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CAPITULO PRIMERO
EL CALCULO CON LOS NUMER.OS NATUR.ALES
Es natural empezar por el fund,{JJ1n,ento de toda la A riiméiioa.
ei cálculo con los números enteros y positivos, y como haremos
siempre en el curso de estas lecciones, examinaremos la cuestión siguiente: ¿ Cómo deben enseñarse estas cosas en la Escuela?, Y después ampliaremos nuestra investigación examinando la cues- tión desde un punto de vista más elevado para ver cuanto en ella se erlcierra,
1. Introducción de los números en la Escuela
En este punto me limitaré a breves indicaciones que cada uno podrá completar con el recuerdo de CÓmO aprendió a calcular en la Escuela. Claro es que, en cuanto diga, no esmi.propósito guiar en la práctica de .la enseñanza, como se hace en los Seminarios de las Escuelas superiores, sino que me limito a acopiar el mate- rial que ha de servir para orientación de nuestra crítica.
Las propiedades de los números enteros y el cálculo con los
mismos son cuestiones tales, que el lograr hacerlas comprensi- bles a los niños de modo que éstos lleguen a dominarlas por completo es un problema extremadamente difícil, el cual exige la labor de varios años, desde los primeros de la escuela hasta las -clases sexta y quinta de los gimnasios. El método que hoy se sigue generalmente entre nosotros para .estas cuestiones quizá quede completamente caracterizado por los calificativos de intuitivo y genético'; es decir, que todo el edificio de la enseñanza se construye tornando como base cosas conoci- das pórIos sentidos, elevándose después poco a poco; y en esto radica su diferencia esencial con el método lógico y sistemático .. que predomina en la enseñanza superior.
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Toda la enseñanza relativa a los números enteros viene adis-
. tribuirse en forma parecida a la siguiente, en la que sin: duda no se encontrará unidad ni precisión: Todo el primer año está ocu- pado por el cálculo con los números desde 1 hasta 20, dedicando el primer semestre, aproximadamente, a los números desde 1 hasta 10. Los números aparecen como símbolos numéricos de puntos o de conjuntos de las cosas familiares a los niños, sin ningún gé- nero de explicaciones. La adición y multiplicación se deducen después intuitivamente. En el segundo grado,se manejan los nú- meros desde 1 hasta 100, introduciendo ya el uso de las cifras
arábigas con valor relativo y el sistema decimal. Digamos de paso
que la denominación de cifras arábigas, como muchas otras de la ciencia, no es justa; históricamente, este sistema de numera- ciónescrita procede die los indios y no de los árabes. Otro de los fines de este grado es llegar al conocimiento de la tabla de multiplicar. Cuánto es 5- x 7 ó 3 x 8, por ejemplo,
debe saberse hasta durmiendo, para 10 cual tiene que aprenderse
de memoria la tabla de multiplicar, a lo que naturalmente Se llega después de haber puesto muchos ejemplos con objetos. A este fin sirve excelentemente la bien conocida máquina de calcular, y mejor, aunque más modestamente, el llamado tablero -de cálculo, que consta de un bastidor de diez alambres fijos y pa- ralelos, sobre cada uno de los cuales pueden correr libremente diez bolas; por un corrimiento conveniente, se asocian de tal modo que se ve en seguida el resultado de la multiplicación y su escritura decimal. El tercer grado, por último, se ocupa en el cálc¡.tlo con núme- ros die varias cifras, basado en las conocidas reglas de las opera- ciones fundamentales, cuya generalidad parece evidente al alumno o debe parecérselo. Claro es que, aun no teniendo esta evidencia, los niños pueden llegar a dominar completamente estas reglas; en todo caso, debe el maestro hacer uso de toda su auto- ridad, llegando hasta el clásico: « Esto es así, y si no 10 sabes verás 10 que te pasa.» Todavía conviene señalar otro aspecto de esta enseñanza, pre- cisamente porque se acostumbra descuidaren la enseñanza su- perior ; y es el hacer resaltar las aplicaciones del cálculo él la vida práctica. Desde el principio, los números se introducen con
Basta que consideremos un poco el grande y metódico esfuerzo que supone la tarea de inculcar en las mentes de cientos de miles de niños que nada saben las nociones del cálculo, para' que nos invada un sentimiento de respecto y aprecio a los rneritísirnos ser- vicios de los maestros, Si intentáramos nosotros mismos ésto, con toda, nuestra formación académica, j qué pocos éxitos podríamos apuntarnos! Sigamos adelante, después de esta disgresión, y notemos ante todo que desde la Cuarta y aun a veces desde la Tertia el cálculo 'Comienza ya a vestirse con el elegante atavío de la ~~1atemá.tica, del cual es primera muestra el cálculo literal. Se designan por
.a, b, e, ... o también por x, y, z, ... números naturales cualesquiera,
que al principio siempreson enteros y positivos, y se ejecutan las
reglas y operaciones del cálculo con estos números simbolizados
por letras, con lo cual Se elimina ya el contenido concreto e in- tuitivo de los números. Se da, así, un gran paso en el camino de la abstracción, pues puede decirse, con razón, que la l{atemática Propiamente tal empieza con el cálculo literal. Claro es que este paso no puede realizarse súbitamente en la escuela, sino que el alumno tiene que ir acostumbrándose poco a poco a tan gran abstracción. Para esta enseñanza parece absolutamente necesario que el maestro conozca con toda exactitud las leyes lógicas y los [unda- mentas del cálculo y de la teoría de los números enteros; aun 'Cuando, naturalmente, no haya de exponerlo inmediatamente al discípulo. Detengámonos en este punto para examinarlo más de~ tallada mente. '.
11. leyes formales del cálculo
Históricamente, durante mucho tiempo, se ha sumado y multi- plicado sin darse cuenta de 'las leyes formales de estas operacio- nes. En los años del 20 al 30 del siglo pasado, fueron puestas en -evidencia, por primera vez, oor maiemúticos ingle:';es y [rance: ses, principalmente, las propiedades formales de aquellas opera- dones. El lector que desee informarse circunstanciadamente de este asunto, puede acudir como para otras muchas cosas, a la :gran Encyk.lopiidie der mathemaiischen TVissenschaften mit Eins-
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-chluss ihrer Anwendungen (1); así como también la traducción
francesa revisada y anotada: EncykloPéd:ie des Soiences maihe-
m:atiques pUlYe¡> et alplpliquées (2), la cual aparece, en parte, como una segunda edición de la primera pero más completa; esta obra, corno de Matemática general, debiera figura!' en toda biblioteca escolar, pues su consulta permite al profesor matemático orientar su actividad en la dirección que le interese. Para nosotros, en el punto que nos ocupa, es del mayor interés el primer artículo del primer torno de la precitada enciclopedia alemana: H. Schubert, Grundlagen d;er A rithmetik (3); cuya refundición francesa, muy
completa, débese a ]ules Tannery y [ules Mofk.
Volviendo a nuestra cuestión; enumeraremos las cinco leyes fundamentales a que conduce la adición: 1." w+ b es siempre un nÚrnlero, es decir, la adición es practicable sin ninguna restricción (en contraposición COn la sus- tracción, que no lo es siempre en el campo de los números na- turales). 2.° 31+ b está determinado unívocamente. 3.° Se cumple la lé y asociativa:
así que los paréntesis pueden omitirse en esta operación. 4." Se cumple la ley oo-naniüaiissa :
8.° Se cumple la ley de monotonía: Si
b>c .es ~+ b>a;+c.
(1) Leipzig, Teubner, de .1898 en adelante. Actualmente; se ha termina- do la publicación de algunos tomos y está muy adelantada .la de otros.
. (2) París (Gauthier-Villars) y .Lelpzig (Teubner), desde 1904. De esta traducción han aparecido hasta ahora menos volúmenes que de la alemana, siendo de temer que la situación creada por la guerra europea suspenda 0, al menos, retrase mucho la terminación de obra tan importante.. (3) Arithmetik und Algebra; redactado. por W. Fr. Meyer (18lJ6-1904).
Ed. francesa, red. por J. Molk.
Pudieran ponerse ejemplos más complicados, y cada uno debe hacerlo resolviéndolos por sí mismo. Sintetizando los resultados diremos: las reglas ordinarias de la adicion. y de la multiplicacion constituyen una constante aplicación de ras mencionadas once leyes formales a los resultados de las tablas de sumar y mu.ztipli-
car que están grabados en nuestra memoria.
En cuanto a la ley de monotonía, ¿ dónde podemos hallar su ' aplicación? En los cálculos formales corrientes no aparece nunca; pero sí en otra clase de cuestiones. Basta recordar aquí lo que se llama, en el sistema decimal, la multiPlicación y división abrevia-
das .,Esta es una cuestión de gran importancia práctica, la cual,
por desgracia, tanto en la Escuela como entre los estudiantes uni, versitariosy.no es suficientemente conocida todavía, aunque en la clase Quinta sea explicada incidentalmente.
Pongamos, de nuevo, un ejemplo: Supongamos que tenemos que calcular el producto de 567 x 134, y en ambos factores, ob- tenidos corno medidas físicas, la cifra de las unidades no está dada exactamente. Sería, entonces, un trabajo inútil calcular el producto exacto tomando ambos factores con todas sus cifras, puesto que no se podría garantizar su exactitud; sin embargo, po- drá interesar conocer cuál es la última cifra exacta de dicho pro- ducto., es decir, saber, por ejemplo, entre qué decenas o qué centenas se halla su valor exacto. Esta cuestión nos la resuelve inmediatamente la ley de monotonía; pues, en efecto, de ella se sigue que el número buscado se encuentra entre 560 x 134 y 570 x 134, o entre 560 x 130 y ,570 x 140. Dejo a ustedes que terminen el razonamiento y verán que, en todo caso, la ley de
-monotorda es de una aplicación constante en el cálculo abre-
"Viada. En lo que concierne a ia enseñanza pro-piamente escolar, repi-: tamos que, naturalmente, no se puede hacer una exposición siste- mática de todas estas leyes formales de la adición y de la multi- plicación. Cuando el alumno lo haya Comprendido bien y esté fa- miliarizado con el cálculo numérico, deberá el maestro aprovechar la ocasión del paso al cálculo literal para inducir, por lo menos, las leyes asociativa, conmutativa y distributiva, por medio de evidentes y numerosos ejemplos numéricos que le permitan enun- darlas de modo explícito.
11I. Los fundamentos lógicos de los números enteros
Aunque en la enseñanza primaria no se pueda llegar muy arri- ba en las difíciles cuestiones que comprende el epígrafe de este ar-
tículo, se presenta ya all! el problema matemático del día: ¿ Cómo
deben establecerse estas leyes llamadas fundamentales, y cómo se.
debe fundamentm, ante todo, el concepto de número?
Trataré de dar 'a ustedes una orientación en estos problemas, fiel a la idea directora de este curso, que no es otra que exami- nar nuevamente las materias propias de la enseñanza escolar considerándolas desde un punto de vista elevado, cosa que hago con tanto más gusto, cuanto que estas modernas ideas han llega- do a ustedes por todas partes durante' sus estudios universitarios, pero sin que se les haya dicho nunca lo preciso acerca del valor psicológico que encierran.
En lo. que toca al mismo concepto de número, su origen es ex-
tremadamente difícil de descubrir, hasta el punto de que se ex- perimenta una sensación de bienestar cuando se deja de lado su investigación. El que por ello se interese puede informarse más detenidamente sobre estas cuestiones, tan vivamente discutidas. por los filósofos de todos los tiempos, consultando el ya citado artículo de la Enciclopedia francesa; nosotros nos limitaremos a algunas, muy pocas, observaciones. Es una idea muy extendida la que supone el concepto de nú-
mero estrechamente unido al de tiempo, dependiendo ambos jun-
tamente de la impresión que despierta en nosotros la sucesión de , los fenómenos que a nuestro alrededor y en nosotros mismos se verifican. ' Kant, entre los filósofos, y Hamilron, entre los matemáticos, son los representantes de esta interpretación. Otros, en cambio, opinan que el número tiene más que ver con el concepto de espa- cio, reduciendo el concepto de número a la simultánea contempla- ción de diferentes objetos considerados en su conjunto. Por últi- mo, hay quienes ven en las representaciones de los, números las expresiones de una especial aptitud del espíritu, la cual es inde- pendiente de toda intuición de, espacio y de tiempo. Esta inter-
pretación está bien caracterizada por la siguiente cita del Fausto
de Goethe que el profesor Minkowski aplica a los números en el
lema, de su libro sobre Aproximaciones Dioiánncas i
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once leyes fundamentales en un mayor número de pequeños pa- sos y tomar los más sencillos de éstosdirectamente de la intui- ción, y deducir de ellos todos los demás por vía puramente lógica sin apelar nuevamente, en ningún momento, a la intuición, Aun cuando la posibilidad de un procedimiento' puramente 16-
gico, sólo comienza después de establecer aquellas cnCe leyes,
puede ya empezar antes, en cuanto se sientan las proposiciones
más simples en que pueden descomponers- dichas leyes, resul-
tando, por lo tanto, que el límite de separación entre la intuición
y la lógica se ka trasladado en favor de esta última, ,
Iniciador de esta tendencia fué H ermann. Grassmann en su.
Lehrbuch. d,er Arit,hmetik, publicado en 1861 (1),
Como ejemplo de este modo de proceder puede mencionarse que la ley conmutativa se deduce de la asociativa aplicando el método de inducción completa. Al lado de la Aritmética de Grassmann merece citarse por la
precisión de su exposición la del italiano Peana: Arümeiices
principia nova methodo exposita (2), libro que no está escrito en
latín, aunque así pudiera colegirse del título, Aparece escrito en un lenguaje simbólico, característico de su autor, que permite hacer resaltar cada fase del' razonamiento desterrando el uso de las palabras, corrientes que pudieran .ence- rrar alguna idea derivada de la intuición y evitando así todo equí-
vaco posible, Téngase presente que Peana es cabeza die wlia
escuela muy extendida. en Italia, la cual quiere descomponer las
premisas de toda disciplina matemática y, con el recurso .de un
exacto lenguaje de conceptos escritos, intenta investigar sobre sus
lógicas conexiones,
3) Nos toca ahora mencionar una moderna concepción de
estas ideas, de la que ya está influida la de Peana; me refiero al
modo de tratar los fundamentos de la teoría de los números que
supone el concepto de conjunto.
La idea general de conjunto-de su vasto alcance podrán us- tedes hacerse idea si les digo que son ejemplos particulares de
(1} Con la edición «für hóhere Lehranstalten» (Berlín, 1861). Los capí- tulos que a esto se refieren han sido reproducidos en JI. Grassmanns gesam- melte maihematische und physikalische Werke, editadas por F .. Engel (Leipzig, 1904, tomo II 1., págs. 259 a 349). (2) Augustce Taurinorum (Torino, 189).
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conjuntos, tanto la serie de todos los números enteros como iel conjunto de todos los puntos de un se.gmento-, ha sido objeto de una especulación matemática sistemática Flor parte de Georg Cantor, de Halle, señaladamente, y la teoría de conjuntos creada por él, es cultivada con el mayor interés por la generación de los modernos matemáticos. Más adelante haremos un rápido examen de esta teoría; baste; por ahora, consignar' que la tendencia de esta nueva manera de fundamentar la teoría de los números puede caracterizarse breve- mente con estas pocas palabras: Las propiedades de los números enteros y de las operaciones .que con ellos se efe.Gitúen Pueden reducirse a las propiedade's gene- rales de los conjuntos y die las relaciones abstractas que entre ellos existen, llegándose a realizar por este camino-una exposición rigurosa sobre el fundamento más general posible. Como iniciador de esta tendencia debe ser citado también Richard Dedekind, que en' una memoria, pequeña en volumen pero rica en ideas, titulada : Was sind und "UJas sellen. die Zah- len? (1) fué el primero que dió tal fundamento a la teoría de los números enteros. Conforme a estas ideas, expone las propiedades de los núme-
ros enteros H. Weber en la primera parte del to~o primero de fa
citada enciclopedia Weber- Wellstein ; pero, realmente, la exposi- ción es tan abstracta y difícilmente .comprensible que el mismo autor, en un apéndice del torno tercero (2) de la misma obra, ha dado una teoría más elemental, utilizando solamente conjuntos finitos,' la cual ha incluido luego en la tercera edición del tomo primero. Su lectura es muy recomendable a cuantos. sé .interesen por estas cuestiones.
- Por último, existe un modo puramente formal de introdu- cir el número, cuyo origen se remonta a Leibniz y que últimamen- te ha, sido adoptado principalmente por Hilbert.(Véase su confe- rencia en el Congreso de Heildelberg de 1904: «Sobre los funda- menios de la Lógica y de la Aritmética») (3).
(1) Braunschweig, 1888.
(2) Ange'wandte Elernentarmathematik, Bearb. von l;I. Weber, J. Wells.
tein y R. H. Weber. Leipzig, 1901. (3) Verhandlungen des 3. internationalen Mathematikerkongresses in Heidelberg vorn 8. bis 13. August 1004 (Leipzig, 1905), pág. 174 Y sigs, 2
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que quedar siempre en el [ondo , aun cuando se formule de un modo abstracto, siempre va, unida, una cierta intuición a los sím~ bolos con 'que se opera, .siquiera para poder reconocer estos símbo- los y aunque sólo sea pensando en la forma de las letras. e) Aceptemos, sin embargo, que el problema en cuestión haya quedado satisfactoriamente resuelto y, por consiguiente, de- mostrada la compatibilidad de las once leyes fundamentales. Aun entonces ocurre una observación, a la que conviene dar 'toda la importancia que merece, a saber: la 'de ser evidente que J11ledian te
consideraciones de esta naturaleza no se ha fundamentado, y, más
aún, no se puede [uoidammtar fa Aritmética, Es imposible por vía
puramente lógica demostrar que. las leyes cuya compatibilidad se ha supuesto sean realmente aplicables a, los números que nos son conocidos por la intuición; que los entes .indeterminados de que se habla en aquellas leyes puedan ser números reales, y que las relaciones que allí aparecen puedan equivaler a los procesos rea- les de la adición y de multiplicación en SU clara significación in- tuitiva. Lo que realmente se deduce de aquí es que el problema, grande en sucomplejídad y aparentemente irresoluble, de funda- mentar la Aritmética, comprende dos partes, y que ~a primera, elprobléma puramente lógico' de establecer principios funda- mentales o axiomas e investigar su mutua independencia y com- patibilidad, es perfectamente abordable, La segunda parte, que pertenece más' bien a la teoría del conocimiento representa, en cierto modo, la aplicación de aquellas investigaciones lógicas a las relaciones reales, y apenas si ha sido tornada en considera- ción, a,unque naturalmente debiera abordarse al mismo tiempo que la primera, si realmente se ha de fundamentar la Aritmé- tica con el debido rigor. Esta segunda parte plantea una cuestión muy honda, cuyas dificultades tienen sus raíces en la teoría del, conocimiento. Pu- 'diera, quizá, darse una exacta idea de la naturaleza de este pro- blema mediante esta casi paradójica afirrnación : Quien pretenda hacer pasar como Matemátiéapura investigaciones lógicas pu- ras, como consecuencia de la segunda parte del problema que nos ocupa, habrá dado a los fundamentos de la Aritmética y, por tanto, a la, Aritmética misma, el carácter de Matemática aplicada. Conviene insistir en este asunto, porque, sobre él se incurre
frecuentemente en errores e incomprensiones, y aun hay muchos que pasan sencillamente por alto fa existencia de este segundo problema. Naturalmente, no es este el caso de Hilbert, pero, cualesquiera que sean las afirmaciones o contradicciones. a que lleguen los que prescindan de esta segunda parte del problema, carecerán de valor. El profesor Thornae, de Jena, ha calificado a los. que se ocupan casi exclusivamente en investigaciones abs- tractas .y lógicas sobre entes que nada significan y principios que nada dicen, y no solamente no paran su atención en aquel segundo aspecto del problema, sino que, como a menudo ocurre, olvidan todo lo demás de la Matemática,. con la feliz denomina-
ción de pensadores sin pensamienio, Claro es que no se puede
aplicar este irónico calificativo a las 'personalidades que se de- dican a estas investigaciones al par que a tantas otras de índole distinta.
En relación con esta ojeada acerca de los fundamentos de la Aritmética, conviene agregar todavía algunas consideraciones ge- nerales. Se ha pensado y dicho repetidas veces que la Matemá-
tica puede X aun debe enseñarse por un método exclusivamente
deductivo; derivando lógicamente todas sus proposiciones de una serie de axiomas previamente establecidos. Este procedimiento, que cuenta en su apoyo la autoridad histórica de Euclides, no co- rresponde en todo caso al proceso evolutivo de la Matemática. Por el contrario, ésta se ha desarrollado de un modo semejante al árbol, el cual no sólo crece desde las más finas fibrillas de sus raíces hacia arriba, sino que al mismo tiempo que se desarrolla y extiende sus ramas y hojas, sus raíces penetran más y más pro- fundamente en el suelo en que arraiga. De la misma manera, puede decirse que la Matemática surgió a partir del instante eñ
que la inteligencia humana llegó a cierto grado de madurez y ha
progresado después, atendiendo a las necesidades de la Ciencia misma y a las exigencias de cada momento, tanto ampliando sus conócimientos, como, en la medida correspondiente. depurando e investigando sus principios. Así, por ejemplo, al examinar lo rela- tivo a los fundamentos de la Aritmética. nos colocamos hoy en un punto de vista muy distinto del de los investigadores de hace po- cos decenios; y los que hoy pueden enunciarse como los últimos principios, seguramente quedarán postergados dentro de algún
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jara en completa independencia de .105 demás, A nadie se le ocurre pensar como posible en tal organización de la enseñanza; ni los alumnos podrían' comprender nada, ni los profesores po- drían entenderse entre sí. Las propias necesidades de la enseñanza escolar exigen en cada uno de los maestros, un cierto grado de enciclopedismo, unaorientación amplia, tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas; lo que lleva consigo el remedio con- tra el grave mal que significaría un excesivo desmenuzamiento de la ciencia. Un resultado práctico de estas observaciones es el consigna- do 'en los acuerdos del Congreso de Dresde, a que ya nos he- mos referido. En ellos se recomienda precisamente la Materná-
. tica aplicada, que desde 1898 ha sido exigida en los exámenes de maestros en una sección especial, como elemento necesario a toda formación matemática normal, de modo que aparezcan siempre "combinadas las aptitudes delmaestfo para las matemá- ticas puras y aplicadas, Citemos también, a este respecto, que la comisión de enseñanza pública en el llamado «Plan de Me- ran» (1), establecía estas tres cosas como fin de. la enseñanza' ma- temática en la clase de Oberprima (superior): 1." Una ojeada científica vsobre la construcción sistemática de la Matemática. 2.'a Una cierta facilidad en la resolución completa deproble- mas numéricos y gráficos. 3." Un estudio sobre la significación del pensamiento mate- . mático en las ciencias naturales, y, en general, en la cultura mo- derna. Estos tres puntos comprenden todo el programa al que estoy , plenamente convencido es preciso ajustarse.
IV. Práctica del cálculo con números enteros Después de las explicaciones últimas de carácter predominan- temente abstracto, vamos a tratar ahora de cosas más concretas, como es la.prítctica del cálculo numérico ..
(1) Reiormuorschliige für' den. miüh, und nat.urin. Unterrichi, überreicht der Verso d. Naturforscher u. A.rzte zu Meran (Leipzig, 19(5). Puede también verseen el inf()rm~ de la Comisión, pág. 93 (citado en la página II),así como en Klein-Schimrnack, pág. 208 (cit. en la pág .. III).
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Como obra apropiada para orientarse en esta cuestión puede citarse, preferentemente, el artículo de la Enciclopedia sobre Cálculo numérico de R. Mehmke, (Encykl. torno 1, parte 2, P.) , Para dar mejor una idea general de los asuntos que integran esta cuestión basta examinar el contenido de dicho artículo. Cons- ta éste de dos partes, a saber: A) La teoría del cálculo exacto; B) La teoría del cálculo .aproximado, .' En A) se comprenden todos los métodos que facilitan el cálcu- '
lo exacto con números enteros grandes, por ej~mplo, las disposi-
ciones más cómodas de los esquemas del' cálculo, 'las tablas de productos y de cuadrados, y, en particular,!as máquinas calcula- torias en que pronto nos ocuparemos. En B, poi' el contrario, se trata de cuanto se refiere al grado de aproximación del resultado, es decir, de los procedimientos con los cuales Se obtienen sus primeras cifras exactas ; en particular, de las tablas de logaritmos y análogas, de la regla de cálculo, que, en realidad, es una tabla gráfica de logaritm,os dispuesta de un modo especial; y, por último, también de los numerosos e importantes métodos gráficos. Además, merece recomendarse' el pequeño libro de J. Líiroth Vorlesungen über numeriches Rechmen (1), que está escrito en forma muy agradable por un perito en la materia y da una rápida orientación. De entre, todo ]0 que se refiere al cálculo con números ente- ros, voy a ocuparme preferentemente de las máquinas de calcular, de las que existen un gran' número de diferentes e ingeniosos mo- delos, de constante aplicación en Bancos y Oficinas, y, por tanto, de reconocida importancia práctica. ' U no de los tipos más extendidos, es la Brungswiga, fabricada por la casa Grimme, Natali y Compañía de Brunswick. Es una de las máquinas más reducidas y sencillas, y aun cuando no pueda decirse que es la mejor, posee en cambio la gran ventaja de su relativa baratura. Su construcción es debida al matemático ruso Odhrner y ha sido conocida primitivamente bajo el nombre de aritmómetro. Explicaremos el funcionamiento de esta máquina con algún dete-
(1) Leipzig, 1900.
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Ahora se hace girar una vuelta completa hacía la derecha a la m:anivela; aparece entonces bajo los agujeros del carro el multi- plicando; en nuestro caso, un 2 en el primero de la derecha y un 1 en el segundo, en tanto que en todos los demás queda el cero. En el lado izquierdo del carro hay un contador constituido por una serie de agujeros y en el que, en la operación que vamos haciendo, aparece un 1, que indica que hemos dado una vuelta con:pleta a la manivela (fig. 2); En gener~l, cuando el l1n~ltiplica-.
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Figura 2
dor es de una sola edra, se dan tantas vueltas com-pletas a la ma- nivela como indica aquélla, e inm¡eldiatamente aparece en la parte izquierda del carro el multiplicad'or y en ta derecha el producto. ¿ Cómo realiza esto el aparato? Primeramente hay dentro del carro, bajo cada uno de los agu-' jeras del contador, una rueda dentada cuyos dientes llevan las cifras 0, 1, 2, ... , 7, 8, 9. Un engranaje obliga él esta rueda a girar en cada vuelta de la manivela una décima de vuelta; así que la cifra que aparece bajo el pr-imer agujero de esta parte del carro,
.indica, en efecto, el número de vueltas dadas a la manivela, y,
por lo tanto, el multiplicador. Veamos lo que se refiere a la formación del producto; bajo cada agujero de la derecha del carro hay una rueda análoga a la anterior; ¿ Cómo se explica, ahora que para una misma vuelta dada a la manivela, en el ejemplo propuesto venga un 2al pri;
mer agujero y un 1 al segundo? Aquí radica 10 característico de
la construcción de la Bruns:wiga. Bajo cada ranura del tambor hay' montado sobre el eje de la manivela, un disco (rueda motriz) al que están unidos, en direc- ciónde los radios, 9 dientes movibles. Mediante el gatillo que 50-
bresale de la ranura, de que antes se habló, se. hace girar un ani-
llo R que guarnece el contorno del disco, de tal modo que al sa-
car el gatillo S junto a los números O, 1, 2, ... , 9 el anillo permite que sobresalgan del borde del disco otros tantos dientes (en .Ia figura 3, dos dientes).·
Estos dientes encajan directamente en las ~uedas dentadas que se hallan bajó los agujeros correspondientes del carro, y en una vuelta die la manivela cada rueda motriz empuja, por consiguiente, tantos dientes de la rueda correspondiente al carro como dientes han quedado salientes en aquélla, es decir, tantos como indica la cifra que está al lado del g.atillo.
Según esto, en el ejemplo de quevamos dando cuenta, al par-
·Figura 3
tir de la posición en que están los ceros en los agujeros de' la iz- quierda del carro y dar una vuelta a la manivela, la rueda de las unidades del tambor hace salir el 2 'y la de las decenas el! en los agujeros correspondientes del carro. Al dar una segunda vuelta, la rueda de las unidades gira en otros dos dientes y la: de las
decenas en uno y. por consiguiente, aparecerá 24, y del mismo
modo dando tres vueltas a parecerá 36 = 3. 12 ; dando cuatro vuel-
tas, 48=4.12. Dando una quinta vuelta a la manivela, habríamos hecho gi-
rar a la rueda de las unidades otros dos dientes y, por tanto, vol-
verá al 0, mientras que la' rueda de las decenas hará aparecer el
