¡Descarga Análisis de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: Solución y más Ejercicios en PDF de Ecuaciones Diferenciales solo en Docsity!
ANGIE DAYANNA AVILA FUQUENE 20181167026
Y
2
− 2 y e
t
dt+
y−e
t
dy= 0
( [(\frac{y^{2}}{2}-2ye^{t})dt+(y-e^{t})dy=0] )
Sean
M =
Y
2
− 2 y e
t
N= y−e
t
( [M=\frac{y^{2}}{2}-2ye^{t}] ) ( [N=y-e^{t}] )
M
y
= y − 2 e
t
N
t
=−e
t
([M_{y}=y-e^{t}] ) ( [N_{t}=-e^{t}] )
M
y
≠ N
t
( [M_{y}\neq N_{t}] )
Por lo tanto no es una ecuación diferencial exacta. Vamos entonces a reescribirla como una EDO exacta, tenemos
entonces que:
M
y
−N
t
N
y− 2 e
t
+e
t
y−e
t
y−e
t
y−e
t
( [\frac{M_{y}-N_{t}}{N}=\frac{y-2e^{t}+e^{t}}{y-e^{t}}=\frac{y-e^{t}}{y-e^{t}}=1] )
Entonces nuestro factor integrante es
e
∫
❑
❑
dt =e
t
( [e^{\int dt}=e^{t}] )
Y nuestra nueva EDO es
e
t y
2
− 2 y e
2 t
dt +( e
t
y−e
2 t
) dy = 0
( [(e^{t}\frac{y^{2}}{2}+2e^{2t})dt+(e^{t}y-e^{2t})dy=0] )
Ahora
M =e
t
y
2
− 2 y e
2 t
N=e
t
y −e
2 t
( [M=e^{t}\frac{y^{2}}{2}+2e^{2t}] ) ( [N=e^{t}y-e^{2t}] )
M
y
=e
t
y− 2 e
2 t
N
t
=e
t
y− 2 e
2 t
( [M_{y}=e^{t}y-2e^{2t}] ) ( [N_{t}=e^{t}y-2e^{2t}] )
M
y
=N
t
( [M_{y}=N_{t}] )
Entonces existe ∅ (t , y ) ( [\Phi (t,y)] ) tal que
t
=e
t y
2
− 2 y e
2 t
∂t
(1)
y
=e
t
y −e
2 t
∂ y
(2)
(1)( [\Phi_{t}=\frac{e^{t}y^{2}}{2}-2ye^{2t}=\frac{\partial \Phi }{\partial t}] ) (2) ( [\
Phi_{y}=e^{t}y-e^{2t}=\frac{\partial \Phi }{\partial y}] )
Integrando (1) con respecto a ”t” tenemos que
∅ ( t , y )=e
t y
2
− y e
2 t
+h( y) (a)
( [\Phi(t,y)=\frac{e^{t}y^{2}}{2}-ye^{2t}+h(y)] )
Derivando con respecto a “y” tenemos
y
=e
t
y −e
2 t
( [\Phi(t,y)=\frac{e^{t}y^{2}}{2}-ye^{2t}+h(y)] )
Igualando expresiones tenemos que
e
t
y−e
2 t
'
y
=e
t
y −e
2 t
( [e^{t}y-e^{2t}+{h}'(y)=e^{t}y-e^{2t}] )
h
'
y
( [{h}'(y)=0] )
Integrando con respecto a “y” tenemos que
h ( y )=C
( [h(y)=C] )
Remplazando en (a) tenemos que nuestra solución es
t , y
=e
t
y
2
− y e
2 t
=C
( [\Phi(t,y)=\frac{e^{t}y^{2}}{2}-ye^{2t}=C] )
De manera análoga para (2) encontramos que nuestra solución es
t , y
=e
t y
2
− y e
2 t
=C
Remplazando en (b) tenemos que nuestra solución es
∅ ( x , y )=x
3
2
y− y
2
x+ y
3
=C
( [\Phi (x,y)=x^{3}+3x^{2}-xy^{2}+y^{3}=C] )
De manera análoga para (4) encontramos que nuestra solución es
x , y
=x
3
2
y− y
2
x+ y
3
=C
( [\Phi (x,y)=x^{3}+3x^{2}-xy^{2}+y^{3}=C] )
Nuestra grafica para el punto 3 es ( https://www.geogebra.org/classic/js3wrgdg )
Nuestra gráfica para el punto 8 es ( https://www.geogebra.org/classic/awbbgeza )
