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UTN-FACUTAD REGIONAL RECONQUISTA
ANALISIS MATEMATICO II
UNIDAD 2
Derivadas parciales
Sea f una función de dos variables, z = f(x, y) y un punto P. Si dejamos variar solo a x, manteniendo y constante tendremos una función de una sola variable
Si g tiene una derivada en , entonces la llamamos derivada parcial de f con respecto a x en y lo escribimos así:
Por lo tanto tendremos:
De igual manera tendremos la llamamos derivada parcial de f con respecto a en y lo obtenemos dejando variar solo a manteniendo constante, tendremos así una función de una sola variable:
Si f es una función de dos variables sus derivadas parciales con respecto a x , y a y son las funciones definidas
La derivada parcial de primer orden de la función z = f(x, y) con respecto a x se define como:
La derivada parcial de primer orden de la función z = f(x, y) con respecto a y se define como:
Siempre que los límites anteriores existan
Notaciones para derivadas parciales Para hacer referencia a la derivada parcial de la función z = f (x, y) con respecto a la variable x e y se suelen utilizar con mayor frecuencia las siguientes notaciones:
Regla para calcular las deivadas parciales de z=f(x, y) Para calcular , mantener y constante y derivar f (x, y) con respecto a x. Para calcular , mantener x constante y derivar f (x, y) con respecto a y.
Ejemplo 1 Sea
Calcular:
Mantenemos y constante y derivamos respecto a x:
=
Mantenemos x constante y derivamos respecto a y
Interpretación geométrica Recordemos que la grafica de una función de dos variables z = f (x, y), representa una superficie La interpretación geométrica de la derivada parcial de una función de dos variables es semejante a la de una función de una variable. Si se considera a y constante; la ecuación de la superficie z=f ( es una curva que representa la ecuación de una traza de S en el Plano yo. Ya que la curva es la intersección del
Ejemplo 2 Calcular en el punto (-2,2) la pendiente de la recta tangente a la curva determinada por la función f( x, y )= a) sobre el plano y= b) sobre el plano x=−
a)Si cortamos la superficie con el plano y=2 tenemos la parabola f(x; y) = La pendiente de la recta tangente a esta curva esta dada por la derivada parcial de la funcion f con respecto a x.
b) Si intersecamos la superficie con el plano x=-2 tenemos la recta f(x; y) =4y La pendiente de esta recta esta dada por la derivada parcial de la funcion f con respecto a y.
Razón de Cambio Las derivadas parciales de funciones de varias variables se pueden interpretar físicamente como razones de cambio, variaciones instantáneas o coeficientes de variación de la misma manera que la derivada de una función de una variable.
Representa la razón de cambio de z con respecto a x, cuando y permanece fija.
De manera semejante, esta derivada parcial representa la razón de cambio de z con respecto
a y, cuando x permanece fija
Ejemplo 3 La temperatura en un punto de una placa de acero viene dada en grados centígrados y depende de las coordenadas de cada punto: T =500 0. Vamos a calcular la razón de cambio de la temperatura o variación instantánea con respecto a la distancia medida en centímetros al movernos sobre la placa en las direcciones de los ejes e desde el punto (2, 1).
=-3y
Este resultado pone de manifiesto que un aumento repentino de la variable x desde el punto de coordenadas (2, 1) representará un descenso de la temperatura. Físicamente se puede afirmar que la variación instantánea de la temperatura con respecto a x en (2, 1) es -2.4 grados/cm. De igual manera podemos interpretar la variación de la temperatura con respecto a y.
IMPORTANTE:
- Una función de dos variables puede ser continua en un punto y no ser derivable parcialmente en él.
- La existencia de derivadas parciales para las funciones de varias variables no implica la continuidad de la función en el punto.
Derivadas parciales de orden superior
Si f es una función de dos variables entonces sus derivadas parciales y son también
funciones de dos variables, de manera tal que se pueden volver a derivar, obteniendo así las derivadas parciales de segundo orden
Observamos que
Esto no es una coincidencia, resulta que las derivadas parciales mixtas y , son iguales para
la mayoría de las funciones que se encuentran en la práctica. El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales se puede sostener la igualdad mencionada
Teorema de Clairaut (o lema de Schwartz)
Sea f una función de dos variables x e y. Si , , y son continuas en una región
abierta R, entonces en R.
Aplicación : Ecuaciones diferenciales parciales Las derivadas parciales (primeras y segundas) juegan un rol importante en Física, por ejemplo, donde a partir del planteo de una situación se llega a una relación entre distintas derivadas parciales de una función desconocida. Entonces se trata de averiguar cuál (o cuáles) funciones satisfacen dicha ecuación diferencial a derivadas parciales. No estudiaremos aquí las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales parciales pero sí, a modo de práctica, comprobaremos que una función dada y sus derivadas parciales verifican cierta ecuación diferencial. A modo de ejemplo mencionamos las siguientes ecuaciones diferenciales parciales
La ecuación de onda:
Describe el movimiento de una onda, que puede ser la de una onda del mar, una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante.
Ecuación de Laplace:
Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel importante en los problemas de la conducción de calor, el flujo de fluidos y el potencial eléctrico.
Plano Tangente y Diferenciales
Suponemos que f (x, y) es una función, cuyas primeras derivadas parciales son continuas y su grafica la superficie S, dada por z = f (x, y), admite plano tangente en un punto ). Analizaremos cómo debe ser la ecuación de dicho plano pensando en que queremos que sea una “buena” aproximación de f cerca de ( ). Para esto, recordemos que un plano (no vertical) tiene una ecuación de la forma:
Ahora bien, un plano que es tangente a S en un punto P, deberá contener a las rectas tangentes en P a cada una de las curvas que están en S y pasan por P. En particular, las trazas y para y en S, respectivamente, son curvas que están en S y pasan por P; además, la recta que es tangente a cada una de estas curvas en P tiene como pendiente una derivada parcial de f. Por lo tanto, el plano tangente deberá contener a estas rectas tangentes, o sea que en la ecuación propuesta para el plano tangente debe ser = ( ) y = ( ). La constante “ a” se determina fácilmente teniendo en cuenta que el plano debe pasar por P, o sea que se debe satisfacer que f ( )=. Así, si hay plano tangente a la gráfica de f en P, obtenemos la siguiente ecuación del plano:
Luego de las consideraciones realizadas reemplazamos en (1) el valor de a , y
a= f ( ) - = ( ) = ( ).
f ( )- ( + ( ) + ( )
Sacando factor común: ( ) y ( ).
z = f ( ) + ( )(x - ) + ( )(y - ).
Plano Tangente Definición: Una ecuación del plano tangente a la superficie z = f (x, y), en el punto ) es = ( )(x - ) + ( )(y - ). (2)
Ejemplo 1 Halle la ecuación del plano tangente a la superficie , en el punto (2, 1, 20)
Definición
= + = (3 )
Interpretación geométrica de la diferencial: Si tomamos: x = x - y = y -
Si comparamos la ecuación del plano tangente a la superficie z= f(x; y) en el punto ) (2) Con la expresión de la , (3 ) vemos que es la variación de la altura del plano tangente al pasar del punto ( ) al punto ( + x, + y).
Ambas interpretaciones geométricas, la de y las podemos observar en el siguiente gráfico.
Funciones diferenciables Dada una función f (x, y), si el incremento de f en el punto ( ), puede escribirse como:
- donde y son funciones de y tales que y , cuando ( ; ) ,entonces f(x; y) es diferenciable en ).
Observación: Es decir, que una función es diferenciable en , si la diferencial total es una buena aproximación al incremento total. En otras palabras, la función lineal
z = f ( ) + fx ( )(x - ) + fy ( )(y - ) es una buena aproximación de la función cerca de ) En otras palabras para valores de y muy pequeños podemos usar la aproximación
Lo mismo que para funciones de una variable, para funciones de dos variables diferenciabilidad implica continuidad
Teorema: Si una función de dos variables f(x; y) es diferenciable en ) entonces es continua en dicho punto.
Observación: Es importante resaltar que no alcanza con que existan las derivadas parciales y , en el punto para que f sea diferenciable. El concepto de diferenciabilidad es “más fuerte” que el de derivabilidad. Dicho de otra forma, la existencia de derivadas parciales es una condición necesaria (pero no suficiente) para que una función sea diferenciable.
Teorema: condición suficiente de diferenciabilidad Si la función z = f (x, y) y las dos derivadas parciales primeras son continuas en un entorno del punto ( ) entonces la función es diferenciable en dicho punto.
Ejemplo 2 Al medir las dimensiones del radio de la base r y la altura h de un cono circular recto, se obtuvieron los siguientes valores: r=14cm y h=21cm. Sabiendo que dichas medidas están sujetas a errores máximos de 0,1 cm y 0,15 cm, respectivamente, obtén una estimación del error máximo en que se puede incurrir al calcular el volumen del cono utilizando dichas medidas.
El volumen de este cono es: V=
Reemplazando los valores tenemos V= =
El error máximo en que se puede incurrir en el cálculo del volumen lo podemos hallar en forma aproximada utilizando la diferencial. Aplicamos lo visto anteriormente
Ejemplo 2
Hallar: y
senv =
= + ]
Derivación parcial Implícita
Caso 1 Si F(x; y)=0 define implícitamente a y como una función derivable de x , es decir y=f(x) donde F(x; f(x))=0 para todas las x en el dominio de x. Si F es diferenciable podemos aplicar el caso 1 de la
regla de la cadena para diferenciar ambos miembros de la ecuación con respecto a x , y obtener
Despejando tenemos:
=- si
Ejemplo 3
Hallar
Caso 2 Supongamos ahora que F(x;y;z)=0 define implicitamente a z=f(x; y) como una funcion de x e y , donde F(x; y; f(x; y))=0 para todo (x; y) del dominio de f.Si F es diferenciable y existen y
entoncespodemos usar la regla de la cadena para diferenciar la ecuacion F(x;y;z)=0 y obtener las
derivadas parciales y
Como estamos derivando con respecto a x : = 1 entonces tenemos
Despejando tenemos
= =- si
De igual manera
Como estamos derivando con respecto a y tenemos
Despejando tenemos
= =- si
Definición Sea f un función de dos variables x e y, y sea u=(a; b) un vector unitario, se define la derivada direccional de f en el punto ( ), en la dirección de u como el valor del siguiente límite en el caso de que este exista
Interpretación geométrica : La derivada direccional es la pendiente de la recta tangente a la curva C intersección de la superficie S con el plano vertical que contiene a la dirección dada, y representa la tasa o razón de cambio instantáneo de la función en la dirección del vector.
Observaciones a) Es posible que exista la derivada parcial de en P según una dirección y que no exista en otra. b) Las derivadas parciales son casos particulares de las direccionales; concretamente para las direcciones (1,0) y (0,1) respectivamente.
Calculo de la derivada direccional Vamos a buscar ahora una fórmula que nos permita hallar las derivadas direccionales de una manera más sencilla que la que resulta de aplicar la definición vista.
Teorema Si es una función de dos variables entonces tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario igual a
Demostración Definimos una función g de una sola variable h de la siguiente manera
Entonces por la forma alternativa de la definición de derivada para funciones de una variable
Por otro lado podemos expresar , donde y Hallamos la derivada de g respecto de h aplicando la regla de la cadena
Si hacemos h=0 entonces
Al comparar las expresiones 1 y 2 vemos que
Si el vector unitario forma un ángulo con el eje positivo x entonces podemos escribir por lo que la fórmula del teorema anterior se convierte en
Derivadas direccionales de funciones de tres variables Si la función es de tres variables w=f(x, y, z) la derivada direccional se define y se calcula de igual manera que para las funciones de dos variables.
Definición La derivada direccional para una función de tres variables en un punto en la dirección de un vector unitario u (a; b; c) se define como el valor del siguiente límite en el caso de que este exista:
Teorema Si es una función de tres variables entonces tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario igual a
Ejemplo 1 Calcular la derivada de f(x, y) = + en el punto P = (1,-1) y en la dirección v = (3,4)
v = (3; 4) = 5
Teorema Sea f una función de dos o tres variables. El valor máximo de la derivada direccional, se presenta cuando el vector u tiene la misma dirección que el vector gradiente de f y es igual
Por definición de producto escalar: = Para que el valor de la derivada direccional sea máximo el valor del coseno debe ser 1, en este caso , para que esto ocurra debe ser .En consecuencia = Esto ocurre cuando y tienen la misma dirección.
Ejemplo 3 La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por
Midiendo x e y en centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura más rápidamente? ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?
El valor máximo de la derivada direccional se presenta en la dirección del vector gradiente
= =17,09º/cm
La solución que se presenta en el ejemplo puede resultar engañosa. A pesar de que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el punto (2, - 3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más rápido crecimiento puede cambiar.
Ejemplo 4 Un rastreador térmico se encuentra en el punto (2;-3) de una placa metálica cuya temperatura en (x; y) es T(x; y)=20- Hallar su trayectoria conforme se va moviendo en la dirección de máximo crecimiento de la función.
Representamos su trayectoria mediante la función:
Un vector tangente en cada punto viene dado por:
Como el rastreador busca el máximo crecimiento de temperatura, las direcciones de y deben ser las mismas en todo punto de la trayectoria =
Por lo tanto: Entonces
-8x =k
Multiplicando ambos miembros de las dos igualdades por dt y teniendo en cuenta el concepto e diferencial de una función de una sola variable tenemos
Despejando k/dt en ambas ecuaciones e igualando los resultados obtenemos
Integrando ambos miembros:
Trabajamos algebraicamente:
Por propiedades del logaritmo
= por lo que podemos escribir
Para eliminar la constante, utilizamos las condiciones iniciales , sabemos que el rastreador sale del punto (2;-3) entonces tenemos
Por lo tanto la trayectoria es
