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Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
Transformada de Laplace
Definición:
Suponga que 𝑓(𝑡) está definida en un intervalo 0 ≤ 𝑡 < ∞.
La transformación de 𝑓(𝑡) de Laplace se expresa y define
como
−֎֏
Ј
[ 1 ]
La transformada definida en la ecuación anterior es un
caso particular de transformadas integrales :
ս
ռ
En el cual 𝐾(𝑠, 𝑡) se denomina núcleo o kernel de la
transformación. Para Laplace 𝐾(𝑠, 𝑡) = 𝑒
−֎֏
No todas las funciones tienen transformada de Laplace.
A continuación, se enumeran las condiciones que
garantizan la existencia de 𝐹 (
, es decir que garantizan la
convergencia de la integral impropia dada en [1]:
- Que la función 𝑓(𝑡) sea de orden exponencial , es
decir, que existan constantes 𝛼, 𝑀 y 𝑡
Ј
tales que
−ᆿ֏
- La función 𝑓(𝑡) es al menos continua por intervalos
en el intervalo abierto 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 con la posible
excepción, como máximo de un número finito de
puntos 𝑡
φ
ϵ
։
y además en esos puntos de
discontinuidad existen los límites a la derecha y a la
izquierda de 𝑓(𝑡), en otras palabras:
lim
֏→֏
Տ
−
lim
֏→֏
Տ
Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
Figura 1. Función continúa a intervalos.
A continuación, se mostrarán algunos ejemplos de como
opera la transformada de Laplace mediante la definición [1].
No obstante, para fines prácticos en la mayor parte de las
aplicaciones se suele usar una resolución basada en
observación de fórmulas, en virtud de esto, la mayor parte
de los ejercicios mostrados en esta unidad se resolverán
mediante aplicación de fórmulas.
Ejercicio 1. Encuentre la transformada de Laplace de
Solución: Empleando la definición [1] se obtiene
Teorema 1: Si 𝑓(𝑡) es continua por intervalos en un intervalo finito cerrado 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, con 𝑏 > 0 y
si 𝑓(𝑡) es de orden exponencial 𝛼, entonces la transformación de Laplace para 𝑓(𝑡) existe para
𝑠 > 𝛼
Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
Algunas de ellas requieren de tópicos que normalmente no
se enseñan en ingeniería:
Integrales gaussianas.
Derivación bajo el signo integral.
Integración en complejos.
No obstante, a pesar de los comentarios anteriores, una
cantidad enorme de problemas en ingeniería y física se
pueden resolver sin tener idea de lo antes descrito, ya que
muchas de las fórmulas que requerimos están ya
deducidas. Es por ello que usaremos este mismo espíritu
pragmático para resolver problemas.
Linealidad de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace al depender de una integral,
hereda las propiedades de linealidad de la misma, es decir,
ℒ{𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)} = 𝛼ℒ{𝑓(𝑡)} + 𝛽ℒ{𝑔(𝑡)} [ 2 ]
Ejercicio 3. Obtenga la transformada de Laplace de
ϯ
ϵ
Solución: Ya que la transformada de Laplace es lineal,
podemos realizar lo siguiente,
ϯ
ϵ
ϯ
ϵ
ϯ
ϵ
ϯ+φ
ϵ+φ
φ+φ
Κ
ϯ
ϵ
Ejercicio 4. Obtenga la transformada de Laplace de
𝑓(𝑡) = cos 3𝑡 + sinh 2𝑡 + 𝑒
Θ֏
−ϵ֏
Solución: Obtenemos la transformada de Laplace de la
siguiente forma
Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
ℒ{cos 3𝑡 + sinh 2𝑡 + 𝑒
Θ֏
−ϵ֏
} = ℒ{cos 3𝑡} + ℒ{sinh 2𝑡} + ℒ{𝑒
Θ֏
−ϵ֏
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
Primer teorema de traslación
Sea la transformada de Laplace de 𝑓(𝑡) conocida, es decir,
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹 (𝑠), entonces si se desea conocer la
transformada ℒ{𝑒
ռ֏
𝑓(𝑡)} basta con trasladar la
transformada origina 𝑎 unidades en el eje 𝑠 como puede
apreciarse en la figura 2.
Figura 2. Traslación de la función 𝐹 (𝑠) 𝑎 unidades a la derecha.
Lo anterior se sintetiza en el siguiente teorema
Teorema 2. Primer teorema de traslación
Si ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠), entonces para cualquier constante 𝑎
ℒ{𝑒
௧
𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠)
௦→௦ି
= 𝐹(𝑠 − 𝑎)
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Transformada de Laplace de una derivada
Ejercicio 7. Obtenga la transformada de Laplace de
𝑡 sin( 2 𝑡)
ց(֏)
Solución: Antes de aplicar el teorema 3, obtenemos la
siguiente transformada de Laplace,
ℒ{sin( 2 𝑡)} =
ϵ
Posteriormente, mediante el teorema 3 obtenemos la
transformada solicitada:
ℒ{𝑡 sin( 2 𝑡)} = (−1)
φ
φ
φ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
Ejercicio 8. Encuentre la transformada de Laplace de
ϯ
−Κ֏
ց(֏)
Solución: Para encontrar la transformada solicitada
debemos calcular a priori lo siguiente,
−Κ֏
Posteriormente, aplicamos el teorema 3 de la siguiente
manera:
Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
ϯ
−Κ֏
ϯ
ϯ
ϯ
ϯ
ϯ
Κ
Κ
Nota: También es posible calcular con el primer teorema de
traslación:
ϯ
−Κ֏
−Κ֏
ϯ
Κ
֎→֎−(−Κ)
Κ
Transformada de Laplace de una derivada
El teorema anterior nos permite resolver ecuaciones
diferenciales que en principio están en la variable 𝒕, y que
al someterse al operador de Laplace 𝓛{ }, nos permitirá
movernos en el dominio de la variable 𝒔. Una vez resuelto
el problema para 𝑭 (𝒔), mediante la antitransformada de
Laplace 𝓛
−غ
{ } obtenemos la solución al problema
original. El esquema de dicho procedimiento se aprecia en
la figura 3
Teorema 4. Transformada de una derivada
Si 𝑓,𝑓
ᇱ
, … , 𝑓
(ିଵ )
son continuasen [ 0 , ∞) y son de orden exponencial y si 𝑓
()
(𝑡) es continua por
tramos en [0, ∞),
ℒ൛𝑓
(
)
( 𝑡
) ൟ = ℒ ൜
𝑑
𝑓
𝑑𝑡
ൠ = 𝑠
∙ 𝐹
( 𝑠
) − 𝑠
ିଵ
𝑓
( 0
) − 𝑠
ିଶ
𝑓
ᇱ
( 0
) − ⋯ − 𝑠 𝑓
( ିଶ
)
( 0
) − 𝑓
( ିଵ
)
(0)
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[𝑠
ϵ
𝑌 (𝑠) − 2𝑠 − 2] + 4 ⋅ 𝑌 (𝑠) = 0
Factorizamos 𝑌 (𝑠)
𝑌 (𝑠)[𝑠
ϵ
+ 4] − 2𝑠 − 2 = 0
)[
ϵ
]
Posteriormente despejamos de la siguiente manera,
ϵ
Para obtener la solución general se debe antitransformar el
resultado anterior, es decir,
−φ
−φ
ϵ
De lo anterior
−φ
ϵ
−φ
ϵ
Aplicando antitransformada de Laplace (comparando
términos en el formulario)
= 2 cos (
Ejercicio 10. Resuelve la siguiente ecuación diferencial
mediante transformada de Laplace,
ϵ
ϵ
( 0 ) = 5 [10.1]
Solución: Se aplica la transformada de Laplace a ambos
miembros de la ecuación,
ϵ
ϵ
[𝑠
ϵ
( 0 )] − 3[𝑠𝑌 (𝑠) − 𝑦( 0 )] + 4𝑌 (𝑠) = 0
[𝑠
ϵ
𝑌 (𝑠) − 𝑠 − 5] − 3[𝑠𝑌 (𝑠) − 1] + 4𝑌 (𝑠) = 0
Factorizamos 𝑌 (𝑠),
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𝑌 (𝑠)[𝑠
ϵ
− 3𝑠 + 4] − 𝑠 − 5 + 3 = 0
𝑌 (𝑠)[𝑠
ϵ
− 3𝑠 + 4] − 𝑠 − 2 = 0
𝑌 (𝑠)[𝑠
ϵ
− 3𝑠 + 4] = 𝑠 + 2
Despejamos 𝑌 (𝑠)
ϵ
[10.2]
La anterior expresión no tiene directamente
antitransformada de Laplace, sin embargo, mediante un
proceso algebraico podemos “forzar” a quedar escrita de
una manera apropiada para llevar a cabo dicho paso. En
virtud de lo antes mencionado, se completa el cuadrado
del denominador en [10.2].
Nota: Para completar un trinomio cuadrado perfecto,
rememoremos la fórmula del binomio al cuadrado:
ϵ
ϵ
ϵ
Es a partir de ella que podemos completar el trinomio
cuadrado perfecto para una expresión del tipo
ϵ
Si comparamos ambas expresiones
ϵ
ϵ
ϵ
De la anterior correspondencia
ϵ
ϵ
Por lo tanto en el polinomio cuadrático agregamos
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
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−φ
−φ
ϵ
−φ
ϵ
ϯ
ϵ
֏
cos ভ
ϯ
ϵ
֏
sin ভ
Funciones especiales: Función escalón
unitario, función rampa, función delta de
Dirac.
1.-Función escalón unitario. En ingeniería, especialmente
el área de control, se tiene interés especial en “activar” o
“desactivar” ciertas señales (funciones) que nos permitan
modelar un proceso. Es conveniente, por lo tanto, tener un
función que asemeje a un “interruptor”. Esta función se
denomina escalón unitario o función de Heavisade.
[ 3 ]
La anterior función se puede apreciar gráficamente a
continuación:
Figura 4. Gráfica de la función escalón unitario 𝒰(𝑡 − 𝑎)
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Ejercicio 11. Escriba la siguiente función definida a trozos
empleando funciones escalón unitario.
Solución: La gráfica de la función a trozos es la siguiente
La función anterior puede reescribirse en términos de
escalón unitario de la siguiente forma,
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ϵ
ϵ
ϵ
ϵ
Ecuaciones Diferenciales Grupo 24
sin (
= sin(𝑡) − sin(𝑡) 𝒰 ঁ 𝑡 −
sin (
sin(𝑡) − sin(𝑡) 𝒰(𝑡 − 2) +
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Figura 6. Rectada determinada por sus puntos (𝑥
φ
, 𝑦
φ
) y (𝑥
ϵ
, 𝑦
ϵ
)
Ejercicio 14. Escriba la siguiente función definida a trozos
empleando funciones rampa.
Solución:
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Ejercicio 15. Escriba la siguiente función definida a trozos
empleando funciones rampa.
Solución:
𝑓 (𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑟(𝑡 − 2) + 3𝑟(𝑡 − 4) − 3𝑟(𝑡 − 6) − 𝑟(𝑡 − 6)
- 𝑟(𝑡 − 8) − 𝑟(𝑡 − 10) + 𝑟(𝑡 − 12) + 2𝑟(𝑡 − 12)
3.-Función delta de Dirac. Los sistemas mecánicos suelen
ser afectados por una fuerza externa de gran magnitud que
actúa sólo por un periodo muy corto de tiempo, por ejemplo,
el impacto de un bate de béisbol sobre una pelota; o el corte
de un cuchillo sobre una superficie, en la que él área de
contacto de éste es muy pequeña. La función que nos
concede la virtud de expresar matemáticamente dichos
fenómenos se denomina función delta de Dirac, pero para
definirla debemos valernos previamente de la definición de
impulso unitario:
ռ
Ј
Ј
Ј
Ј
Ј
[ 5 ]
Con 𝑎 > 0, 𝑡
Ј
- La gráfica de susodicha función se
muestra en la figura siguiente.
