Ejercicios de Probabilidad para Ingeniería de Sistemas Audiovisuales, Apuntes de Probabilidad

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Bernardo D’Auria

Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid

GRUPO MAGISTRAL

GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS AUDIOVISUALES

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Ejercicio

Se tiran dos dados, uno detrás de otro y se recogen las puntuaciones. Escribe el espacio muestral Escribe los elementos que constituyen estos sucesos: A = la suma de los dos valores es por lo menos 5 , B = el valor del primer dado es mayor que el segundo, C = el valor del primer dado es 4. Escribe los elementos que constituyen estos sucesos A ∩ C , B ∪ C , A ∩ ( B ∪ C ).

Ejercicio - Ing. Técnica Teleco Junio 2007 - C1a

Tres máquinas A , B y C producen respectivamente en un día 60 , 30 y 10 piezas iguales. Las probabilidades de producir piezas defectuosas para cada máquina son 0. 10 , 0. 20 y 0. 40 respectivamente. La producción es mezclada al final del día, y de ella se saca al azar una pieza que resulta correcta.

¿Cuál es la probabilidad de que dicha pieza haya sido producida por la primera máquina?

Solución

Definimos los sucesos: c = “La pieza es correcta” d = “La pieza es defectuosa” En términos de probabilidad lo que se nos pide es calcular Pr( A | c ), por tanto, del teorema de Bayes se tiene que:

Pr{ A | c } =

Pr{ A ∩ c } Pr{ c } De los datos del enunciado se deduce que: Pr{ c | A } = 1 − Pr{ d | A } = 1 − 0. 10 = 0. 90 y que Pr{ A } = 60 / 100 = 0. 60. Por tanto, nos resta obtener Pr{ c } para ello utilizamos el teorema de la probabilidad total con respecto al suceso c : Pr{ c } = Pr{ c | A } Pr{ A } + Pr{ c | B } Pr{ B } + Pr{ c | C } Pr{ C } = ( 0. 9 × 0 , 6 ) + ( 0. 8 × 0. 3 ) + ( 0. 6 × 0. 1 ) = 84 % Se concluye entonces que: Pr{ A | c } =

0. 9 × 0. 6

Solución a) y b)

a ) Demuestra que Pr{ L 2 } = 0. 42 y calcula Pr{ L 3 } Por el Teorema de la Probabilidad Total:

Pr{ L 2 } = Pr{ L 2 | L 1 } Pr{ L 1 } + Pr{ L 2 | S 1 } Pr{ S 1 } = 0. 6 × 0. 1 + 0. 4 × 0. 9 = 42 % Pr{ L 3 } = Pr{ L 3 | L 2 } Pr{ L 2 } + Pr{ L 3 | S 2 } Pr{ S 2 } = 0. 6 × 0. 42 + 0. 4 × ( 1 − 0. 42 ) = 48. 4 %

b ) Calcula la probabilidad de que haya llovido el primer día si sabemos que llovió el segundo día.

Pr{ L 1 | L 2 } =

Pr{ L 2 | L 1 } Pr{ L 1 } Pr{ L 2 }

0. 6 × 0. 1

Solución c)

c ) Calcula Pr{ S 4 ∩ L 3 ∩ S 2 ∩ L 1 }

Pr{ S 4 ∩ L 3 ∩ S 2 ∩ L 1 } = Pr{ S 4 | L 3 ∩ S 2 ∩ L 1 } Pr{ L 3 ∩ S 2 ∩ L 1 } = Pr{ S 4 | L 3 } Pr{ L 3 ∩ S 2 ∩ L 1 } = Pr{ S 4 | L 3 } Pr{ L 3 | S 2 ∩ L 1 } Pr{ S 2 ∩ L 1 } = Pr{ S 4 | L 3 } Pr{ L 3 | S 2 } Pr{ S 2 ∩ L 1 } = Pr{ S 4 | L 3 } Pr{ L 3 | S 2 } Pr{ S 2 | L 1 } Pr{ L 1 } = 0. 4 × 0. 4 × 0. 4 × 0. 1 = 0. 64 %

Solución 1 / 2

Seleccion de la urna: como hay 2 urnas y se toma al azar :

Pr{ U 1 } = Pr{ U 2 } = 0. 5

El suceso está compuesto por la ocurrencia conjunta de 10 sucesos independientes, ya que el resultado de una extracción con reemplazamiento no modifica las probabilidades de las siguientes. Como Pr{ b | U 1 } = 0. 7 y Pr{ n | U 1 } = 0. 3 se verifica

Pr{ B | U 1 } = Pr{ bnbbbbnbbb | U 1 } = Pr{ b | U 1 } · Pr{ n | U 1 } · Pr{ b | U 1 } · · · Pr{ b | U 1 } = (Pr{ b | U 1 })^8 (Pr{ n | U 1 })^2 = 0. 78 × 0. 32

Solución 2 / 2

De la misma manera,

Pr{ B | U 2 } = 0. 38 × 0. 72

La probabilidad buscada es Pr{ U 1 | B }.

Aplicando el Teorema de Bayes :

Pr{ U 1 | B } =

Pr{ B | U 1 } Pr{ U 1 } Pr{ B | U 1 } Pr{ U 1 } + Pr{ B | U 2 } Pr{ U 2 }

=

0. 78 × 0. 32 × 0. 5

0. 78 × 0. 32 × 0. 5 + 0. 38 × 0. 72 × 0. 5

Solución

Denotamos por F 1234 = “la red funciona” F 123 = “la subred formada por los componentes 1 , 2 y 3 funciona” F 12 = “la subred formada por los componentes 1 y 2 funciona” Fi = “la subred formada por el sólo componente i funciona”

Pr{ F 12 } = Pr{ F 1 ∩ F 2 } ind = Pr{ F 1 } Pr{ F 2 } = 0. 9 × 0. 8 = 0. 72 Pr{ F 123 } = Pr{ F 12 ∪ F 3 } = Pr{ F 12 } + Pr{ F 3 } − Pr{ F 12 ∩ F 3 } ind = Pr{ F 12 } + Pr{ F 3 } − Pr{ F 12 } Pr{ F 3 } = 0. 72 + 0. 75 − 0. 72 × 0. 75 = 0. 93

Pr{ F 1234 } = Pr{ F 123 ∩ F 4 } ind = Pr{ F 123 } Pr{ F 4 } = 0. 93 × 0. 85 = 0. 7905 y al final Pr{ F 1234 } = 1 − Pr{ F 1234 } = 20. 95 %