¡Descarga Fórmulas de Frenet-Serret y el Triedro Móvil - Prof. Castillo y más Monografías, Ensayos en PDF de Cálculo Avanzado solo en Docsity!
TRIEDRO MÓVIL Y FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
Los matemáticos franceses Jean Fréderic Frenet (1816-1900) y Joseph Alfred Serret (1819-1885) desarrollaron unas fórmulas con las cuales se describe el movimiento de una partícula en el espacio. Estudiaremos las fórmulas que describen la variación del triedro móvil, formado por los vectores unitarios tangente, normal y binormal, que actualmente se conocen como: Fórmulas de Frenet-Serret B : Vector Binormal Unitario. T : Vector Tangente Unitario. N : Vector Normal Unitario.
El vector unitario Tangente ( T ) , el vector unitario Normal ( N ) y el vector unitario Binormal ( B ) , forman un triedro en cualquier punto de la 2 curva, y forman un sistema derecho de vectores unitarios, es decir: Figura formada por tres semirrectas, llamadas aristas, que parten del mismo punto, denominado vértice del triedro.
1. Vector tangente unitario Si R(t) es el vector de posición n de una curva C en un punto P de C, el vector tangente unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección n de DtR ( t ) si DtR ( t ) 6= 0_._ 2. Vector normal unitario Si T(t) es el vector tangente unitario de la curva C en el punto P de C, el vector normal unitario de C en P, denotado por N(t), es el vector unitario en la dirección n de DtT ( t ). 3. Vector binormal unitario El producto cruz de T(t) y N(t) es un vector unitario ortogonal tanto a T(t) como a N(t). Este vector es llamado vector binormal unitario y denotado por B(t), está definido así: B ( t ) = T ( t )× N ( t ). Los tres vectores unitarios mutuamente ortogonales T(t), N(t) y B(t) de una curva C reciben el nombre de triedro m vil de C. Los planos determinados por las representaciones de los tres vectores en un punto del espacio tienen nombres específicos.
Plano osculador: Formado por los vectores unitarios T(t) y N(t). Plano rectificador: Formado por los vectores unitarios T(t) y B(t). Plano normal: Formado por los vectores unitarios N(t) y B(t). Una forma alternativa para llegar a las mismas expresiones es tomar las tres primeras derivadas de la curva: r ′( t ), r ′′( t ), r ′′′( t ), y para aplicar el proceso de Gram Schmidt. La base ortonormal ordenada resultante es precisamente el marco TNB. Este procedimiento también se generaliza para producir marcos FRENET en dimensiones más altas. En términos del parámetro t , las fórmulas de FRENET - SERRET recoger un factor adicional de ||r '(t )|| debido a la regla de la cadena: En forma matricial, las fórmulas de FRENET - SERRET se pueden escribir como: Expresiones explícitas para la curvatura y la torsión se pueden calcular. Por ejemplo:
