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Desarrollo ecuaciones con integrales
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
1 / 10
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Actividad 1
Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales
Grupo 10
Omar Alfonso López Camargo ID 783673
Luis Alberto Franco Ávila ID 364559
Ingeniería Industrial, Facultad de Ingeniería, Corporación Universitaria Minuto de Dios
NRC 5 9574 : Ecuaciones diferenciales
Lic. Rolando Miguel Palencia Arciniegas
Mayo 22 , 2023
1. Resuelva las siguientes integrales por el método que corresponda:
2
𝑥
Rta/
En este caso integramos por partes, entonces. Recordemos:
I L A T E
Para saber cual le corresponde a u miramos cual corresponde a la primera letra de ILATE.
En este caso esta primero 𝑥
2
que es (algebra).
𝒖 = 𝒙
𝟐
𝒅𝒗 = 𝒆
𝒙
𝒅𝒙
Ahora
Derivamos 𝒖
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙
𝟐−𝟏
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙
Integramos v
𝒗 = ∫ 𝒆
𝒙
𝒅𝒙
𝒗 = 𝒆
𝒙
Utilizamos la fórmula de integración por partes
𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖
∫ 𝒙
𝟐
𝒆
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖
∫ 𝒙
𝟐
𝒆
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒙
𝟐
. 𝒆
𝒙
− ∫ 𝒆
𝟐
𝟐𝒙𝒅𝒙
∫ 𝒙
𝟐
𝒆
𝒙
𝒅𝒙 = 𝒙
𝟐
. 𝒆
𝒙
− 𝟐 ∫ 𝒆
𝟐
𝒙𝒅𝒙
Ahora sustituimos nuevamente por partes
𝟐
−𝟏
−𝟏
2 / 3
Sustituimos
Regla de suma
Entonces derivamos
Luego
𝟑
𝟐
Organizamos
Luego
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
Sacamos constante
𝟑
𝟐
Propiedad de fracciones
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
ley de exponentes
𝟑
𝟐
𝟏−𝟐/𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
Entonces
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
Ley de suma
𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
𝟒
Ahora
𝟑
𝟐
Sacamos constante
𝟑
𝟐
Ahora
1. Calcule la ecuación diferencial cuya solución general es:
𝑦 = (𝑥 − 𝑐)
2
− 1 , 𝑐𝑜𝑛 𝑐 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Luego, demuestre con cada una de las siguientes funciones si son o no solución a dicha ecuación e
indique qué tipo de solución es.
a) 𝑦 = 𝑥
2
b) 𝑦 = − 1
c) 𝑦 = 𝑥
2
Rta/
En este caso derivamos el exponente
𝟐(𝒙 − 𝒄)
Ahora derivamos todo lo que está en el paréntesis
𝟏 − 𝟎 = 𝟏
Entonces
𝟐
( 𝒙 − 𝒄
) 𝟏 − 𝟏
Tenemos
𝒚
′
= 𝟐(𝒙 − 𝒄)
a. Para la función 𝒚 = 𝒙
𝟐
(será una solución particular)
Derivamos
𝒚
′
= 𝟐
Remplazamos en la ecuación diferencial
𝒚′ = 𝟐(𝒙 − 𝒄)
𝟐𝒙 = 𝟐
Igualamos a cero
𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎
𝟐(𝒙 − 𝟏) = 𝟎
Vemos que no es una solución para la ecuación
a. Para la función 𝐲 = −𝟏 (será una solución general)
Derivamos la constante
𝒚
′
= 𝟎
Remplazamos en la ecuación diferencial
𝒚′ = 𝟐(𝒙 − 𝒄)
Vemos que para esta segunda función no es solución para dicha ecuación
b. Para la función 𝒚 = 𝒙
𝟐
Derivamos
𝒚
′
= 𝟐𝒙 + 𝟐
Remplazamos e igualamos
Igualamos a cero
- ¿Cómo obtener la solución general o particular de una ecuación diferencial?
Rta/
𝑥 + 𝑦
2
= 𝐶
De la ecuación diferencial:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝟏
𝟐𝒚
Debemos derivar con respecto a x, para eso despejamos 𝑦
2
Tenemos: 𝑦
2
= 𝑐 − 𝑥
𝟏
𝟐
Ahora derivamos por regla de la cadena
′
1
2
(− 1 )
′
Ahora remplazamos
Esto lo llamamos una identidad pues en los dos lados del paréntesis es el mismo valor
𝒚 = 𝒆
−𝒙
De la ecuación diferencial 𝒚
′
−𝟏
= 𝟎 , pues si derivamos la solución y si sustituimos en la ecuación,
tendremos:
𝒚
′
= −𝒆
−𝒙
𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 −𝒆
−𝒙
−𝒙
= 𝟎 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝟎 = 𝟎
Esto lo llamamos una identidad pues en los dos lados del paréntesis es el mismo valor
