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Matem´aticas de primer curso
PROBLEMAS RESUELTOS
Alberto del Valle (Dpto. de Matem´aticas - Univ. de Murcia)
Septiembre de 2019
Este documento recopila enunciados y soluciones de ejercicios de ex´amenes de asignaturas de ma- tem´aticas de la Licenciatura en Qu´ımica (2002-2006), del Grado en Ingenier´ıa Qu´ımica (2009-2016) y del Grado en Qu´ımica (2016-2019) en la Universidad de Murcia impartidas por el autor. Las que se proponen no son las ´unicas formas de abordar la resoluci´on de cada ejercicio, y en ocasiones las soluciones no son ´unicas (como por ejemplo en los problemas de diagonalizaci´on). Los apartados marcados con (*) no forman parte de la asignatura Matem´aticas I del Grado en Qu´ımica, pero se incluyen por si pueden ser de utilidad en otras asignaturas. En los apartados “que s´ı entran” (los que no llevan *) tambi´en puede haber problemas que se salgan de lo que es evaluable en la asignatura en un determinado curso (por ejemplo, alg´un m´etodo de integraci´on que no d´e tiempo a ver).
´Indice
1. SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES 2
2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES; DIAGONALIZACI ´ON 36
3. GEOMETR´IA 76
4. TRANSFORMACIONES LINEALES (*) 108
5. N ´UMEROS COMPLEJOS 111
6. N ´UMEROS REALES Y FUNCIONES DE UNA VARIABLE (B ´ASICO) 121
7. UNA VARIABLE: L´IMITES Y DERIVABILIDAD 126
8. UNA VARIABLE: APROXIMACI ´ON DE RA´ICES (*) 148
9. UNA VARIABLE: GR ´AFICAS (*) 152
10.UNA VARIABLE: EXTREMOS Y OPTIMIZACI ´ON 159
11.UNA VARIABLE: POLINOMIOS DE TAYLOR/MACLAURIN 177
12.UNA VARIABLE: PRIMITIVAS, INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES 194
13.REPRESENTACI ´ON GR ´AFICA DE DESIGUALDADES (*) 212
14.VARIAS VARIABLES: L´IMITES (*) 216
15.VARIAS VARIABLES: DIFERENCIABILIDAD Y DERIVACI ´ON PARCIAL (*) 217
16.VARIAS VARIABLES: EXTREMOS (*) 228
17.VARIAS VARIABLES: INTEGRALES DOBLES (*) 244
18.ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES (*) 251
1. SISTEMAS, MATRICES, DETERMINANTES
- Responde razonadamente las siguientes preguntas para un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n inc´ognitas:
a) Si m > n, ¿puede el sistema ser compatible indeterminado? b) Si m < n, ¿puede el sistema ser compatible determinado?
Soluci´on: a) S´ı, si algunas de las ecuaciones dependen de las otras (o sea, si aparecen filas de ceros al hacer el m´etodo de Gauss) puede que el rango de la matriz de coeficientes (r) sea menor que n y entonces, si el sistema es compatible, es indeterminado con n − r grados de libertad (Rouch´e- Frobenius). Por ejemplo, si a dos ecuaciones como x + y + z = 3 y 2x + 3y + 4z = 9 les a˜nadimos otras que sean “combinaciones lineales suyas”, por ejemplo su suma 3x + 4y + 5z = 12 y su diferencia x+2y +3z = 6, queda un sistema con 4 ecuaciones (m = 4) y 3 inc´ognitas (n = 3) que es compatible indeterminado.
b) No, porque el rango de la matriz de coeficientes (r) es a lo sumo igual al n´umero de filas, o sea al n´umero de ecuaciones (r ≤ m). Por tanto el rango es menor que el n´umero de inc´ognitas (r < n) y, en caso de ser compatible, es indeterminado con n − r grados de libertad (Rouch´e-Frobenius).
o
- Escribe tres sistemas de ecuaciones lineales con 3 ecuaciones y 2 inc´ognitas. Uno que sea incompa- tible, otro que sea compatible determinado y otro que sea compatible indeterminado.
Soluci´on: Ponemos dos ecuaciones con coeficientes no proporcionales, por ejemplo x − y = 0 y x + y = 2, lo que nos da una soluci´on ´unica x = 1, y = 1. Si a˜nadimos una tercera ecuaci´on “que respete esa soluci´on”, por ejemplo 2x + 3y = 5, esta tercera ecuaci´on sobra y el sistema es compatible determinado. En cambio, si la tercera ecuaci´on “no respeta esa soluci´on”, por ejemplo 2 x + 3y = 4, el sistema es incompatible. S´olo ser´a compatible indeterminado si las tres ecuaciones son proporcionales, por ejemplo x+2y = 5, 3 x + 6y = 15, − 2 x − 4 y = −10.
o
- Para una matriz A de tama˜no arbitrario: ¿Qu´e significa que A sea escalonada por filas? ¿Qu´e significa que A sea escalonada reducida por filas?
Soluci´on: Llamando “pivote” de una fila no nula a su primera entrada no nula, A es escalonada si las filas nulas son las ´ultimas, y el pivote de cada fila no nula est´a a la derecha del pivote de la fila anterior. Y es escalonada reducida si adem´as cada pivote vale 1 y es el ´unico elemento no nulo de su columna (hay ceros sobre los pivotes).
o
- Tenemos n vectores-columna ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vn de Rm, y nos preguntamos si otro vector-columna ~v de Rm^ es o no es combinaci´on lineal de aqu´ellos. Se pide:
a) ¿Qu´e matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales usar´ıas para obtener la respuesta? b) ¿Cu´al es la relaci´on entre la compatibilidad de ese sistema y la respuesta? c) Cuando la respuesta es afirmativa, ¿c´omo obtendr´ıas una expresi´on concreta de ~v como com- binaci´on lineal de ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vn?
Soluci´on: a) La matriz (~v 1 ~v 2 · · · ~vn | ~v), con los vectores puestos por columnas. b) La respuesta es afirmativa (o sea, ~v es CL de ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vn) si y solo si el sistema es compatible. c) Tomar´ıa una soluci´on del sistema (r 1 , r 2 ,... , rn), y entonces ~v = r 1 ~v 1 + r 2 ~v 2 + · · · + rn~vn es la expresi´on buscada de ~v como CL de ~v 1 , ~v 2 ,... , ~vn.
o
- Escribe las propiedades que conozcas relativas al producto de matrices. Se˜nala tambi´en propiedades que en general no tiene esa operaci´on.
Soluci´on: Ver los apuntes; el producto de matrices no es conmutativo ni cancelativo. Se pueden a˜nadir propiedades como (AB)−^1 = B−^1 A−^1 cuando A y B son invertibles del mismo tama˜no, o como |AB| = |A| · |B| cuando A y B son cuadradas del mismo tama˜no.
o
- Dada una matriz cuadrada A, ¿qu´e significa que A sea invertible? Enuncia todas las propiedades que conozcas que sean equivalentes a esa.
Soluci´on: Significa que existe otra matriz cuadrada B del mismo tama˜no con A = BA = In (donde n es el tama˜no de las matrices). Una serie de condiciones equivalentes est´a en el Teorema 1.4.3.
o
- Describe los tres tipos de operaciones elementales que se pueden hacer a las filas de una matriz, y di cu´al es el efecto que tienen en el c´alculo de determinantes de matrices cuadradas.
Soluci´on: Un tipo de operaci´on elemental consiste en intercambiar dos filas, y su efecto es un cambio de signo en el determinante. Otro tipo consiste en multiplicar una fila por un escalar no nulo r, y el determinante de la matriz resultante es el de la inicial multiplicado por r. El tercer tipo consiste en sumar a una fila un m´ultiplo escalar de otra distinta, y no altera el determinante.
o
- Enuncia todas las propiedades que conozcas relativas al c´alculo de determinantes.
Soluci´on: El determinante es lineal en cada fila. Se puede “sacar factor com´un” de cualquier fila. Si hay dos filas proporcionales (en particular, si hay una fila nula) el determinante vale 0. Un intercambio de dos filas produce un cambio de signo en el determinante. Sumar a una fila un m´ultiplo de otra no altera el determinante. El determinante se puede calcular desarrollando por cualquier fila. Todo lo anterior cambiando “filas” por “columnas”. Trasponer una matriz no altera su determinante (|At| = |A|). El determinante de un producto es el producto de los determinantes (|AB| = |A||B|). Un escalar b “sale del determinante” elevado al tama˜no n de la matriz (|bA| = bn|A|). El determinante de una matriz triangular superior o inferior es el producto de los elementos de la diagonal principal.
o
- Enuncia todas las aplicaciones de los determinantes que conozcas.
Soluci´on: Determinar si una matriz es invertible, y calcular inversas. Resolver sistemas compa- tibles determinados (Cramer). Calcular rangos. Calcular ´areas de paralelogramos y vol´umenes de paralelep´ıpedos. Calcular autovalores. Calcular productos vectoriales y mixtos. Calcular ecuaciones de planos en R^3. Calcular la distancia de un punto a un plano en R^3. Clasificar puntos cr´ıticos de funciones de varias variables (test de las derivadas segundas).
o
- ¿C´omo se puede usar un determinante para calcular el ´area de un paralelogramo en R^2?
Soluci´on: Si conocemos las coordenadas de los vectores correspondientes a dos lados adyacentes, el ´area es el valor absoluto del determinante que se obtiene al poner esas coordenadas por filas (o por columnas). Si lo que conocemos son las coordenadas de los v´ertices, podemos obtener las coordenadas de vectores correspondientes a dos lados adyacentes restando las de v´ertices adecuados.
o
- Se considera un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas x 1 , x 2 ,... , xn con matriz ampliada (A | B). Contesta:
a) ¿Cu´ando se puede resolver este sistema usando el m´etodo de Cramer? b) En ese caso, ¿c´omo se calcula el valor de x 1 en la ´unica soluci´on del sistema?
Soluci´on: El sistema se puede resolver usando el m´etodo de Cramer cuando el n´umero de ecua- ciones coincide con el de inc´ognitas (m = n) y la matriz (cuadrada) A es invertible. Entonces el valor de x 1 en la ´unica soluci´on del sistema es d/|A|, donde d es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir la primera columna de A por la columna B.
o
- Encuentra el ´unico valor de a tal que ~u =
a 2 a
(^) es combinaci´on lineal de ~v =
(^) y w~ =
. Para ese valor de a, expresa ~u como combinaci´on lineal de ~v y w~.
Soluci´on: ~u es combinaci´on lineal de ~v y w~ si y s´olo si el sistema con matriz ampliada [~v ~w|~u] es compatible. Hacemos operaciones elementales:
4 − 2 a 1 2 2 3 1 a
4 − 2 a 3 1 a
0 − 10 a − 8 0 − 5 a − 6
0 5 6 − a 0 0 4 − a
Por tanto, el valor pedido es a = 4. Los coeficientes de la combinaci´on lineal son las soluciones del sistema; para hallarlas seguimos transformando la matriz con ese valor de a: ( 1 2 2 0 5 2
Por tanto ~u =
~v +
w~.
o
- Discute y resuelve el sistema de ecuaciones lineales
x + 2 y − 3 z + t = 2 2 x − y − z − t = 1 −x + y + 2 z − t = 0 3 x + 2 y − 4 z − 3 t = 1
Soluci´on: Se puede observar que el determinante de la matriz de coeficientes no es cero y aplicar el m´etodo de Kramer, pero esto obliga a calcular 5 determinantes de tama˜no 4 × 4. Se hacen menos cuentas con el m´etodo de Gauss:
por tanto el sistema es compatible determinado, y ahora resolviendo de abajo hacia arriba o llegando a la forma escalonada reducida se obtiene la soluci´on ´unica x = 2, y = 1, z = 1, t = 1.
o
- Discute y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2 x + z = y + 2t + 7 3 x = 4y + z + 8t + 3 5 x = 7y + 2z + 14t + 4
Soluci´on: La matriz del sistema con inc´ognitas x, y, z, t es
Podemos manipularla de diversas formas para resolver el sistema. Veamos dos opciones (hay bas- tantes m´as igual de razonables y que requieren un trabajo similar en cuanto a cuentas): Opci´on 1: Ponemos un 1 en la primera columna haciendo F 2 − F 1 y a partir de ah´ı hacemos un proceso est´andar de Gauss-Jordan:
El sistema es pues compatible indeterminado con dos grados de libertad, y se resuelve asignando par´ametros a las inc´ognitas sin pivote: con z = α y t = β se obtiene x = 5 − α e y = 3 − α − 2 β, por lo que la soluci´on general la podemos expresar como
x y z t
+^ α
+^ β
Opci´on 2: Como la tercera columna es especialmente c´omoda, podemos reorganizar las inc´ognitas como z, x, y, t, reescribir la matriz con ese orden y hacer un proceso est´andar de Gauss-Jordan:
Al resolver hay que recordar el cambio de orden: asignamos par´ametros a y = α y t = β, y en funci´on de ellos despejamos z = 3 − α − 2 β y x = 2 + α + 2β, por lo que la soluci´on general es
x y z t
+^ α
+^ β
o
Si rg(A) = 3 entonces tambi´en rg(A|B) = 3 y el sistema es compatible determinado, que no es lo que buscamos. Nos interesan por tanto solamente los valores con rg(A) < 3, o sea con |A| = 0. Calculamos
|A| =
1 b 2 − 1 2 b b 1 − 2
∣∣ = (b^ + 1)(b^ + 2)(b^ −^ 3)
(se puede calcular por Sarrus para obtener b^3 − 7 b − 6 y entonces factorizarlo usando Ruffini, o empezar haciendo alg´un cero, por ejemplo con F 2 + F 1 , que da el factor com´un b + 2 y permite segur con C 3 − C 2 ). Los valores interesantes de b son por tanto b = −1, b = −2 y b = 3. Para b = −1 se tiene
(A | B) =
por lo que el sistema es incompatible y b = − 1 no es uno de los valores pedidos. Para b = −2 se tiene
(A | B) =
por lo que el sistema compatible indeterminado y b = − 2 s´ı es uno de los valores pedidos. Para b = 3 se tiene
(A | B) =
por lo que el sistema compatible indeterminado y b = 3 tambi´en es uno de los valores pedidos.
o
- Discute este sistema de ecuaciones con inc´ognitas x, y, z, t en funci´on de los valores de a y b.
x + 2 y + 3 z + 4 t = 14 −x + 4 y + 5 z + 10 t = 22 7 x + 8 y + 13 z + 14 t = 62 3 x + 3 y + 5 z + at = b
Soluci´on: Aplicamos el m´etodo de Gauss:
3 3 5 a b
0 − 3 − 4 a − 12 b − 42
(^12) F 2 −−−−−→ F 4 + 12 F 2
0 0 0 a − 5 b − 24
Por tanto, llamando (A|B) a la matriz del sistema, se tiene: Para a 6 = 5 se tiene rg(A) = 3 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad. Para a = 5 y b = 24 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 2, luego el sistema es compatible indeterminado con 2 grados de libertad. Para a = 5 y b 6 = 24 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es incompatible.
o
- Discute (indicando los grados de libertad cuando sea compatible) este sistema de ecuaciones con inc´ognitas x, y, z, t en funci´on de los valores de a y b.
x + 3 y − z + 2 t = 4 −x + y + 2 z + 3 t = 5 5 x + 7 y − 7 z = 2 5 x + 3 y − 8 z + at = b
Soluci´on: Aplicamos el m´etodo de Gauss de forma elemental:
5 3 − 8 a b
0 − 12 − 3 a − 10 b − 20
0 0 0 a + 5 b + 7
Por tanto, llamando (A|B) a la matriz del sistema, se tiene:
Para a 6 = −5 se tiene rg(A) = 3 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad. Para a = −5 y b = −7 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 2, luego el sistema es compatible indeterminado con 2 grados de libertad. Para a = −5 y b 6 = −7 se tiene rg(A) = 2 y rg(A|B) = 3, luego el sistema es incompatible.
o
- Se pide, para el sistema homog´eneo con matriz de coeficientes A =
b 1 1 1 b 1 1 1 b
a) Disc´utelo seg´un los valores de b, indicando los grados de libertad cuando proceda. b) Resu´elvelo para b = −2.
Soluci´on: (a) Como el sistema es homog´eneo, siempre es compatible, por lo que s´olo hay que indicar si es determinado o indeterminado, indicando los grados de libertad en este ´ultimo caso.
Una opci´on: Operamos por filas usando como pivote el 1 de abajo a la izquierda:
b 1 1 1 b 1 1 1 b
0 1 − b 1 − b^2 0 b − 1 1 − b 1 1 b
Si b = 1 las dos primeras filas se anulan y el rango de A es 1, por lo que el sistema es indeterminado con 2 grados de libertad. Si b 6 = 1, podemos dividir cada una de las dos primeras filas por 1 − b y luego usar el pivote de arriba a la izquierda para obtener
0 1 1 + b 0 − 1 1 1 1 b
0 1 1 + b 0 0 2 + b 1 1 b
Si b = −2 una fila se anula y quedan 2 pivotes, luego el sistema es indeterminado con 1 grado de libertad. Si b 6 = −3 (y b 6 = 1) entonces hay 3 pivotes y el sistema es determinado.
en la ´ultima expresi´on, eliminar la ´ultima fila que se anula, y terminar con una aplicaci´on est´andar del m´etodo de Gauss: ( 1 1 − 2 0 3 − 3
Asignando un par´ametro a la inc´ognita sin pivote, z = λ, se obtiene x = λ e y = λ y por tanto las soluciones del sistema son las ternas (x, y, z) = (λ, λ, λ) = λ(1, 1 , 1) con λ ∈ R. Otra opci´on consiste en calcular el determinante de A que vale (usando Sarrus)
2 + b + 1 + b^3 + b^2 − b^2 − b − b − 1 − 2 b = b^3 − 3 b + 2 = (b − 1)^2 (b + 2)
(para la ´ultima factorizaci´on se observa que 1 es ra´ız, se divide el polinomio por Ruffini, etc´etera). Para valores distintos de 1 y de −2 el determinante no se anula, luego el rango de A es 3 y el sistema es determinado, y para esos dos valores concretos se analizan los sistemas correspondientes.
o
- Se pide, para el sistema de ecuaciones lineales
2 x + y + 3z + 4t = 14 4 x + 3y + z + 2t = 12 2 x + 3y + mz − 8 t = − 18
(a) Disc´utelo seg´un los valores de m. (b) Para m = 0, da tres soluciones distintas del sistema que sean puntos alineados. (c) Para alg´un valor de m que haga al sistema compatible con 2 grados de libertad, da tres soluciones distintas del sistema que sean puntos NO alineados.
Soluci´on: (a) La matriz del sistema con inc´ognitas x, y, z, t es
2 3 m − 8 − 18
Como en la primera columna todas las entradas son pares, podemos usar el 2 como pivote c´omodo para poner ceros debajo, y el resto de la manipulaci´on para obtener una forma escalonada es est´andar:
2 3 m − 8 − 18
0 2 m − 3 − 12 − 32
0 0 m + 7 0 0
Para m = −7 se anula la ´ultima fila y quedan 2 pivotes, ninguno en la columna de t´erminos independientes, por lo que el sistema es compatible con 2 grados de libertad (inc´ognitas menos rango). Para m 6 = −7 quedan 3 pivotes, ninguno entre los t´erminos independientes, por lo que el sistema es compatible con 1 grado de libertad.
(b) En particular, para m = 0 el conjunto de soluciones es una recta (1 grado de libertad) y por tanto cualesquiera tres soluciones estar´an alineadas. Lo resolvemos dividiendo la tercera fila por 7 y poniendo ceros sobre los pivotes para llegar a una forma escalonada reducida:
Asignando un par´ametro a la inc´ognita sin pivote, t = α, el resto “se despejan solas”: x = 15 − 5 α, y = −16 + 6α, z = 0, por lo que la soluci´on general es
x y z t
+^ α
α^ ∈^ R
y haciendo α = 0, 1 , 2 obtenemos las soluciones alineadas P = (15, − 16 , 0 , 0), Q = (10, − 10 , 0 , 1) y R = (5, − 4 , 0 , 2).
(c) Para el ´unico valor que hace al sistema compatible con 2 grados de libertad, m = −7, la ´ultima fila desaparece y tenemos entonces ( 2 1 3 4 14 0 1 − 5 − 6 − 16
Asignando par´ametros a las inc´ognitas sin pivote, z = β y t = γ, se obtiene x = 15 − 4 β − 5 γ, y = −16 + 5β + 6γ, por lo que la soluci´on general es
x y z t
+^ β
+^ γ
β, γ^ ∈^ R
Para mostrar tres soluciones no alineadas basta con particularizar los par´ametros (β, γ) a los valores (0, 0), (1, 0) y (0, 1) para obtener los puntos P = (15, − 16 , 0 , 0), Q = (11, − 11 , 1 , 0) y R = (10, − 10 , 0 , 1), que no est´an alineados pues
P Q y
P R son justo los vectores que aparecen en la soluci´on general, que no son proporcionales.
o
- Dado el sistema de ecuaciones lineales con inc´ognitas x, y, z
3 x + ay + (3 − 2 a)z = − 3 (a − 1)x + (1 − a)z = 1 (a − 1)x + ay + z = 1
disc´utelo en funci´on de los valores de a, y resu´elvelo cuando sea compatible indeterminado.
Soluci´on: El determinante de la matriz de coeficientes puede calcularse as´ı ∣∣ ∣∣ ∣∣
3 a 3 − 2 a a − 1 0 1 − a a − 1 a 1
3 a 3 − 2 a a − 1 0 1 − a a − 4 0 2 a − 2
3 a 6 − 2 a a − 1 0 0 a − 4 0 3 a − 6
∣∣ =^ −a(a^ −^ 1)(3a^ −^ 6)
(en la primera igualdad se hace F 3 + F 1 y en la segunda C 3 + C 1 ). Por tanto, para a 6 = 0, 1 , 2 el determinante no es nulo y el sistema es compatible determinado. Para a = 1 y a = 2 salen sistemas incompatibles, porque aparece un pivote en la matriz ampliada:
a = 1 :
(^) a = 2 :
Haciendo y = α se tiene directamente x = −α y z = −2 y t = 1, por lo que la soluci´on general es
x y z t
+^ α
o
- Se pide, para el sistema con inc´ognitas x, y, z, t y matriz ampliada
(A | B) =
5 − 7 9 2 p^2 − 29 2 p + 19 1 3 − 7 p^2 + 2 p − 12
a) Disc´utelo en funci´on de los valores del par´ametro p. b) Resu´elvelo para p = 4. c) Resu´elvelo para el ´unico valor de p que lo hace compatible con 2 grados de libertad.
Soluci´on: a) Hacemos operaciones elementales por filas hasta llegar a una matriz escalonada:
(A | B)
Fi−bF 1 −−−−→
0 8 − 16 2 p^2 + 6 2 p − 26 0 6 − 12 p^2 + 9 p − 21
− 12 F 2 −− 1 −−→ 2 F^3
0 4 − 8 p^2 + 3 p − 13 0 6 − 12 p^2 + 9 p − 21
F 3 − 4 F 2 −−−−−→ F 4 − 6 F 2
0 0 0 p^2 − 9 p + 3 0 0 0 p^2 − 9 p + 3
F 4 −F 3 −−−−→
0 0 0 p^2 − 9 p + 3 0 0 0 0 0
Si p 6 = ±3 hay 3 pivotes, ninguno en la columna de t´erminos independientes y por tanto el sistema es compatible indeterminado con 1 grado de libertad (4 inc´ognitas, 3 pivotes). Si p = 3 entonces aparece un pivote en la ´ultima columna, por lo que el sistema es incompatible. Si p = −3 entonces la tercera fila se anula y quedan dos pivotes, ninguno en la ´ultima columna, por lo que el sistema es compatible indeterminado con 2 grados de libertad. b) Sabemos que habr´a 1 grado de libertad. Sustituimos p = 4 en la ´ultima matriz (y dividimos la ultima fila por 7), y a su vez llevamos esta hasta una forma escalonada reducida:´
(A | B) →
−F−^1 −+7−−F→^3
F 2 − 3 F 3
−F−^1 −+3−−F→^2
Ahora basta con asignar un par´ametro a la inc´ognita sin pivote, digamos z = α, y tenemos ya despejadas x = α − 5, y = 2α − 7 y t = 1, por lo que las soluciones en t´erminos del par´ametro α son (^)
x y z t
+^ α
c) Sustituimos p = −3 (y eliminamos la fila de ceros) para obtener
(A | B) →
F 1 +3F 2 −−−−−→
Si asignamos par´ametros a las inc´ognitas sin pivote, digamos z = β y t = γ, tenemos ya despejadas x = −3 + β − 2 γ e y = −4 + 2β − 3 γ, por lo que las soluciones en t´erminos de esos par´ametros son
x y z t
+^ β
+^ γ
o
- Dado el sistema con inc´ognitas x, y, z, t y matriz ampliada
(A | B) =
1 1 0 2 b + 2 1 b + 1 − 1 b^2 + 2b − 1 b + 1 b + 1 1 1 b + 3 1
disc´utelo en funci´on de los valores del par´ametro b, y resu´elvelo para b = 2 y para el ´unico valor de b que lo hace compatible con 2 grados de libertad.
Soluci´on: Hacemos operaciones elementales en las filas de la matriz para escalonarla:
(A | B) −−−F−^2 −−F−^1 −→
F 3 −(b+1)F 1
1 1 0 2 b + 2 0 b − 1 b^2 + 2b − 3 − 1 0 −b 1 1 − b −b^2 − 3 b − 1
−F−^3 −+−F→^2
1 1 0 2 b + 2 0 b − 1 b^2 + 2b − 3 − 1 0 0 0 b^2 + b − 2 −b^2 − 3 b − 2
La ´ultima matriz tiene pivotes en las filas 1 y 2 (para b = 0 el pivote ser´ıa el siguiente 1). En cuanto a la 3 fila, como las ra´ıces de b^2 + b − 2 son 1 y −2, para b 6 = 1 y b 6 = −2 hay un tercer pivote y por tanto rg(A) = 3; como s´olo hay 3 filas, tambi´en es rg(A | B) = 3 y por tanto para esos valores el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Para b = 1 la ´ultima fila es (0 0 0 0 | − 6) y por tanto el sistema es incompatible. Por ´ultimo, para b = −2 la ´ultima fila es nula, luego se tiene rg(A) = rg(A | B) = 2 y por tanto el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. Para este valor (b = −2) se pide resolver: lo sustituimos en la ´ultima matriz
−−−F→^2
En vista de las columnas 1 y 3 , las inc´ognitas x, z “se despejan solas”, as´ı que asignamos par´ame- tros a las otras dos: y = α, t = β, con lo que se tiene directamente x = −α − 2 β y z = 1 − 2 α − 3 β, por lo que la soluci´on general la podemos expresar como
x y z t
+^ α
+^ β
- Discute (no hay que resolver) en funci´on de los valores de b el sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 inc´ognitas que tiene la siguiente matriz ampliada:
1 − 1 b 1 1 0 1 b 0 b − 1 1 −b − 1 − 2 1 3 − 2 b − 2 b + 2 2 − b − 2 2 b − 4
Soluci´on: Hacemos un proceso est´andar de Gauss:
(A | B) −−F^3 −−−F−^1 →
F 4 +2F 1
1 − 1 b 1 1 0 1 b 0 b − 1 0 −b −b − 2 0 2 − 2 b 0 b b + 2 0 2 b − 2
−F−^3 −+−bF−→^2 F 4 +F 3
1 − 1 b 1 1 0 1 b 0 b − 1 0 0 b^2 − b − 2 0 b^2 − 3 b + 2 0 0 0 0 0
Por tanto hay al menos dos pivotes en A, y habr´a un tercero cuando b^2 − b − 2 = (b − 2)(b + 1) no sea nulo. Por tanto:
- Si b = −1 entonces la tercera fila es (0 0 0 0 | 6), por lo que el sistema es incompatible.
- Si b = 2 entonces la tercera fila es nula, por lo que rg(A) = rg(A|B) = 2 y en consecuencia el sistema es compatible con 4-2=2 grados de libertad.
- Si b 6 = 2 y b 6 = −1 entonces rg(A) = rg(A|B) = 3, por lo que el sistema es compatible con 4-3= grado de libertad.
o
- Dado el sistema con inc´ognitas x, y, z, t y matriz ampliada
(A | B) =
1 1 0 2 b 1 b − 1 − 1 b^2 − 2 b − 1 b − 1 b − 1 1 1 b + 1 1
disc´utelo en funci´on de los valores del par´ametro b, y resu´elvelo para alg´un valor de b que lo haga compatible con 1 grado de libertad.
Soluci´on: Hacemos operaciones elementales est´andar en las filas de la matriz para escalonarla:
(A | B)
F 2 −F 1 −−−−−−−→ F 3 −(b−1)F 1
1 1 0 2 b 0 b − 2 − 1 b^2 − 2 b − 3 − 1 0 2 − b 1 3 − b 1 + b − b^2
−F−^3 −+−F→^2
1 1 0 2 b 0 b − 2 − 1 b^2 − 2 b − 3 − 1 0 0 0 b^2 − 3 b b − b^2
En la primera fila hay un pivote (1 columna) y en la segunda tambi´en (2 o 3 columna). Por tanto rg(A) vale 3 cuando b^2 − 3 b 6 = 0 (o sea, cuando b 6 = 0 y b 6 = 3). En estos casos tambi´en es rg(A|B) = 3 (s´olo hay 3 filas) y por tanto el sistema es compatible con 1 grado de libertad ( inc´ognitas y rango 3).
Para b = 0 la ´ultima fila se anula, luego rg(A) = rg(A|B) = 2 y el sistema es compatible con 2 grados de libertad (4 inc´ognitas y rango 2). Para b = 3 el sistema es incompatible en vista de su ultima fila.´ Lo resolvemos para b = 2, sustituyendo en la ´ultima matriz y haciendo m´as operaciones elementales hasta llegar a una forma escalonada reducida:
−F−^1 −−−^2 −F→^3
F 2 − 3 F 3
Asignando un par´ametro a la inc´ognita sin pivote, y = α, se tiene x = −α, z = −2 y t = 1, luego las soluciones son los (x, y, z, t) = (−α, α, − 2 , 1) = (0, 0 , − 2 , 1) + α(− 1 , 1 , 0 , 0) con α ∈ R.
o
- Dado el sistema con inc´ognitas x, y, z, t y matriz ampliada
(A | B) =
1 1 0 2 b + 2 1 b + 1 − 1 b^2 + 2b − 1 b + 1 b + 1 1 1 b + 3 1
disc´utelo en funci´on de los valores del par´ametro b, y resu´elvelo para b = 2 y para el ´unico valor de b que lo hace compatible con 2 grados de libertad.
Soluci´on: Hacemos operaciones elementales en las filas de la matriz para escalonarla:
(A | B)
F 2 −F 1 −−−−−−−→ F 3 −(b+1)F 1
1 1 0 2 b + 2 0 b − 1 b^2 + 2b − 3 − 1 0 −b 1 1 − b −b^2 − 3 b − 1
−F−^3 −+−F→^2
1 1 0 2 b + 2 0 b − 1 b^2 + 2b − 3 − 1 0 0 0 b^2 + b − 2 −b^2 − 3 b − 2
La ´ultima matriz tiene pivotes en las filas 1 y 2 (para b = 0 el pivote ser´ıa el siguiente 1). En cuanto a la 3 fila, como las ra´ıces de b^2 + b − 2 son 1 y −2, para b 6 = 1 y b 6 = −2 hay un tercer pivote y por tanto rg(A) = 3; como s´olo hay 3 filas, tambi´en es rg(A | B) = 3 y por tanto para esos valores el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Para b = 1 la ´ultima fila es (0 0 0 0 | − 6) y por tanto el sistema es incompatible. Por ´ultimo, para b = −2 la ´ultima fila es nula, luego se tiene rg(A) = rg(A | B) = 2 y por tanto el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad. Para este valor (b = −2) se pide resolver: lo sustituimos en la ´ultima matriz
−−−F→^2
En vista de las columnas 1 y 3 , las inc´ognitas x, z “se despejan solas”, as´ı que asignamos par´ame- tros a las otras dos: y = α, t = β, con lo que se tiene directamente x = −α − 2 β y z = 1 − 2 α − 3 β, por lo que la soluci´on general la podemos expresar como
x y z t
+^ α
+^ β
