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El final de la vida es una etapa que plantea numerosos dilemas éticos, especialmente en lo que respecta a la toma de decisiones médicas, la autonomía del paciente y la calidad de vida
Tipo: Monografías, Ensayos
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Paso 4: Calcular el determinante
El determinante de la matriz A es la diferencia entre la suma de los productos de las diagonales principales (P 1 ) y las diagonales secundarias (P 2 ):
det(A) = P 1 − P 2
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de n ecuaciones lineales con n inc´ognitas. Matem´aticamente, su forma general es:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. . an 1 x 1 + an 2 x 2 + · · · + annxn = bn Donde:
aij son los coeficientes de las variables xj en la ecuaci´on i.
xj son las inc´ognitas que se desean determinar.
bi son los t´erminos independientes.
Este sistema tambi´en se puede expresar en forma matricial como:
A · X = B Donde:
A es la matriz de coeficientes:
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
an 1 an 2... ann
X es el vector columna de inc´ognitas:
x 1 x 2 .. . xn
B es el vector columna de t´erminos independientes:
b 1 b 2 .. . bn
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores de x 1 , x 2 ,... , xn que satis- facen simult´aneamente todas las ecuaciones.
El M´etodo de Cramer es un procedimiento algebraico que permite resolver sistemas de n ecua- ciones lineales con n inc´ognitas. Este m´etodo utiliza determinantes para encontrar las soluciones del sistema, siempre que el determinante de la matriz de coeficientes (∆) sea distinto de cero (∆ ̸= 0).
Forma General del Sistema Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n inc´ognitas:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2 .. . an 1 x 1 + an 2 x 2 + · · · + annxn = bn Este sistema puede representarse en forma matricial como:
A · X = B Donde:
A es la matriz de coeficientes:
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
an 1 an 2... ann
X es el vector de inc´ognitas:
x 1 x 2 .. . xn
B es el vector de t´erminos independientes:
b 1 b 2 .. . bn
Determinante Principal (∆) El determinante principal ∆ es el determinante de la matriz de coeficientes A:
∆ = det(A) =
a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .
an 1 an 2... ann C´alculo de las Soluciones Para cada inc´ognita xj , se calcula un determinante adjunto ∆j , que se obtiene al reemplazar la j-´esima columna de A por el vector B. Es decir:
∆j =
a 11... b 1... a 1 n a 21... b 2... a 2 n .. .
an 1... bn... ann Entonces, la soluci´on para cada inc´ognita xj es:
xj =
∆j ∆
, para j = 1, 2 ,... , n
Suma de diagonales principales: 0 + 20 + (−30) = − 10
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 40 + (−10) + 0 = 30
Calculamos ∆:
∆ = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = − 10 − 30 = − 40
Ax =
Extendemos la matriz Ax:
40000 1 1 40000 1 800000 20 10 800000 20 0 − 1 0 0 − 1 Calculamos ∆x:
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 0 + 0 + (−800000) = − 800000
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 0 + (−400000) + 0 = − 400000
Calculamos ∆x:
∆x = (Suma de principales)−(Suma de secundarias) = − 800000 −(−400000) = −800000+400000 = − 400000
b. C´alculo de ∆y Reemplazamos la segunda columna de A por b:
Ay =
Extendemos la matriz Ay :
Calculamos ∆y :
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 0 + 1600000 + 0 = 1600000
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 800000 + 0 + 0 = 800000
Calculamos ∆y :
∆y = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = 1600000 − 800000 = − 800000
c. C´alculo de ∆z Reemplazamos la tercera columna de A por b:
Az =
Extendemos la matriz Az :
1 1 40000 1 1 30 20 800000 30 20 2 − 1 0 2 − 1
Calculamos ∆z :
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 0 + 1600000 + (−1200000) = 400000
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 1600000 + (−800000) + 60 = 800000
Escribimos el sistema en forma matricial Ax = b:
x y z
1 1 1 1 1 0 , 75 0 , 90 0 , 60 0 , 75 0 , 90 − 0 , 75 0 , 90 0 , 60 − 0 , 75 0 , 90
Sustituimos los valores:
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 0 ,54 + (− 0 ,45) + 0,675 = 0, 765
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: (− 0 ,675) + 0,54 + 0,45 = 0, 315
Calculamos ∆:
∆ = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = 0, 765 − 0 ,315 = 0, 45
Ax =
Extendemos la matriz Ax:
18 1 1 18 1 13 , 80 0 , 90 0 , 60 13 , 80 0 , 90 1 , 80 0 , 90 0 , 60 1 , 80 0 , 90
Calculamos ∆x:
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 9 ,72 + 1,08 + 12,42 = 23, 22
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 1 ,62 + 9,72 + 8,28 = 19, 62
Calculamos ∆x:
∆x = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = 23, 22 − 19 ,62 = 3, 6
b. C´alculo de ∆y Reemplazamos la segunda columna de A por b:
Ay =
Extendemos la matriz Ay :
1 1 18 1 1 0 , 75 0 , 60 13 , 80 0 , 75 0 , 60 − 0 , 75 0 , 60 1 , 80 − 0 , 75 0 , 60
Calculamos ∆y :
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: 1 ,08 + (− 10 ,35) + 8,1 = − 1 , 17
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: − 8 ,1 + 8,28 + 1,35 = 1, 53
Calculamos ∆y :
∆y = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = − 1 , 17 − 1 ,53 = − 2 , 7
c. C´alculo de ∆z Reemplazamos la tercera columna de A por b:
Az =
Extendemos la matriz Az :
1 1 18 1 1 0 , 75 0 , 90 13 , 80 0 , 75 0 , 90 − 0 , 75 0 , 90 1 , 80 − 0 , 75 0 , 90
Calculamos ∆z :
Producto de diagonales principales:
x + y + z = 40 b. Dosis total administrada en mg:
10 x + 20y + 30z = 800 c. Relaci´on entre p´ıldoras de 20 mg y 30 mg:
y = 2z Reescribimos esta ecuaci´on como:
y − 2 z = 0 Es decir, el sistema de ecuaciones es:
1 x + 1y + 1z = 40 10 x + 20y + 30z = 800 0 x + 1y − 2 z = 0
x y z
1 1 1 1 1 10 20 30 10 20 0 1 − 2 0 1
Sustituimos los valores:
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: −40 + 0 + 10 = − 30
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 0 + 30 + (−20) = 10
Calculamos ∆:
∆ = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = − 30 − 10 = − 40
Ax =
Extendemos la matriz Ax:
40 1 1 40 1 800 20 30 800 20 0 1 − 2 0 1
Calculamos ∆x:
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: −1600 + 0 + 800 = − 800
Producto de diagonales secundarias:
Suma de diagonales secundarias: 0 + 1200 + (−1600) = − 400
Calculamos ∆x:
∆x = (Suma de principales) − (Suma de secundarias) = − 800 − (−400) = −800 + 400 = − 400
b. C´alculo de ∆y Reemplazamos la segunda columna de A por b:
Ay =
Extendemos la matriz Ay :
1 40 1 1 40 10 800 30 10 800 0 0 − 2 0 0
Calculamos ∆y :
Producto de diagonales principales:
Suma de diagonales principales: −1600 + 0 + 0 = − 1600
Producto de diagonales secundarias:
El sistema de ecuaciones lineales planteado para modelar el problema del tratamiento m´edico es resoluble, ya que el determinante de la matriz asociada (A) es diferente de cero. Esto garantiza la existencia de una soluci´on ´unica, verificando la coherencia matem´atica del modelo. A trav´es de la resoluci´on del sistema utilizando la regla de Cramer, se determin´o que el tratamiento requiere exactamente:
10 p´ıldoras de la presentaci´on de 10 mg,
20 p´ıldoras de la presentaci´on de 20 mg,
10 p´ıldoras de la presentaci´on de 30 mg.
Este an´alisis demuestra c´omo los conceptos de ´algebra lineal pueden aplicarse eficazmente en situa- ciones reales, especialmente en la medicina, para optimizar la planificaci´on y administraci´on de recursos.
Prec´alculo. 8a. Ed. Ron Larson. Cengage. (2012, 23 abril). Issuu. https://issuu.com/cengagelatam/docs/precalculo 8 edr onlarson
Prec´alculo. Matem´aticas para el c´alculo. 7a. edici´on. (2019, 27 mayo). Issuu. https://issuu.com/cengagelatam/docs/
