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NÚMEROS REALES
SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES
El sistema de los números reales es un conjunto ℝ con dos operaciones: suma
(+) y multiplicación (.), y una relación de orden " < " que se lee “menor que” y
que se satisface el siguiennte conjunto de axiomas de los números reales:
1.- 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ (Ley de clausura)
2.- 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ (Ley conmutativa)
3.- (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ (Ley asociativa)
4.- ∃! 0 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ ℝ(0 neutroaditivo)
= −𝑎 + 𝑎 = 0 ; ∀𝑎 ∈ ℝ(-a inverso aditivo)
6.- 𝑎. 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ (Ley de clausura)
7.- 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ (Ley conmutativa)
, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ (Ley asociativa)
9.- ∃! 1 ∈ ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎. 1 = 𝑎 = 1. 𝑎, ∀𝑎 ∈ ℝ (1 neutro multiplicativo)
− 1
− 1
− 1
− 1
11.- 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ (Ley distributiva)
12.- (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ (Ley distributiva)
13.- Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, entonces una y solamente una de las siguientes relaciones
se cumplen: 𝑎 < 𝑏, 𝑎 = 𝑏 ó 𝑎 > 𝑏
14.- Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 < 𝑐 (Ley transitiva)
15.- Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐, ∀𝑐 ∈ ℝ
16.- Si 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 entonces 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐
17.- Axioma del supremo (Axioma de la menor cota superior)
Todo conjunto de números reales A≠ ∅ (no vacio), acotado superiormente,
tiene una menor cota superior, llamada también supremo de A.
Axiomas de la relación de igualdad de los números reales
1.- 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ ℝ Propiedad reflexiva
2.- Si 𝑎 = 𝑏 entonces 𝑏 = 𝑎 Propiedad simétrica
3.- Si 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑏 = 𝑐 entonces 𝑎 = 𝑐 Propiedad transitiva
4.- En cualquier proposición concerniente (Principio de sustitución)
a los números reales, todo número real puede ser reemplazado por su igual sin
alterar el valor veritativo de tal proposición.
Propiedades de los números reales
1.- Principio de sustitución de la adición de los números reales
Si 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 = 𝑑 entonces 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑
2.- Principio de sustitución de la multiplicación en ℝ
Si 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 = 𝑑 entonces 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑑
3.- Corolario.- ∀𝑐 ∈ ℝ
a) Si 𝑎 = 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
b) Si 𝑎 = 𝑏 entonces 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐
Teorema.- Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, entonces 𝑎. 𝑏 = 0 ⇔ [𝑎 = 0 ∨ 𝑏 = 0 ]
Definición.- (Sustracción) ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se define
Solución.- Restamos x a ambos lados y sumamos 4 a ambos
miembros:
5 x − 4 − x + 4 = x + 12 − x + 4 4 x = 16
Y dividiendo ambos miembros entre 4 : x = 4
Ecuación que no tiene solución
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 6 x − 3 = 7 + 6 x
De donde:
6 x − 3 − 6 x + 3 = 7 + 6 x − 6 x + 3 0 = 10
es un absurdo;
Por lo tanto la ecuación no tiene solución para ningún 𝑥𝜖ℝ
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS
POLINOMIOS
Una expresión algebraica de la forma:
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
1
0
Donde 𝑛 es un entero ≥ 0 y los coeficientes 𝑎
0
1
𝑛
son números
arbitrarios, es llamado un polinomio de grado 𝑛 en la variable 𝑥 y siempre
que el coeficiente 𝑎
𝑛
llamado coeficiente principal sea diferente de cero.
Un polinomio de grado cero es cualquier número constante distinto de cero.
El número cero es el único polinomio para el cual el grado no está definido.
Teorema fundamental del álgebra.
Todo polinomio 𝑃(𝑥) de grado 𝑛 ≥ 1 tiene por lo menos una raíz, la que puede ser real o
compleja, en general.
Teorema.
Todo polinomio de grado 𝑛, con 𝑎
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
1
0
tiene
exactamente 𝑛 raíces, que pueden ser reales o complejas en general.
Dentro de estas 𝑛 raíces pueden existir algunas que se repiten, digamos 𝑘 veces; en tal
caso son contadas como si fueran 𝑘 raíces en este teorema.
Teorema.
Todo polinomio con coeficientes reales puede ser escrito como una constante real
multiplicada por un producto de factores lineales y de factores cuadráticos irreducibles,
todos ellos con coeficientes reales.
Teorema.
Todo polinomio 𝑃(𝑥) con coeficientes reales y de grado impar tiene por lo menos una raíz
real.
Teorema.
Sea 𝑎 y 𝑏 dos números racionales tales que √
𝑏 es irracional, y sea 𝑃(𝑥) un polinomio con
coeficientes racionales.
Si 𝑎 + √
𝑏 es una raíz de la ecuación 𝑃(𝑥) = 0 , entonces 𝑎 − √
𝑏 también es raíz de tal
ecuación.
Regla de los signos de descartes.
Esta regla permite determinar el número máximo de raíces positivas y de raíces negativas
de un polinomio con coeficientes reales.
𝑛
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
1
0
𝑛
Si este polinomio 𝑃(𝑥) tiene alguna raíz nula, ésta no es ni positiva ni negativa.
Si 𝑃(𝑥) no tiene término independiente, es decir 𝑎
0
= 0 , pero tiene el término de primer
grado ( ie) 𝑎 1
≠ 0 ), entonces posee una sola raíz nula.
Si 𝑎 0
= 0 y 𝑎
1
≠ 0 , pero 𝑎
2
≠ 0 , entonces 𝑃(𝑥) tiene dos raíces nulas, y así sucesivamente.
INECUACIONES CON RADICALES.
Cuando una ecuación o inecuación contiene una expresión 𝑓(𝑥)
con un radical de orden par como:
4
2 𝑛
Exigir la siguiente condición 𝑓(𝑥) ≥ 0 ; cuyo conjunto solución
constituirá el universo de 𝑈 dentro del cual se resuelve luego la
ecuación o inecuación original dada. Fundamentalmente es
necesariamente hacer cuando se trate de inecuaciones con
radicales.
Propiedades iniciales.
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
tiene el mismo signo de 𝑥
𝑛
𝑛
tiene el mismo signo de 𝑥
Teorema.- Sean 𝑎 y 𝑏 números reales, entonces
[
2
]
𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ 𝑎 ≥ 0 ∧ [𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏
2
]
Teorema.- Sean 𝑎 y 𝑏 números reales, entonces
𝑎 > 𝑏 ⇔ 𝑎 ≥ 0 ∧ [𝑏 < 0 ∨ (𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 > 𝑏
2
)]
[
2
]
Valor absoluto
Definición.- Se llama valor absoluto de un número real x al número no
negativo denotado por |𝑥| y definido por:
Teorema.- 1) ∀𝑥 ∈ ℝ: |𝑥| ≥ 0
Definición.- Si 𝑥 ∈ ℝ, entonces |𝑥| es el número real no negativo definido
por: |𝑥| = {
Teorema.- ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ:
a) |−𝑥| = |𝑥|
b) |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|
Teorema.- ∀𝑥 ∈ ℝ:
a)|𝑥|
2
2
b)|𝑥
2
2
Teorema.- ∀𝑥 ∈ ℝ: √𝑥
2
Teorema de la desigualdad triangular.- ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ,
Corolario.- ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ,
Ecuaciones con valor absoluto.-
Teorema.- |𝑥| = 𝑏 ⟺ {
𝑦 [𝑥 = 𝑏 𝑜 𝑥 = −𝑏]
Teorema.- Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ: |𝑎| = |𝑏| ⟺ [𝑎 = 𝑏 𝑜 𝑎 = −𝑏]
Inecuaciones con valor absoluto
Teorema.- Sean 𝑥, 𝑎 ∈ ℝ, entonces
1) |𝑥| ≤ 𝑎 ⟺ [(𝑎 ≥ 0 )𝑦 (−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎)]
[(
)]
Máximo entero
Definición.- Dado un número real x, se llama el máximo entero de x al
número entero denotado por
y que es el mayor de todos los enteros
que son menores o iguales al número real x.
=max{entero 𝑛 ∈ ℤ tal que 𝑛 ≤ 𝑥}
Propiedad fundamental del máximo entero
2
es llamado cota inferior de A.
- Se dice que A es acotado si es acotado superiormente e inferiormente.
Definición.- Sea 𝐴 ⊂ ℝ y 𝐴 ≠ Φ.
1)𝑠 ∈ ℝ se llama supremo de 𝐴 y se denota 𝑠 = sup (𝐴) si:
a) 𝑠 es cota superior de 𝐴, es decir 𝑎 ≤ 𝑠, ∀𝑎 ∈ 𝐴.
b)si𝑏 ∈ ℝ 𝑦 𝑏 < 𝑠 ⇒ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏 < 𝑥 ≤ 𝑠
2)𝑟 ∈ ℝ se llama ínfimo de 𝐴 y se denota 𝑟 = inf (𝐴) si:
a) 𝑟 es cota inferior de 𝐴, es decir 𝑟 ≤ 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐴
b)si𝑐 ∈ ℝ y 𝑟 < 𝑐 ⇒ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑟 ≤ 𝑥 < 𝑐
Sí el supremo o el ínfimo de un conjunto 𝐴 pertenecen al conjunto
Son llamados el máximo o el mínimo de 𝐴, respectivamente y se
Denotan como máx(𝐴) o mín(𝐴 ) respectivamente.
Axioma del supremo.
Todo conjunto no vacio acotado superiormente, posee supremo.
Proposición.- Sí 𝐴 ⊂ ℝ 𝑦 𝐴 ≠ Φ y si 𝐴 es acotado inferiormente, entonces posee
ínfimo.
Proposición.- Principio de buen orden.
Todo conjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente posee ínfimo.
Resolver las siguientes ecuaciones
1
3
7
2
1
5
14
3
1 − 3 𝑥
7
2 𝑥− 1
3
2
2
2
2
3
3
2
8 𝑥− 5
2 𝑥+ 5
3 𝑥+ 7
3 𝑥+ 2
6
𝑥+ 2
𝑥+ 2
2 −𝑥
𝑥
2
4 −𝑥
2
𝑥+𝑎
𝑏
𝑥−𝑏
𝑎
Hallar el cociente y el residuo de las siguientes divisiones
3
2
− 5 𝑥 − 2 entre 𝑥 − 2
3
2
3
2
− 2 𝑥 + 3 entre 2 𝑥 − 1
4
3
2
− 3 𝑦 − 5 entre 𝑦 + 2 p
3
2
4
3
2
− 2 𝑥 − 2 entre 𝑥 + √ 2
4
3
2
− 9 𝑥 − 7 entre 𝑥 − √ 3
3
2
2
3
entre 𝑤 + 3 𝑎
Resolver las siguientes inecuaciones.
2
2
Demostrar que:
x
x
x
x
x − 1 2 0 2 x − 3 5
x
x
x −5, 4 3 x − 5 20
x − 3 1 6 x + 4 8
x
x
0 x − 1 5 x − 1 5,
pero no
la recíproca.
x
x
x
x
0 x − 3 1 x − 3 1
x
x
Si
A = x / x − 4 4 , B = x /1 x − 3 12
hallar A B
Si
A = x / 2 x − 6 12. Hallar
− A.
Si
A = x / 2 x + 3 3 , B = x / 2 − x − 2 0
hallar B − A.
Sea
x
e y
. Si
2 2
x + y = 1
demostrar que:
x + y 2
Hallar los conjuntos solución de
(resolver) las inecuaciones
siguientes:
2
x − x − 2
2
x − 4 − 2 x + 4
x 2
x
x 6
x
2
4 2 2
x − 10 x + 8 x
2
( x + 3) − 5 x + 3 + 6 0
2 2
3 − x − 6 ( x − 4 x + 3) 0
x + 6 x + 9 + x − 2
4 x + 2 x − 1 + 3 x + 1
2 2
2 x − x − 1 x + x
2 2
− 1 x − x − 1 x + x
2
x − 1 2
2
x − 4 − 2 x + 4
Hallar el menor de los números
M
tales que:
x
M
x
, si
x 2, 5
Resolver las siguientes
inecuaciones (hallando sus
conjuntos solución):
3 2 3 2
3 x − 2 x − 7 x − 2 x + 6 x − 9 x − 14
2 2
10 − 3 x + x x + x − 6
x − 6 − x − 3 x − 1
2
( x − 1 + x − 2 )(1 − x − x − 2 ) x − 6
2 2
2 x + x − 1 2 x − x − 1
3 𝑥+ 2
𝑥− 1
13
3
2
2
2
√ 4 −|𝑥|
⟦𝑥
2
− 2 𝑥− 7 ⟧
1
2 𝑥
𝑥− 1
𝑥
𝑥
⟦𝑥⟧
𝑥
⟦ 𝑥
⟧
𝑥
⟦𝑥⟧
√
𝑥
2 −𝑥
𝑥
2
−⟦𝑥⟧|𝑥|−
3
4
2
⟦ −𝑥
⟧ − 2
6 −
⟦ 𝑥
⟧
|𝑥|− 1
⟦𝑥⟧− 1
(
⟦ 𝑥
⟧ − 2 )(√
| 𝑥
| − 1 − 1 )(√ 3 −𝑥+ 1 )
|√𝑥− 2 |
Sin resolver las ecuaciones explicar porqué no tienen raíces
x − 1 + x − 2 = 0 2.-
4 − x + x − 4 = 5 3.-
2
x + 4 + x − 1 = − 2
4.- x + x − 6 = 2 5.-
3 2
x − 3 + 1 − x = x + x + 2
Determinar el dominio o universo para las incógnitas de las ecuaciones.
x − 2 = 3 2.-
x + 1 − x − 4 = 5
x + 1 + 4 − x = 4 4.-
2 x − 6 − x + 1 = 2
Resolver:
2
x − 4 = 5 2.-
x + 4 − x − 4 = 0 3.-
5 x + 1 = 2 x + 10
1
5
(25 + x − 4) = 2 5.-
1 1
2
3 3
(3 x + 8) = ( x −2)
En el caso que existan, determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de los siguientes
conjuntos.
2
1
1 −𝑥
2
2
2
