para resolver una desigualdad de la forma f(x)< 0 f ( x )< 0 (o f(x)> 0 f ( x )> 0 ), primero se identifican los puntos donde f(x)= 0 f ( x )= 0. o Estos puntos son los "cambios de signo" de la función. Dado que f f es continua, si f(a)< 0 f ( a )< 0 y f(b)> 0 f ( b )> 0 (o viceversa), por el Teorema del Valor Intermedio, debe haber al menos un c c en (a,b)( a , b ) tal que f(c)= 0 f ( c )= 0.
- Ejemplo de Análisis de Desigualdades : Supongamos que queremos resolver la desigualdad: x 2 − 4 < 0 x 2 − 4 < 0 Primeramente, encontramos los puntos donde la función cambia de signo. Resolviendo x 2 − 4 = 0 x 2 − 4 = 0 : x 2 = 4 ⇒x=− 2 y x= 2 x 2 = 4 ⇒ x =− 2 y x = 2 Ahora, consideramos los intervalos determinados por estos puntos: (−∞,− 2 )(−∞,− 2 ), (− 2 , 2 )(− 2 , 2 ), y ( 2 ,∞)( 2 ,∞).
- En el intervalo (−∞,− 2 )(−∞,− 2 ): Por ejemplo, x=− 3 x =− 3 : f(− 3 )=(− 3 ) 2 − 4 = 5 > 0 f (− 3 )=(− 3 ) 2 − 4 = 5 > 0
- En el intervalo (− 2 , 2 )(− 2 , 2 ): Por ejemplo, x= 0 x = 0 : f( 0 )= 02 − 4 =− 4 < 0 f ( 0 )= 02 − 4 =− 4 < 0
- En el intervalo ( 2 ,∞)( 2 ,∞): Por ejemplo, x= 3 x = 3 : f( 3 )= 32 − 4 = 5 > 0 f ( 3 )= 32 − 4 = 5 > 0 La función es negativa en el intervalo (− 2 , 2 )(− 2 , 2 ). Por lo tanto, la solución a la desigualdad x 2 − 4 < 0 x 2 − 4 < 0 es:
(fg)′=f′g+fg′( fg )′= f ′ g + fg ′
- Regla del cociente : (fg)′=f′g−fg′g 2 ( gf )′= g 2 f ′ g − fg ′
- Regla de la cadena : Si y=f(g(x)) y = f ( g ( x )), entonces dydx=f′(g(x))⋅g′(x) dxdy = f ′( g ( x ))⋅ g ′( x ) Ejemplos de Derivadas
- Derivada de una función polinómica : Para f(x)=x 3 f ( x )= x 3 , su derivada es: f′(x)= 3 x 2 f ′( x )= 3 x 2
- Derivada de una función trigonométrica : Para g(x)=sin(x) g ( x )=sin( x ): g′(x)=cos(x) g ′( x )=cos( x )
- Derivada de una función exponencial : Para h(x)=ex h ( x )= ex : h′(x)=ex h ′( x )= ex Aplicaciones de la Derivada La derivada tiene muchas aplicaciones, entre las cuales se pueden destacar:
- Optimización : Se utiliza para encontrar máximos y mínimos de funciones, lo cual es fundamental en economía y ciencias aplicadas.
- Dinámica : En física, la derivada representa la velocidad, que es el cambio de posición respecto al tiempo.
- Análisis de gráficos : Ayuda a determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento de funciones, así como la identificación de puntos críticos. En resumen, la derivada es una herramienta poderosa que permite analizar cómo las funciones cambian y se comportan. Proporciona información valiosa sobre la geometría de las funciones y tiene numerosas aplicaciones prácticas. DERIVADAS DE FUNCION LOGARITMICAS Las derivadas de funciones logarítmicas son una extensión del concepto de derivadas en cálculo, aplicadas a funciones que involucran logaritmos. Estas derivadas son útiles en una variedad de aplicaciones, como en el cálculo de tasas de crecimiento y en problemas de optimización.
Derivada del Logaritmo Natural La función logarítmica más común es el logaritmo natural, que se denota como ln(x)ln( x ). La derivada de esta función es: ddxln(x)= 1 xpara x> 0 dxd ln( x )= x 1 para x > 0 Esto significa que la tasa de cambio de ln (x)ln( x ) respecto a x x es inversamente proporcional a x x. Derivadas de Otras Funciones Logarítmicas Además del logaritmo natural, también existen logaritmos en base 1010 y en base e e (logaritmos naturales). Para generalizar, la derivada de un logaritmo en base b b se puede expresarse en términos del logaritmo natural. La fórmula general para la derivada de logb(x)log b ( x ) es: ddxlogb(x)= 1 xln(b) dxd log b ( x )= x ln( b ) 1 donde ln(b)ln( b ) es la derivada natural del logaritmo de la base b b. Ejemplos de Derivadas de Funciones Logarítmicas
- Logaritmo Natural : Para f(x)=ln (x) f ( x )=ln( x ): f′(x)= 1 x f ′( x )= x 1
- Logaritmo en Base 10 : Para g(x)=log 10 (x) g ( x )=log 10 ( x ): g′(x)= 1 xln ( 10 ) g ′( x )= x ln( 10 ) 1
- Logaritmo en Base 2 : Para h(x)=log 2 (x) h ( x )=log 2 ( x ): h′(x)= 1 xln( 2 ) h ′( x )= x ln( 2 ) 1 Regla de la Cadena con Logaritmos Cuando los logaritmos se aplican a funciones más complejas, se necesita utilizar la regla de la cadena. Por ejemplo, si tienes: f(x)=ln(g(x)) f ( x )=ln( g ( x )) La derivada se calcula como: f′(x)=g′(x)g(x) f ′( x )= g ( x ) g ′( x ) Ejemplo con la Regla de la Cadena Supongamos que g(x)=x 2 + 1 g ( x )= x 2 + 1. Entonces: f(x)=ln(x 2 + 1 ) f ( x )=ln( x 2 + 1 ) La derivada de f(x) f ( x ) usando la regla de la cadena es: f′(x)= 2 xx 2 + 1 f ′( x )= x 2 + 12 x
- Función Exponencial con Base 2 : Para g(x)= 2 x g ( x )= 2 x : g′(x)= 2 xln ( 2 ) g ′( x )= 2 x ln( 2 )
- Función Exponencial con Base 10 : Para h(x)= 10 x h ( x )= 10 x : h′(x)= 10 xln ( 10 ) h ′( x )= 10 x ln( 10 ) Regla de la Cadena con Funciones Exponenciales Cuando las funciones exponenciales se aplican a funciones más complejas, se puede usar la regla de la cadena. Por ejemplo, si tienes una función de la forma f(x)=eg(x) f ( x )= eg ( x ), donde g(x) g ( x ) es alguna función de x x , la derivada se calcula así: f′(x)=eg(x)⋅g′(x) f ′( x )= eg ( x )⋅ g ′( x ) Ejemplo con la Regla de la Cadena Supongamos que g(x)= 3 x 2 + 2 g ( x )= 3 x 2 + 2. Si consideramos: f(x)=e 3 x 2 + 2 f ( x )= e 3 x 2 + 2 La derivada de f(x) f ( x ) utilizando la regla de la cadena es: f′(x)=e 3 x 2 + 2 ⋅( 6 x)= 6 xe 3 x 2 + 2 f ′( x )= e 3 x 2 + 2 ⋅( 6 x )= 6 xe 3 x 2 + 2 Aplicaciones de Derivadas de Funciones Exponenciales Las derivadas de funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones prácticas, tales como:
- Crecimiento y Decaimiento Exponencial : Son fundamentales para modelar procesos naturales como la población, la radioactividad y la carga y descarga de condensadores.
- Finanzas : Se usan para calcular el interés compuesto y el crecimiento de inversiones.
- Ciencias Sociales y Naturales : En estadística y modelado de fenómenos como el crecimiento de bacterias o la difusión de sustancias. Las derivadas de funciones exponenciales son esenciales en el estudio del cálculo y proporcionan una herramienta poderosa para entender y modelar el cambio en diversas aplicaciones. La propiedad única de las funciones exponenciales, donde su derivada es proporcional al valor de la función misma, hace que sean especialmente útiles en muchos contextos.
BIBLIOGRAFIA
- Stewart, J. (2016). Cálculo de una variable (7.ª ed.). Cengage Learning.
- Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2014). Cálculo (13.ª ed.). Pearson.
- Larson, R., & Edwards, B. H. (2013). Cálculo (10.ª ed.). Cengage Learning.
- Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2015). Cálculo (10.ª ed.). Wiley.
- Stratton, D. (2011). Calculus (1st ed.). Cengage Learning.