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Unidad I

E] Sistemas tridimensionales de coordenadas 14 Para localizar un punto en un plano, son necesarios dos números. Se sabe que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado (a, b) de números reales, donde a es la coordenada x y h es la coordenada y. Por esta razón, un plano se llama bidi- mensional. Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se representa mu cualquier punto en el espacio mediante una terna ordenada (a, b, c) de números reales. TE, Á fin de representar puntos en el espacio, se elige primero un punto fijo O (el origen) y y tresrectas que pasan por Ú que son perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas X y marcadas como eje x, eje y y eje z. Por lo común, se considera que los ejes x y y son FIGURA 1 horizontales, y que el eje z es vertical, y se dibuja la orientación de los ejes como en la Ejes de coordenadas figura 1. La dirección del eje z se determina mediante la regla de la mano derecha, como El producto cartesiano R Xx Rx R= ((x, y, 23 | x, y, 7 € R] es el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales y se denota por R*. Hemos dado una corresponden- cia uno a uno entre los puntos P en el espacio y las ternas ordenadas (a, b, c) en ES. Se denomina sistema tridimensional de coordenadas rectangulares. Observe que, en términos de coordenadas, el primer octante se puede describir como el conjunto de puntos cuyas coordenadas son todas positivas. En geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en x y y es una curva en R?. En geometría analítica tridimensional, una ecuación en x, y y z representa una super- ficie en E?. M AAA ¿Qué superficies en RS están representadas por las siguientes ecuaciones? a z:=3 by=5 NOTA Cuando se tiene una ecuación, se debe entender del contexto $1 representa una curva en E? 0 una superficie en FS. En el ejemplo 1, y = 5 representa un plano en FS, pero por supuesto, y = 5 también puede representar una recta en R? si se trata con geometría analítica bidimensional. Véase la figura 7b) y c). En general, si k es una constante, entonces x = k representa un plano paralelo al plano yz. y = k es un plano paralelo al plano xz y z = k es un plano paralelo al plano xy. En la figura 5, las caras de una caja rectangular se forman mediante los tres planos coordenados x=0 (el plano yz). y = 0 (el plano xz) y z = 0 (el plano 17) y los planos x =a. y =by z=c. La distancia del punto P(2, —1, 7) al punto Q(l, —3, 5) es Ecuación de una esfera La ecuación de una esfera con centro Cíh, k, 1) y radio res Aa—-H+Or—D0+G-I="r En particular, si el centro es el origen O, entonces la ecuación de la esfera es 3+y4zt=p x FIGURA 12 Demuestre que Y + y? + 27 +4x— 6y + 22 + 6= 0 es la ecuación de una esfera, y determine su centro y radio. 23 058 ¿Qué región en E está representada por las siguientes desigualdades? lesx+y+zr2=4 272=0 (1125 Ecuaciones de rectas y planos Una recta en el plano xy se determina cuando se dan un punto sobre la recta y la dirección de ésta (su pendiente o ángulo de inclinación). La ecuación de la recta se puede escribir entonces con la forma punto-pendiente. De igual forma. una recta L en el espacio tridimensional se determina cuando se cono- ce un punto Po(xo, yo, 20) sobre L y la dirección de L. En tres dimensiones la dirección de una recta se describe convenientemente por un vector, así que sea v un vector paralelo a L. Otra forma de describir una recta L es eliminar el parámetro f de las ecuaciones 2. Si ninguna de las literales a, b o c es O, se puede resolver cada una de estas ecuaciones para £, igualar los resultados y obtener O a a b c Estas ecuaciones se llaman ecuaciones simétricas de L. Observe que los números a, b y € que aparecen en los denominadores de las ecuaciones 3, son los números directores de £, es decir, las componentes de un vector paralelo a £. Si una de las literales a, boe es O, se puede eliminar a £. Por ejemplo, si a = 0, se podrían escribir las ecuaciones de L como Esto significa que L yace en el plano vertical x = xp. a) Encuentre las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que pasa a través de los puntos A(2, 4, —3) y B(3, —1, 1). bj ¿En qué punto interseca esta recta el plano xy? 7 alx — xo) + bly — yo) + clz— 20) =0 La ecuación 7 es la ecuación escalar del plano que pasa por Polxo, yo, zo) con vector normal n = ía, b, e). W| 213 088 Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto (2, 4, —1) con vector normal n = (2, 3, 4). Determine las intersecciones con los ejes y bosqueje el plano. HA Superficies cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables Xx, y y z. La ecuación más general es Ax+ By?4 C22 + Dxy + Eyz + Fx + Gr+ Hy+E +30 donde A, B, C...., J son constantes, pero por traslación y rotación se puede llevar a una de las dos formas estándar Ax? + By? + C2?+J=0, o bien, Ax+By4E=0 Las superficies cuádricas son las contrapartes en tres dimensiones de las secciones cónicas en el plano. (Véase la sección 10.5 para un repaso de las secciones cónicas.) TABLA 1 Gráficas de superficies cuádricas z Las trazas horizontales son elipses. Las trazas verticales son parábolas. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide. z Superficie Ecuación Superficie Ecuación . > AS AA O —+—+—= —=—+>— Elipsoide ata+ta l at Todas las trazas son elipses. Las trazas horizontales son Sia = b=c, la elipsoide elipses. es una esfera. Las trazas verticales en los planos x= k y y = k son hipérbolas si k + 0 pero son pares de rectas si k = 0. y E ' O O Paraboloide elíptico ===+%+ ra Hiperboloide de una hoja — ra =+=1 Cc 7 ñ a” 3 a Las trazas verticales son elipses. Las trazas verticales son hipérbolas. El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D, un único número real que se denota con f(x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f es decir, (f(x, y) | (x, y) € DJ. A menudo, escribimos z = fx, y) para hacer explícito el valor que toma fen el punto (x. y). Las variables x y y son variables independientes y z es la variable dependiente. [Compare lo anterior con la notación y = f(x) para funciones de una variable.] Una función de dos variables es una función cuyo dominio es un subconjunto de RH? y cuyo rango es un subconjunto de E. Una manera de representar tal función es mediante un diagrama de flechas (véase figura 1), donde el dominio D se representa como un subconjunto del plano xy y el rango es un conjunto de números sobre una recta real, que se muestra como un eje z. Así como la gráfica de una función fde una variable es una curva C con ecuación y = f(x), la gráfica de una función fde dos variables es una superficie $ cuya ecuación es z = fx, y). Podemos visualizar la gráfica $ de fdirectamente sobre o abajo de su dominio D en el plano xy (véase figura 5). (1, y fix, y) FIGURA 5 Grafique la función f(x, y) = 6 — 3x — 2y. La función del ejemplo 5 es un caso especial de la función fix. y) =ax + by+c que se llama función lineal. La gráfica de dicha función tiene por ecuación z=ax+by+c o a+byozi+c=0 Dl IU Trace la gráfica de g(x, y) = YI =32=37. | Determine el dominio y el rango y grafique hí(x, y) = 4 + y.