Resolución de la ecuación de Laplace
Este documento presenta la solución a la ecuación de Laplace en dos dimensiones con
condiciones de contorno dadas. La ecuación de Laplace es:
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0
Condiciones de contorno:
u(x, 0) = 0
u(x, ) = e^(-x)π
1. Suposición de separación de variables:
Supongamos que la solución tiene la forma:
u(x, y) = X(x)Y(y)
2. Sustituyendo en la ecuación de Laplace:
X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0
Dividimos por X(x)Y(y):
X''(x)/X(x) + Y''(y)/Y(y) = 0
Esto implica que cada término debe ser una constante (digamos - ):λ
X''(x)/X(x) = -λ
Y''(y)/Y(y) = λ
3. Ecuaciones diferenciales separadas:
Ahora tenemos dos ecuaciones diferenciales ordinarias:
X''(x) + X(x) = 0λ
Y''(y) - Y(y) = 0λ
4. Resolviendo para Y(y):
La ecuación diferencial para Y(y) es:
