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Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida
G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Bloque 4. Cálculo
Tema 7 Integral Definida
Ejercicios resueltos
4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas:
a ) x dx
(^2 ) 0 3
b^1 e dxx 0
e c dx (^1) x
d ) x x x x dx
(^1 2 3 ) 1 2 5
e ) dx x
3 2
f ) x dx x x
2 1 2
g ) senxdx
2 0
h ) dx x
1 0 2
i ) dx x x
5 2
j ) x dx x
1 0 1 4
Solución
a ) x dx ^ x
(^2 2 3 23 ) 0 3 0 2 0 8 0 8
b ) e dxx^ ^ e x e e e
(^1 1 1 ) 0 0 1
) ln ln ln
e (^) e c dx x e (^1) x^1
^
^
d ) x x x x dx x x x x
1 1 2 3 4 2 3 4 5 (^1 )
^ ^ ^
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e ) dx x
3 2
^ ^
t x (^) t dx dt t dt C x C x dt^ dx t
1 11 1 2^ 1 2
^
dx x x
3 3 2 2
f ) x dx x x
2 1 2
x (^) dx x (^) dx A (^) dx B dx x^2 x x x x x
x A B (^) x A x B x x x x x
x A (^) A B x B
ln^ ln
x (^) dx dx dx x x x x x x
(^2 2 2 ) 1 2 1 1 1
ln 2 ln 3 ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2 ln 3
^ ^ ^
g ) senxdx cos x cos cos
(^2 ) 0 0 2 0 1 1 0
^
h ) dx arctagx arctag arctag x
(^1 ) 0 2 0
i ) dx x x
5 2
dx A^ dx B dx x x x x
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A B (^) A x B x x x x x
^ ^
x A A B x B
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G G 33 ww Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González^ MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
a y x y EJE OX x x
A x dx
1 0 1
^ x^ x
1 2 0
2 ^
^
b y x y EJE OX x x
A x dx
(^2 ) 1 1
^ x^ x
2 3 1
^ ^ ^
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
y x^2 1
x 1
y 0 x 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
y 0
x 0 x 1
y x 1
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c y x y EJE OX x x
3 0 0 2
^ ^ ^
A x dx x
2 2 3 4 (^0 )
d y x y x y EJE OX
2 2 0
^ ^ ^ ^
A
1 2 3
2
4
6
8
y x^3
x 0 y 0
x 2
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
y 0
y x^2
y x 2
Puntos de corte: x^2 x 2 x^2 x 2 0 x 1 , 2
A x dx x dx
1 2 2 0 1 2
(^) (^)
x x (^) x 3 1 2 2 0 1
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0.5 1 1.
-0.
-0.
1
y x
y x^2
-1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
y x^2 2 x
y x^2 6 x
g ) y x y x
2
Puntos de corte:
x^2 x x^2 x 0 x x 1 0 x 0 1 ,
^ ^ ^ ^
A^1 x x^2 dx x^^2 x^31 (^00)
h ) y x x y x x
2 2
Puntos de corte:
x^2 6 x x^2 2 x
2 x^2 8 x 0 x x 4 0
x 0 4 ,
A ^ x x x x dx
(^4 2 ) 0 6 2
x x dx
(^4 ) 0 2 8
^
x x 3 2 4 0
^ ^
^
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1
x 1 y 1 x^2 x 1
-1 1
1
1 2 3 4 -0.
1
2
y x^2 x 1 2 2
y ^1 x 2
4.7-3 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor
del eje OX las siguientes gráficas:
a ) y x x x
b ) y x x
y x
c ) y y x x
Solución
a ) y x x x
^
^ ^ ^
^
V x dx x x dx
x x^ x
1 22 1 (^1 2 ) 1 3 5 1 1
b ) y x x
y x
