Distribuciones de Probabilidad, Apuntes de Contabilidad

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4. DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD

Concepto  Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral Ώ tal que X(Ώ) = { x 1 , x 2 ,..., x n

 Entonces X(Ώ) se transforma en un espacio de probabilidad si conocemos la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un cierto valor x i , lo que se denota por P(X = x i ) , que se representa como f(x i

Distribuciones de

probabilidad

 La función de distribución de probabilidad anterior cumple dos condiciones capitales: ◦ (^) ≥ 0. Es decir, siempre será mayor o igual que cero. ◦ (^) Es decir, la suma de todos los valores que puede tomar la variable aleatoria siempre será igual a la unidad.

Distribuciones de

probabilidad

 Sea E un experimento y Ώ su respectivo espacio muestral asociado. Se le denomina variable aleatoria a la función (o relación) X que asigna un número real X(ω) a cada elemento ω (letra griega omega, en minúscula) que pertenece a Ώ.

Ejemplo

 Podemos definir una variable aleatoria X al considerar un resultado o evento particular del experimento E : ◦ (^) X = Número de águilas que aparecen al lanzar ambas monedas.



Puede observarse entonces que:

◦X = (aa) = 2, es decir, aparecen dos águilas.

◦X = (as) = 1, es decir, aparece un águila.

◦X = (sa) = 1, es decir, aparece un águila.

◦X = (ss) = 0, es decir, aparecen cero águilas.

 Debe destacarse que por el carácter funcional de X , a cada ω∈Ώ le corresponde uno y sólo un valor X(ω).  Para nuestro caso tenemos que: ◦ (^) Cuando ω= {aa}, entonces X(ω) = X(aa) = 2 ◦ (^) Cuando ω = {as}, entonces X(ω) = X(as) = 1 ◦ (^) Cuando ω = {sa}, entonces X(ω) = X(sa) = 1 ◦ (^) Cuando ω = {ss}, entonces X(ω) = X(ss) = 0

 Que corresponden a todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria X. Así, observamos que: ◦ x 1 = X(aa) = 2 ◦ x 2 = X(as) = 1 ◦ x 3 = X(sa) = 1 ◦ x 4 = X(ss) = 0

 Con lo que la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X puede resumirse en la siguiente tabla:

 Observamos que la distribución de probabilidad cumple cabalmente las dos propiedades enunciadas: ◦ (^) ≥ 0. En nuestro ejemplo, = = = ≥ 0 ◦ (^) En nuestro ejemplo,

 A uno de los resultados se le denomina favorable (o éxito ) y al otro se le denomina desfavorable (o fracaso ).  Sea p la probabilidad de éxito y sea q (que se calcula con la diferencia 1 – p ) la probabilidad de fracaso.

 Si nos interesa el número de éxitos sin importar el orden en el que se presentan, puede calcularse la probabilidad de que ocurran exactamente k éxitos en n pruebas o repeticiones de un experimento, lo que se expresa por b ( k ; n , p ), en donde: ◦ (^) k = Número de éxitos ◦ (^) n = Número de pruebas o repeticiones del experimento ◦ (^) p = Probabilidad de éxito

 En consecuencia:  Y, asimismo, , tomando en cuenta que siempre se conoce el valor de.

 Se lanza una moneda cinco veces. Llamemos a la aparición de águila éxito. De aquí se desprende que:

Ejemplo