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Una explicación detallada del algoritmo de ford-fulkerson para determinar el flujo máximo en redes. Se incluyen ejemplos prácticos con el programa winqsb, mostrando la aplicación del algoritmo paso a paso. El documento también explora la relación entre el problema del flujo máximo y la programación lineal, ofreciendo una perspectiva integral del tema.
Tipo: Apuntes
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Instrumentos Estadísticos Avanzados Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández
Método Ford ‐ Fulkerson Ejercicios resueltos con Winqsb
Lester Randolph Ford
Delbert Ray Fulkerson
i j , ji i j
C Capacidad i j Índices de los nodos C (C k , C k) k Mínimo flujo que pasa por el nodo k mín(capacidades de la ruta)
El Flujo Máximo que puede pasar del nodo origen hasta el nodo destino es la suma de las capacidades
Calcular el flujo máximo del grafo:
MÉTODO DE FORD‐FULKERSON: Flujo máximo desde s, remplazando nuevas capacidades
13 , 31 35 , 53
k mín( ,30 ,20) 20 C (30 20 , 0 20) (10 , 20) C (20 20 , 0 20) (0 , 20)
Ruta: 1 ‐ 2 ‐ 3 ‐ 4 ‐ 5 / Remplazando nuevas capacidades
12 , 21 23 , 32 34 , 43 45 , 54
k mín( ,20 ,40 ,10 ,20) 10 C (20 10 , 0 10) (10 , 10) C (40 10 , 0 10) (30 , 10) C (10 10 , 5 10) (0 , 15) C (20 10 , 0 10) (10 , 10)
Ruta: 1 ‐ 2 ‐ 5 / Remplazando nuevas capacidades
12 , 21 25 , 52
k mín( ,10 ,20) 10 C (10 10 , 10 10) (0 , 20) C (20 10 , 0 10) (10 , 10)
Network Modeling / Maximal Flow Problem
Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en donde los arcos limitan la cantidad de un producto que se puede enviar. En estas situaciones, frecuentemente se transporta la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida llamado fuente hacia un punto final denominado pozo.
Se actualiza la red residual
Se busca otro camino de aumento: s ‐ 4 ‐ 3 ‐ t
Se actualiza la red residual.
Se busca otro camino de aumento: s ‐ 4 ‐ t
Se actualiza la red residual.
El algoritmo de Ford ‐ Fulkerson finaliza porque ya no se pueden encontrar más caminos en
El Flujo máximo de "s" hasta "t" es 18.
Network Modeling / Maximal Flow Problem
Obtener el máximo flujo que se puede llevar del nodo 0 al nodo T
El Flujo máximo de 0 hasta T es 14.
Camino de aumento: O − A − B − D −T
Cuello de botella: b Minimo(2,1,4, 6) 1
Se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria.
Camino de aumento: O − B − D − T
Cuello de botella: b = Minimo(2, 3, 5) = 2
Se asigna un flujo de 2 a esta trayectoria.
Camino de aumento: O − C − E − D −T
Cuello de botella: b Minimo(4,4,1, 3) 1
Se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria.
Camino de aumento: O − C − E − T
Cuello de botella: b = Minimo(3, 3, 1) = 1
Se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria.
Camino de aumento: O − C − E − B − D −T
Cuello de botella: b Minimo(2,2,5, 1, 2) 1
Se asigna un flujo de 1 a esta trayectoria.
No existe trayectoria para el aumento por lo que el algoritmo ha finalizado.
El Problema del Flujo Máximo es similar al Problema de Ruta más Corta, ahora se busca determinar el flujo máximo entre un nodo fuente y un nodo destino, que están enlazados a través de una red, con arcos de capacidad finita.
Los números asignados a cada uno de los arcos representan los flujos máximos o capacidades correspondientes a cada arco. x (^) i j≡ Unidades que fluyen desde el nodo i al nodo j.
Función Objetivo: Maximizar las unidades que salen del nodo de origen (1) a los nodos que esta conectada (2, 4 y 5) o alternativamente maximizar las unidades que llegan al nodo de destino (8) desde los nodos que conectan a él (3, 6 y 7).
Alternativas: Maximizar z = x 12 + x 14 + x 15 o bien Maximizar z = x 38 + x 68 +x 78
Restricciones:
Flujo Máximo: La cantidad de unidades que sale de cada nodo de origen a un nodo de destino no puede superar la capacidad del arco. Por ejemplo, del nodo 1 al nodo 2 sólo se pueden enviar 7 unidades.
12 14 15 23 38 43 46 56 57 68 78
x 7 x 25 x 5 x 10 x 18 x 20 x 9 x 4 x 15 x 40 x 9
Balance de Flujo en los Nodos: Las unidades que entran a un nodo debe de ser igual a las unidades que salen. Por ejemplo, el número de unidades que se envían del nodo 1 al nodo 4 debe ser igual a las que salen del nodo 4 (se envían al nodo 3 y al nodo 6).
12 23 12 23 14 43 46 14 43 46 15 56 57 15 56 57 23 43 38 23 43 38 46 56 68 46 56 68 57 78 57 78
x x x x 0 x x x x x x 0 x x x x x x 0 x x x x x x 0 x x x x x x 0 x x x x 0
No Negatividad e Integralidad: Las variables de decisión tienen la condición de no negatividad (xi j ≥ 0), adicionalmente se exige que éstas adopten valores enteros. Si se omite esta condición podría dar un problema de Programación Lineal.
