Tema 3: Distribuciones de Probabilidad - Estadística Aplicada, Ejercicios de Probabilidad

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TEMA 3:

DISTRIBUC IO NES DE PRO BABILIDAD

Unive rsid a d d e C o sta Ric a

Fa c ulta d d e Ing e nie ría

Esc ue la d e Ing e nie ría C ivil

IC 0606 - ESTADÍSTIC A APLIC ADA

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C O NTENIDO

 Te ma 3: Distrib uc io ne s d e p ro b a b ilid a d

 3.1 Distrib uc io ne s de pro b a b ilida d disc re ta.

 3.2 Distrib uc io ne s d e p ro b a b ilid a d c o ntinua.

 3.3 Te o ría d e d istrib uc io ne s d e p ro b a b ilid a d.

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VARIABLE ALEATO RIA

 Una va ria b le a le a to ria e stá a so c ia d a c o n un núme ro (re sulta d o ) d e una o b se rva c ió n ( e xpe rim e nto a le a to rio ).

 Una va ria b le a le a to ria e s una func ió n q ue a sig na un núme ro re a l a c a d a re sulta d o e n e l e sp a c io mue stra l d e un e xp e rime nto a le a to rio.

 La s va ria b le s a le a to ria s se d e no ta n c o n una le tra m a yúsc ula (p o r e je mp lo X ).

 El va lo r po sib le d e X se d e no ta c o n una le tra m ínusc ula , c o mo x. (^4)

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

 Una va ria b le a le a to ria disc re ta e s una va ria b le a le a to ria

c o n un ra ng o finito o c o n un ra ng o infinito c o nta b le. Sus va lo re s se o b tie ne n c o nta nd o

 Una va ria b le a le a to ria c o ntinua e s una va ria b le

a le a to ria c o n un inte rva lo (finito o infinito ) d e núme ro s re a le s

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DISTRIBUC IO NES DE PRO BABILIDAD DISC RETAS

TEMA 3.

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EJEMPLO 1: PRUEBA DEL FLASH DE LA C ÁMARA

 Tie mp o d e re c a rg a d e l fla sh d e la c á ma ra d e tre s te lé fo no s c e lula re s.  La p ro b a b ilid a d d e q ue la c á ma ra pa se la p rue b a e s 0,8 y la s p rue b a s so n inde pe ndie nte s.  La p ro b a b ilid a d d e q ue la p rime ra y se g und a c á ma ra s p a se n la p rue b a y la te rc e ra fa lle , d e no ta d o c o mo p p f, e s:

P( ppf ) = (0,8)(0,8)(0,2) = 0,

 X e s e l núme ro d e c á ma ra s q ue p a sa ro n la p rue b a.

1 2 3 Pasó Pasó Pasó 0.512 3 Falló Pasó Pasó 0.128 2 Pasó Falló Pasó 0.128 2 Pasó Pasó Falló 0.128 2 Falló Falló Pasó 0.032 1 Falló Pasó Falló 0.032 1 Pasó Falló Falló 0.032 1 Falló Falló Falló 0.008 0

Resultados de la Prueba No. Cámara (^) Probabilidad X

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FUNC IÓ N DE PRO BABILIDAD

Pa ra una va ria b le d isc re ta X c o n p o sib le s va lo re s:

x 1 , x 2 , …, xn

Una func ió n d e p ro b a b ilid a d e s una func ió n q ue :

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EJEMPLO 3: C O NTAMINAC IÓ N DE MUESTRAS

 Núm e ro de m ue stra s q ue tie ne n q ue se r a na liza d a s p a ra d e te c ta r una g ra n p a rtíc ula d e c o nta mina c ió n ( X ).

 La pro b a b ilida d d e q ue la mue stra c o nte ng a una g ra n p a rtíc ula e s 0,

 La s mue stra s so n inde pe ndie nte s.

 De te rmine la d istrib uc ió n d e p ro b a b ilid a d d e X.

So luc ió n:

 p d e no ta una mue stra e n d o nd e una g ra n p a rtíc ula e stá p re se nte y a d e no ta una mue stra e n d o nd e la p a rtíc ula e stá a use nte.

 El e sp a c io mue stra l e s: S = { p , a p , a a p , a a a p , …}

 El ra ng o d e va lo re s d e X e s: x = 1, 2, 3, 4, …

P( X = 1) = 0.01= 0.

P( X = 2) = (0,99)*0,01= 0.

P( X = 3) = (0,99)^2 *0,01= 0.

P( X = 4) = (0,99)^3 *0,01= 0.

Distribución de Probabilidad

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EJEMPLO 4: BAC HES DEFEC TUO SO S

 C o nsid e re la d istrib uc ió n d e p ro b a b ilid a d d e l e je mp lo 2.

 b ) Enc ue ntre la p ro b a b ilid a d d e te ne r a l me no s 1 b a c he d e fe c tuo so.

So luc ió n:

 El e ve nto ( X ≥ 1) es el total de los eventos:

 ( X = 1), ( X = 2), ( X = 3), y ( X = 4).

La probabilidad de que se dé al menos 1 bache defectuoso es de 0,

𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 0 = 1 − 0,6561 = 0,

Baches erróneos Probabilidad P( X =0) = (^) 0. P( X =1) = (^) 0. P( X =2) = (^) 0. P( X =3) = (^) 0. P( X =4) = (^) 0.

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FUNC IÓ N DE DISTRIBUC IÓ N AC UMULADA Y PRO PIEDADES

 La func ió n de distrib uc ió n a c um ula da (C DF) ind ic a la p ro b a b ilid a d d e q ue una va ria b le a le a to ria X te ng a un va lo r ig ua l o me no r a x. Simb ó lic a me nte ,

 Pa ra una va ria b le a le a to ria disc re ta X , F ( x ) sa tisfa c e la s sig uie nte s p ro p ie d a d e s:

i

i x x

F x P X x f x

≤

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MEDIA Y VARIANZA

 La m e dia o va lo r e spe ra do d e d e una va ria b le a le a to ria d isc re ta , d e no ta d a p o r E(X) e s:

• La va ria nza o va ria nc ia d e una va ria b le a le a to ria d isc re ta , d e no ta d a p o r V(X) e s:
• Fó rmula p o r d e finic ió n:
• Fó rmula c o mp uta c io na l:
• La fó rmula c o mp uta c io na l e s má s se nc illa d e c a lc ula r ma nua lme nte. (^16)

DISTRIBUC IÓ N UNIFO RME DISC RETA

 Si X e s una va ria b le a le a to ria d isc re ta unifo rme q ue

to ma lo s va lo re s x 1 , x 2 , …, xn, e ntre a y b.

 Ento nc e s:

𝜎𝜎^2 = 𝑉𝑉 𝑥𝑥 =

DISTRIBUC IÓ N BINO MIAL

 Un e nsa yo d e Be rno ulli e s un e xp e rime nto a le a to rio q ue

tie ne só lo d o s re sulta d o s p o sib le s, d e no ta d o s p o r “ é xito ” y

“ fra c a so ”.

 La p ro b a b ilid a d d e un é xito e n c a d a e nsa yo se d e no ta

c o n p y p e rma ne c e c o nsta nte (0 < 𝑝𝑝 < 1).

 Lo s e nsa yo s so n inde pe ndie nte s.

 El e nsa yo d e Be rno ulli se re a liza n ve c e s y se tie ne una

d istrib uc ió n b ino m ia l.

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DISTRIBUC IO N BINO MIAL

 Si X e s una va ria b le a le a to ria b ino mia l c o n

p a rá me tro s p y n.

 La func ió n d e p ro b a b ilid a d d e X e s:

μ = E ( X ) = np

σ^2 = V ( X ) = np (1- p ) 20

( ) (^1 ) for^ 0,1,...^ (3-7)

n x n x f x p p x n x

  − = (^)   − =  