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Ejercicios resueltos sobre los polinomios, Apuntes de Matemáticas

Tecnológico de Monterrey (ITESM) - Ciudad JuárezMatemáticas

Tipo: Apuntes

2018/2019

Subido el 09/07/2019

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frasquito 🇲🇽

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Ejercicios resueltos 1
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios
MATEMÁ
T
ICA APLICAD
A
- Universidad Zaragoza
Ana Allueva
–
José Luis Ale
j
andre
–
José Mi
g
uel González
G
G3
3w
w
Bloque 2. Álgebra
Tema 1 Polinomios
Ejercicios resueltos
2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios:


)apx x x x x x
qx x x x

 
54 3 2
642
46 7
25


)bpx x x x x x
qxxx xxx


54 32
54 32
9 2 12 10
5122 15


)cpx x x x x
qx x x x


432
432
56238
2324



)dpx x x x x
qx x x x x
rx x



43 2
432
3214
6823
214



)epx x x x x x x
qx x x x x x
rx x x x x x x



65432
6532
65432
4276 2
32 225
26288 3



)fpxx xx x
qx x x x x
rx xxxxx
 


432
5432
5432
3711
23 7
325834
Solución


)apx x x x x x
qx x x x

 
54 3 2
642
46 7
25
 
px qx x x x x x x
65 4 3 2
347 2


)bpx x x x x x
qx x x x x x


54 32
54 32
9 2 12 10
5122 15
 
px qx x x x
542
83 5
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff

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¡Descarga Ejercicios resueltos sobre los polinomios y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Bloque 2. Álgebra

Tema 1 Polinomios

Ejercicios resueltos

2.1-1 Realiza la suma de los siguientes polinomios:

a ) p x x x x x x q x x x x

5 4 3 2 6 4 2

b ) p x x x x x x q x x x x x x

5 4 3 2 5 4 3 2

c ) p x x x x x q x x x x

4 3 2 4 3 2

d ) p x x x x x q x x x x x r x x

4 3 2 4 3 2

e ) p x x x x x x x q x x x x x x r x x x x x x x

6 5 4 3 2 6 5 3 2 6 5 4 3 2

f ) p x x x x x q x x x x x r x x x x x x

4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2

Solución

a ) p x x x x x x q x x x x

5 4 3 2 6 4 2

p  x   q  x  x^6  x^5  3 x^4  4 x^3  7 x^2  x  2

b ) p x x x x x x q x x x x x x

5 4 3 2 5 4 3 2

p  x   q  x  8 x^5  3 x^4  x^2  5

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

c ) p x x x x x q x x x x

4 3 2 4 3 2

p  x   q  x   3 x^4  3 x^3  3 x  4

d ) p x x x x x q x x x x x r x x

4 3 2 4 3 2

p x   q  x  r  x  p  x  q  x  r  x 

x x x x x x

        ^9 4  7 3  2  14   2  14  9 4  7 3

e ) p x x x x x x x q x x x x x x r x x x x x x x

6 5 4 3 2 6 5 3 2 6 5 4 3 2

p x    q  x   r  x    p x    q  x   r  x 

  2 x^6  6 x^5  2 x^4  8 x^3  8 x^2  x  3    2 x^6  6 x^5  2 x^4  8 x^3  8 x^2  x  3   0

f ) p x x x x x q x x x x x r x x x x x x

4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2

p x    q  x   r  x   ^ p x    q  x   r  x 

 ^2 x^5  2 x^4  2 x^3  7 x  4 ^  3 x^5  2 x^4  5 x^3  8 x^2  3 x  4    x^5  7 x^3  8 x^2  4 x

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

c ) p x x x x x q x x x x x

4 3 2 4 3 2

p  x  q  x  p  x  q  x 

x x x x x x x x

p  x   q  x  3 x^4  x^3  6 x^2  4 x  1

d ) p x x x x x q x x x x x

5 3 2 4 3 2

p  x  q  x  p x   q  x 

x x x x x x x x

p  x   q  x   x^5  x^4  4 x^3  7 x^2  2 x  2

e ) p x x x x q x x x x

3 2 3 2

p  x  q  x  p x   q  x 

x x x x x x

  7 3  2  12  2  ^  6 3  3 2  13  15 

p  x   q  x   x^3  2 x^2  x  17

f ) p x x x x x q x x x x x

4 3 2 5 4 3

p  x  q  x  p  x  q  x 

x x x x x x x x

 4  3 3  3 2  2  14  ^  5  2 4  3 3  3  14 

p  x   q  x  x^5  3 x^4  3 x^2  5 x

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

2.1-3 Realiza el producto de los siguientes polinomios:

a ) p x x x x x q x x

b ) p x x x x x x q x x

5 4 3 2 4

c ) p x x x x q x x x

6 4 2 3

d ) p x x x q x x x

2 2

e ) p x x x x q x x x r x x x x

5 3 2 3 2

f ) p x x x q x x x r x x x x x

2 2 4 3 2

Solución

a ) p x x x x x q x x

p  x  q  x  x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

4 3 2 4 3 2 5 4 3 2

b ) p x x x x x x q x x

5 4 3 2 4

p x   q  x  x x x x x  x 

x x x x x x

5 4 3 2 4 9 8 7 6 5 4

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

f ) p x x x q x x x r x x x x x

2 2 4 3 2

p x q x r x p x q x r x x x x x x x x x

 ^  2  2  3  2   1  4  3  2   4

p x q x r x p x q x r x x x x x x x x x x x x x

4 3 2 3 2 2 4 3 2

p x q x r x p x q x r x x x x x x x x x

p  x  q  x  r  x  p  x  q  x  r  x 

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

8 7 6 5 4 7 6 5 4 3 6 5 4 3 2 5 4 3 2 4 3 2

p x   q  x  r  x 

x x x x x x x

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

2.1-4 Dados los siguientes polinomios, realiza la operación que se indica:

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

a ) p x x x x q x x x p x^ q^ x^ p^ x^ q^ x

    ^ ^ 

3 2 2

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

b ) p x x x q x x x p^ x^ q^ x^ p x^ q^ x

     ^ ^ ^ ^ 

2 2

Solución

 ^ ^ ^   ^ ^ ^ 

a ) p x x x x (^) p x q x p x q x q x x x

 ^ ^ 

3 2 2

p x q x x x x p x q x x x x

3 2 3 2

 p x^ ^^ ^ ^ q^ ^ x^  ^  p x ^^ ^ ^ q^ ^ x^  ^  x^^3 ^8 x^^2 ^3 x^ ^1  ^ ^ x^^3 ^4 x^^2 ^5 x ^5 

 p x ^  q^  x^   p x ^  q^  x^  x^ x^ x^ x

x x x x x x x x x x x

6 5 4 3 5 4 3 2 4 3 2 3 2

 p x ^  ^ q^  x^  ^  p x ^  ^ q^  x^ ^ x^^6 ^12 x^^5 ^30 x^^4 ^24 x^^3 ^21 x^^^2 ^20 x ^5

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

b ) p x x x q x x x p^ x^ q^ x^ p x^ q^ x

     ^ ^ ^ ^ 

2 2

p x q x x x x x x x p x q x x x x x x x

2 2 2 2 2 2

 3 ^ p x ^  ^ q^  x^  ^  p x ^  ^2 ^ q^  x^  ^  2 x^^2 ^12 x^ ^2  ^3 x^^2 ^11 x ^10 

 p x ^  q^  x^   p x ^  q^  x^  x^ x^ x

x x x x x

4 3 2 3 2 2

 3 ^ p x ^  ^ q^  x^  ^  p x ^  ^2 ^ q^  x^ ^6 x^^4 ^58 x^^3 ^158 x^^2 ^142 x ^20

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

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d x x x x

x x x

x x x

  ^ ^  ^ ^   ^ ^   ^  

2 3 2 3 2 2 1 21 2 3

6 4 2

6 4 2

e )  x   

x x x

x x

x x x x x

x x x x x

 ^ ^  ^ ^   ^   
 ^ ^   ^ ^   ^  

3 5 3 4 1 33 2

3 2 3 31 4 5

15 12 9 6 3

15 12 9 6 3

f )  x   

    ^ 

x x

x x

x x x x

x x x x

 ^ ^  ^    
 ^ ^    ^ ^    ^   

2 4 2 3 1

2 2 2 21 3 4

8 6 4 2

8 6 4 2

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

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2.1-6 Realiza la división entera de los siguientes polinomios:

a ) p x x x q x x

2 2

b ) p x x x x q x x x

5 3 3

c ) p x x q x x x

6 2

d ) p x x x x x x x q x x x x

6 5 4 3 2 3 2

Solución

a ) p x x x q x x p^ x^ c^ x^ q^ x^ r^ x

  ^ ^ ^ 

2 2

x^2  6 x  4 x^2  2  x^2  2 1  6 x  6

  ^ ^ ^ 

c x r x x x^ x^ x^ x

   ^ ^ ^ ^ ^ ^  ^ 

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

b ) p x x x x p x c x q x r x q x x x

^ ^ ^ 

5 3 3

x^5  3 x^3  6 x  2 x^3  xx^5  x^3 x^2  2 2 x^3  6 x  2  2 x^3  2 x 4 x  2

  ^  ^ ^ ^ 

c x x r x x x^ x^ x^ x^ x^ x^ x

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

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2.1-7 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios:

a ) p x   x^2  4 x  5

b ) p  x  x^3  5 x^2  6 x

c ) p  x  x^4  13 x^2  36

d ) p  x  x^4  16

Solución

a ) p x   x^2  4 x  5

x^2  4 x  5  0  x  4 ^162 ^20  4  26  5 ,  1

p  x   x^2  4 x  5   x  5    x  1 

b ) p  x  x^3  5 x^2  6 x

x^3  5 x^2  6 x  x   x^2  5 x  6   0   x 2  5 x x^ ^0 6  0

x^2  5 x  6  0  x  5 ^252 ^24  5  21 3 2 ,

p  x   x^3  5 x^2  6 x  x   x  3    x  2 

c ) p  x  x^4  13 x^2  36

x^2  tx^4  13 x^2  36  0  t^2  13 t  36  0

t^2  13 t  36  0  x^2  t  13 ^1692 ^144  132 ^5 9 4 ,

x   9 ,  4  3 ,  3 2 , ,  2

p  x   x^4  13 x^2  36   x  3   x  3    x  2   x  2 

d ) p x    x^4  16   x^2  4   x^2  4 

x x x x , x (^) x

     ^ ^ ^ ^ ^ 

2 2 2 2 2

p x    x^4  16   x^2  4   x^2  4    x  2   x  2    x^2  4 

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

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2.1-8 Factoriza según sus raíces reales los siguientes polinomios utilizando la

regla de Ruffini:

a ) p x   x^3  3 x^2  6 x  8

b ) p  x  x^3  3 x^2  13 x  15

c ) p  x  x^3  7 x^2  x  7

d ) p  x  x^4  2 x^3  x  2

e ) p  x  x^5  x^4  10 x^3  9 x^2  9 x

f ) p x   x^4  56 x^3  73 x^2  16 x ^13

Solución

a ) p x   x^3  3 x^2  6 x  8

Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8,  8      

p x    x^3  3 x^2  6 x  8   x^2  2 x  8   x  1 

Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:

x^2  2 x  8  0  x  2 ^24 ^32  2  26  4 ,  2

Por tanto:

p  x   x^3  3 x^2  6 x  8   x  4   x  2   x  1 

b ) p  x  x^3  3 x^2  13 x  15

Divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 5, 5, 15,  15      

Resto cero

Resto cero

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

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Por tanto:

p x    x^4  2 x^3  x  2   x^2  x  1    x  2    x  1 

Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:

x^2  x  1  0  x ^1 ^21 ^4 , que no son raíces reales.

Por tanto:

p x    x^4  2 x^3  x  2   x^2  x  1    x  2    x  1 

e ) p  x  x^5  x^4  10 x^3  9 x^2  9 x

Podemos factorizar fácilmente el polinomio sacandox factor común:

p x    x^5  x^4  10 x^3  9 x^2  9 x   x^4  x^3  10 x^2  9 x  9  x

Para el polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3, 3, 9,  9      

p x    x^5  x^4  10 x^3  9 x^2  9 x   x^3  2 x^2  4 x  3    x  3  x

Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 3,  3      

Por tanto:

p x    x^5  x^4  10 x^3  9 x^2  9 x   x^2  x  1    x  3   x  3  x

Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:

x^2  x  1  0  x  1 ^21 ^4 ^1  2 5 ,^1  2 5 , que son raíces reales.

Por tanto:

Resto cero

Resto cero

Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 1. Polinomios

G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

p x   x x  x   x  x

 ^  ^         

f ) p x   x^4  56 x^3  73 x^2  16 x ^13

Como el término independiente no es entero y aparecen términos racionales, multiplicamos todo el polinomio por 6:

6 p  x  6 x^4  5 x^3  14 x^2  x  2

Para este polinomio de grado 4 que resulta utilizamos Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1, 1, 2,  2     

6 p x    6 x^4  5 x^3  14 x^2  x  2   6 x^3  7 x^2  1   x  2 

Para el polinomio de grado 3 que resulta utilizamos otra vez Ruffini con los divisores enteros del término independiente: 1,  1     

Por tanto:

6 p x    6 x^4  5 x^3  14 x^2  x  2   6 x^2  x  1    x  1    x  2 

Ahora, el polinomio de grado 2 se puede factorizar obteniendo sus raíces:

6 x^2  x  1  0  x  ^1 ^121 ^24  ^112  5  13 , ^12 , son raíces reales.

Por tanto:

6 p x    6 x^4  5 x^3  14 x^2  x  2  6  ^ x  13     x  12   x  1   x  2 

Finalmente:

p x    x^4  56 x^3  73 x^2  16 x  13  ^ x  13     x  12   x  1   x  2 

Resto cero

Resto cero