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Conocimientos básicos de Matemáticas. Bloque 2. Álgebra. Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
G G 33 ww
Bloque 2. Álgebra
Tema 4 Ecuaciones e Inecuaciones
Ejercicios resueltos
2.4-1 Resolver las siguientes ecuaciones lineales:
a ) x x x
2 2 1 1 3
b ) 2 x 5 3 x 7
c ) x x
d ) 3 x 5 x 2 8
x x e x x
x x f
Solución
a ) x x x
2 2 1 1 3
x x x x x x x x x
2 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 1 2 2
b ) 2 x 5 3 x 7
2 x 5 3 x 7 7 5 3 x 2 x 12 x
c ) x x
x x x x x x
x x x x
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d ) 3 x 5 x 2 8
3 x 5 x 2 8 3 x 5 x 10 8 2 x 2 x 1
x x e x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
2 2 3 12 4 3 6 7 14 11 4 13 14
x x x x x
x x f
x x x x x x
9 x 2 x 10 12 11 x 22 x 2
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x x x x e
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
x 3 2 x 6 x 3 x 6 4^ x^^3 10 2 x^^6 5 x^^10 3 x^6
4 x 12 20 x 60 5 x 30 x 60 24 x 48 25 x 60
x x S ,
49 0 12 12 49 12 49 49
2.4-3 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con
una incógnita:
a ) x x
x
b ) x
x
c ) x 5
d ) 2 x 6 4
e ) x 3 1
f ) x
x
Solución
a ) x x
x
x x x
x x
S
S S S
S
1
1 2 2
b ) x
x
^
x^ S
x (^) S
1 3 0
2
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S S 1 S 2 , , ,
c ) x 5 5 x 5
x
x
S
S
1
2
S S 1 S 2 5 , , 5 5 5 ,
d ) 2 x 6 4 4 2 x 6 4
^ ^
x x x
x x x
S
S
1
2
S S (^) 1 S 2 (^) 1 , , (^5) 1 5 ,
e ) x 3 1 1 x 3 1
^
x x
x x
S
S
1
2
S S (^) 1 S 2 (^) , (^4) (^) 2 , (^) 2 4 ,
^ ^ ^ ^
f ) x (^) x x y x x^ x
^ ^
x x x
x x x
(^) (^)
S
S
1
2
S S 1 S 2 , , ,
^
x x
x x
R
R
1
2
R R 1 R 2 , 3 1 , 1 3 ,
CONJUNTO SOLUCION S R , , ,
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^
^
x
x
x x x x
x
x
2
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x S S S S x x S
1 1 2 2
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x R R R R x x R
1 1 2 2
CONJUNTO SOLUCION R S 1 4 , 1 4 ,
c ) x x
2 3 2 0
x x x ,
^
^
x
x
x x x x
x
x
2
^ ^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x S S S S x x S
1 1 2 2
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x R R R R x x R
1 1 2 2
CONJUNTO SOLUCION R S 2 , (^1) 2 , (^1)
d ) x 2 x 3 0
^
^
x
x
x
x
^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x S S S S x x S
1 1 2 2
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^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
x x R R R R x x R
1 1 2 2
CONJUNTO SOLUCION R S (^) , (^3) (^) 2 ,
e ) x x
2 6 9 0
x x x DOBLE
x x x x x
2 2 6 9 3 0 3 0 3
f ) x x
2 1 0
x x x NO EXISTEN RAICES REALES
x x
2 1 tomará siempre el mismo signo, positivo o negativo.
Por ejemplo, si x = 0 0 0 1 1 0 siempre tomará signo
positivo.
CONJUNTO SOLUCION ,
g ) x x
2 2 1 0
x x x x x DOBLE
x x x NUNCA CONJUNTO SOLUCION
2 2 2 1 1 0
h ) x x
2 2 6 0
x x x NO EXISTEN RAICES REALES
x x
2 2 6 tomará siempre el mismo signo, positivo o negativo.
Por ejemplo, si x = 0 0 0 6 6 0 NUNCA tomará signo
negativo.
CONJUNTO SOLUCION
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b ) y 2 x 3
Dibujamos la rectay = 2x + 3.
De las dos regiones en que queda dividido el plano, elegimos el punto
(0, 0) que pertenece a una de ellas y lo sustituimos en la inecuación.
Como 0 < 0 + 3, todos los puntos de la región que contiene al origen
satisfacen la desigualdad dada.
Por tanto, la región solución será la que contiene al origen sin incluir a la
propia recta ya que la desigualdad es estricta.
c ) y x 1
Dibujamos la rectay =x + 1.
De las dos regiones en que queda dividido el plano, elegimos el punto
(0, 0) que pertenece a una de ellas y lo sustituimos en la inecuación.
Como 0 ≤ 0 + 1, todos los puntos de la región que contiene al origen
satisfacen la desigualdad dada.
Por tanto, la región solución será la que contiene al origen incluyendo a
la propia recta ya que la desigualdad no es estricta.
Eje y
Eje x
y 2 x 3
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d ) y 3 x 6 y x 9
Dibujamos la rectay = x + 9.
De las dos regiones en que queda dividido el plano, elegimos el punto
(0, 0) que pertenece a una de ellas y lo sustituimos en la inecuación.
Como 0 ≤ 0 + 9, ningún punto de la región que contiene al origen
satisface la desigualdad dada.
Por tanto, la región solución será la que no contiene al origen incluyendo
a la propia recta ya que la desigualdad no es estricta.
Se puede comprobar con cualquier punto que pertenezca a dicha región.
Por ejemplo, si tomamos el punto (100, 0) se tiene que:
0 ≥ – 100 + 9 = 91 se verifica la desigualdad en toda esa región.
Eje x
Eje y
y x 9
Eje y
Eje x
y x 1
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2.4-6 Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones de primer grado con
dos incógnitas:
a ) y
x
b ) y x
y x
c ) y x
y x
d ) y x
x y
y x
Solución
a ) y
x
Dibujamos por separado cada una de las dos regiones, para luego hacer
la intersección.
y 2 x 3
La región solución será la formada por los puntos que satisfacen las dos
inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los dos conjuntos
obtenidos más las dos rectas ya que las desigualdades no son estrictas.
(3, 2)
Eje x
Eje y
x 3
y 2
(3, 2)
(3, 0)
Eje x
Eje y
(, 2) x 3
(0, 2)
Eje x (^) Eje y
(, 2) y 2
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b ) y x
y x
Dibujamos por separado cada una de las dos regiones, para luego hacer
la intersección.
y x 1 y x
La región solución será la formada por los puntos que satisfacen las dos
inecuaciones a la vez, es decir, la intersección de los dos conjuntos
obtenidos, excepto las dos rectas ya que las desigualdades son estrictas.
(1/2, 1/2)
Eje x
Eje y
y x
y x 1
Eje x
Eje y
(1, 1)
(0, 0)
y x
(1, 0)
(0, 1)
Eje y
y x 1
Eje x
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d ) y x
x y
y x
y 2 x 5
x y 2
y x 6
Eje y
(6, 0)
(0, 6)
Eje x
y x 6
Eje y
(0, 0)
(2, 1)
Eje x
x
y
Eje y
(5/2, 0)
(0, 5)
Eje x
y 2 x 5
(10/3, 5/3) (^) Eje x
Eje y
y 2 x 5
y x 6
2
x y
Dibujamos por separado cada una de las tres
regiones, para luego hacer su intersección que
formará la región solución más las tres rectas ya que
las desigualdades no son estrictas.
