¡Descarga Ejercicios Resueltos de Vectores: Conocimientos Básicos y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
Bloque 3. Geometría y Trigonometría
Tema 2 Vectores
Ejercicios resueltos
3.2-1 Obtener el vector
PQ , donde los puntosP yQ son los dados:
a ) P 1 4 , , Q 2 5 , b ) P 0 0 , , Q 9 10 ,
c ) P 8 3 , , Q 8 3 , d ) P 4 , 2 , Q 13 7 ,
Solución
a ) P 1 4 , , Q 2 5 , , , ,
PQ 2 5 1 4 3 1
b ) P 0 0 , , Q 9 10 , , , ,
PQ 9 10 0 0 9 10
c ) P 8 3 , , Q 8 3 , , , ,
PQ 8 3 8 3 0 0
d ) P 4 , 2 , Q 13 7 , , , ,
PQ 13 7 4 2 9 9
3.2-2 Suma los siguientes vectores:
a u 1 3 v 2 5
b u 2 2 v 1 1
c u 2 4 v 1 3
d u 2 6 v 1 4
Solución
a u 1 3 v 2 5 , , ,
u v 1 3 2 5 1 2
b u 2 2 v 1 1 , , ,
u v 2 2 1 1 1 1
c u 2 4 v 1 3 , , ,
u v 2 4 1 3 1 1
d u 2 6 v 1 4 , , ,
u v 2 6 1 4 3 10
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
3.2-3 Realiza el producto del escalar por el vector indicado:
a k 2 u 1 4 ) , ,
b k 4 u 5 3
c k u
d k 7 u 2 4
Solución
a k 2 u 1 4 k u 2 1 4 2 8
b k 4 u 5 3 k u 4 5 3 20 12
c k u k u
d k 7 u 2 4 k u 7 2 4 14 28
3.2-4 Comprueba si los siguientes vectores son linealmente independientes o
dependientes:
a u 1 4 v 0 1 ) , , ,
b u 5 3 v 10 6
c u 10 5 v 7 1 ) , , ,
d u 2 4 v 1 2
Solución
a u 1 4 v 0 1
^
u v 0 1 4 0 1 0 0
^ ^
de forma única linealmente independientes
b u 5 3 v 10 6
u v 0 5 3 10 6 0 0
^
linealmente dependientes
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
c u 10 5 v 7 1
10 , 5 7 , 1 x y ,
^ ^
x y y
10 7 5 y x 10 35 7 y x 25 x 7 y
x y x y x y x y y y
x y
x y
sistema generador de
2
d u 2 4 v 1 2
2 4 , 1 , 2 x y ,
^ ^
x x y
4 2 2 x y 4 4 2 x y 2 x y
Sólo se pueden poner en combinación lineal aquellos vectores de
2
que verifiquen esa condición, luego no todos. Por tanto, no es
sistema generador de
2
3.2-6 Comprueba si los siguientes vectores forman una base de
2 :
a u 1 4 v 0 1
b u 5 3 v 10 6
c u 10 5 v 7 1
d u 2 4 v 1 2
Solución
a u 1 4 v 0 1
SI es base ya que por el problema 3.2-4 son linealmente
independientes, y por el problema 3.2-5 forman un sistema
generador.
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
b u 5 3 v 10 6
NO es base ya que por el problema 3.2-4 son linealmente
dependientes.
c u 10 5 v 7 1
SI es base ya que por el problema 3.2-4 son linealmente
independientes, y por el problema 3.2-5 forman un sistema
generador.
d u 2 4 v 1 2
NO es base ya que por el problema 3.2-4 son linealmente
dependientes.
3.2-7 Sean las bases ,
B 1 u v , ,
B 2 a b , donde , , ,
u 1 4 v 0 1 ,
^
a 10 5 b 7 1. Obtener las coordenadas del vector dado en
cada una de ellas:
a w 1 1 ) ,
b w 2 3 ) ,
c w 4 2 ) ,
d w 5 10
Solución
a w 1 1
Respecto de la base ,
B 1 (^) u v :
w u v 1 1 1 4 0 1
Respecto de la base ,
B 2 (^) a b :
^
w a b 1 1 10 5 7 1
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
d w 5 10
Respecto de la base ,
B 1 (^) u v :
w u v 5 10 1 4 0 1
Respecto de la base ,
B 2 (^) a b :
^
w a b 5 10 10 5 7 1
3.2-8 Obtener el producto escalar de los vectores que se indican:
a u 1 4 v 0 1 ) , , ,
b u 5 3 v 10 6
c u 10 5 v 7 1 ) , , ,
d u 2 4 v 1 2
e u 1 1 1 v 2 6 3 ) , , , , ,
f u 1 0 5 v 7 2 1
g u 2 2 3 v 1 2 3 ) , , , , ,
h u 2 4 2 v 1 2 1
Solución
a u 1 4 v 0 1 u v 1 0 4 1 4
b u 5 3 v 10 6 u v 5 10 3 6 50 18 68
c u 10 5 v 7 1 u v 10 7 5 1 70 5 75
d u 2 4 v 1 2 u v 2 1 4 2 2 8 10
Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 3. Geometría y Trigonometría. Tema 2. Vectores
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
e u 1 1 1 v 2 6 3 u v 1 2 1 6 1 3 2 6 3 5
f u 1 0 5 v 7 2 1 u v 1 7 0 2 5 1 7 5 2
g u 2 2 3 v 1 2 3 u v 2 1 2 2 3 3 2 4 9 7
h u 2 4 2 v 1 2 1
u v 2 1 4 2 2 1 2 8 2 8
3.2-9 Obtener el producto vectorial de los vectores que se indican:
a u 1 1 1 v 2 6 3
b u 1 0 5 v 7 2 1
c u 2 2 3 v 1 2 3
d u 2 4 2 v 1 2 1
Solución
a u 1 1 1 v 2 6 3
^ ^ ^ ^ ^
i j k
u v i j k i j k
u v 9 5 4
b u 1 0 5 v 7 2 1
^ ^ ^ ^ ^
i j k
u v i j k i j k
u v 10 36 2
