Resolución de ecuaciones cuadráticas, Diapositivas de Álgebra

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ALGEBRA II

Ecuación

Cuadrática

“Siempre parece

imposible

hasta que se hace”

(Nelson Mandela).

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Una ecuación cuadrática con una incógnita es aquella en la cual el mayor exponente de la incógnita es dos,

es decir, es una ecuación de la forma 𝒂𝒙

𝟐

+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 con 𝒂, 𝒃, 𝒄 números reales y

𝒂≠ 0, dado que en

caso contrario ésta

se convertiría en una

ecuación lineal o de

primer grado

INCOMPLETA PURA INCOMPLETA MIXTA COMPLETA

2

+ 𝑐 = 0 , 𝑏 = 0 y 𝑐 ≠ 0 𝑎𝑥

2

+ 𝑏𝑥 = 0 , 𝑏 ≠ 0 y 𝑐 =

2

y 𝑐 ≠ 0

Ejemplo 4 𝑥

2

→ 𝑎 = 4 y 𝑐 = 9

Ejemplo 𝑥

2

→ 𝑎 = 1 y 𝑐 = −

Ejemplo −𝑥

2

1

4

→ 𝑎 = −1 y 𝑐 =

1

4

Ejemplo 𝑥

2

→ 𝑎 = 1 y 𝑏 = 25

Ejemplo 9 𝑥

2

→ 𝑎 = 9 y 𝑏 = −

Ejemplo −𝑥

2

2

5

→ 𝑎 = −1 y 𝑏 =

2

5

Ejemplo 𝑥

2

→𝑎 = 1 , 𝑏 = 4 y 𝑐 = 8

Ejemplo 6 𝑥

2

→ 𝑎 = 6 , 𝑏 = −3 y 𝑐 = 2

Ejemplo −2𝑥

2

→ 𝑎 = −2, 𝑏 = 7 y 𝑐 = 15

Es encontrar los valores de las incógnitas 𝒙 (soluciones) que satisfacen la ecuación, es decir, que al reemplazar

en la ecuación se cumple la igualdad.

2 𝒙

2 − 8 = 0

2 ∙ (𝟐)

2 − 8 =

0

2 ∙ 4 − 8 = 0

8 − 8 = 0

0 = 0 Se cumple la igualdad

¿QUÉ ES RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?

Por ejemplo, 𝒙 = 𝟐 es solución (^) Por ejemplo, 𝒙 = −𝟐 es

de la ecuación cuadrática (^) solución de la ecuación

2𝑥

2 − 8 = 0 porque: (^) cuadrática 2𝑥

2 − 8 = 0

porque:

2 𝒙

2 − 8 = 0

2 ∙ (−𝟐)

2 − 8 =

0

2 ∙ 4 − 8 = 0

8 − 8 = 0

0 = 0 Se cumple la igualdad

Por ejemplo, 𝒙 = 𝟑 es

solución de la ecuación

cuadrática 2𝑥

2 − 8 = 0

porque:

2 𝒙

2 − 8 = 0

2 ∙ (𝟑)

2 − 8 =

0

2 ∙ 9 − 8 = 0

18 − 8 = 0

10 ≠ 0 No se cumple la igualdad

Una ecuación cuadrática con una incógnita siempre tiene como resultado 2 valores como raíces(soluciones)

ECUACIÓN CUADRÁTICA (INCOMPLETA PURA)

Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙

𝟐

• 𝒄 = 𝟎 donde los coeficientes 𝒂 y 𝒄 son números

reales

distintos de 0 y el coeficientes 𝒃 es igual a 0

Ejemplo de resolución mediante ELIMINACIÓN DE TÉRMINOS:

Sumar o restar el inverso aditivo del coeficiente 𝑐 a

ambos lados de la ecuación.

Dividir por el coeficiente 𝑎 en ambos lados de la ecuación.

Calcular la división

Aplicar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación.

En este caso

𝑎 = 3 y 𝑐 =

−

Las raíces de la

ecuación (soluciones)

son 𝑥 1 = 3 ; 𝑥 2

= − En este caso, se puede calcular la raíz

ECUACIÓN CUADRÁTICA (INCOMPLETA MIXTA)

Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙

𝟐

• 𝒃𝒙 = 𝟎 donde los coeficientes 𝒂 y 𝒃 son

números

reales distintos de 0 y el coeficientes 𝒄 es igual a 0.

Ejemplo de resolución mediante FACTORIZACIÓN POR TÉRMINO COMÚN:

El primer paso es factorizar por término común la ecuación,

en este caso el termino común es x

Para que se cumpla la igualdad, uno de los factores debe ser 0.

.

En este caso

𝑎 = 2 y 𝑏 =

8

Las raíces de la ecuación

(soluciones) son

𝑥 1 = 0 ; 𝑥 2 = − 4

Para encontrar las soluciones debemos igualar cada factor a 0 y resolver por separado

−

2

2

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Estas ecuaciones cuadráticas son de la forma 𝒂𝒙

𝟐

• 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 donde el coeficiente 𝒂, 𝒃 𝒚 𝒄 son

números

reales distintos de 0

Ejemplo de resolución mediante FÓRMULA GENERAL:

Este método proporciona una fórmula general que permite encontrar las soluciones de la ecuación a

partir de los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐. Además, sirve para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática.

Sea 5 𝑥

2 − 20 𝑥 + 15

Entonce

s,

Sea 𝑥

2

• 8 𝑥 =

Sea −7𝑥

2

• 1 =

Entonces,

Entonces,

2

ECUACIÓN CUADRÁTICA

Se reemplazan los coeficientes numéricos en la FÓRMULA GENERAL:

En este caso

𝑎 = 5 , 𝑏 = − 20 y 𝑐

= 15

Las raíces de la ecuación

(soluciones) son

𝑥 1 = 3 ; 𝑥 2 = 1