Distribuciones Continuas: Normal, Ji Cuadrada y T-Student - Prof. hernandez, Apuntes de Probabilidad

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CONTINUA

Luis Rey Díaz Barrón

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

➤ (^) Sea X una variable aleatoria continua. Entonces, una distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad (fdp) de X es una función f ( x ) tal que para dos números cualesquiera a y b con a≤ b , ➤ (^) Es decir, la probabilidad de que X asuma un valor en el intervalo [ a , b ] es el área sobre este intervalo y bajo la gráfica de la función de densidad. La gráfica de f ( x ) a menudo se conoce como curva de densidad.

P (a  X  b) =

Z

b a

f (x)dx

➤ (^) Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo [ A , B ] si la función de densidad de probabilidad de X es

f (x; A, B) =

1 BA

A  x  B

0 de lo contratio

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA

➤ (^) La función de distribución acumulativa F ( x ) de una variable aleatoria continua X se define para todo número x como ➤ (^) Con cada x , F ( x ) es el área bajo la curva de densidad a la izquierda de x. Esto se ilustra en la figura 4.5, donde F ( x ) se incrementa con regularidad a medida que x se incrementa.

F (x) = P (X  x) =

Z

x

f (y)dy

DISTRIBUCIÓN NORMAL

➤ (^) Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal con parámetros μ y 𝜎(o μ y 𝜎 2 ),donde

• ∞<μ<∞ y 𝜎>o, si la función de densidad de probabilidad de X es

f (x; μ, ) =

p

e

(xμ) 2 /(2 2 )

1 < x < 1

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR

➤ (^) La distribución normal con valores de parámetro 0 y 1 se llama distribución normal estándar. Una variable aleatoria que tiene una distribución normal estándar se llama variable aleatoria normal estándar y se denotará por Z. La función de densidad de probabilidad de Z es La función de distribución acumulativa de Z es P ( Z≤z ), la cual será denotada por ( z ).

f (z; 0, 1) =

p

e

z 2 / 2

1 < z < 1

➤ (^) b) P ( Z > 1.25) = 1 - P ( Z ≤ 1.25) = 1 - Φ(1.25), el área bajo la curva z a la derecha de 1.25 (un área de cola superior). En ese caso Φ(1.25) = 0.8944 implica que P ( Z > 1.25)=0.1056. ➤ (^) c) P ( Z ≤- 1.25) = Φ(-1.25), un área de cola inferior. Directamente de la tabla Φ(-1.25)= 0.1056. Por simetría de la curva z , ésta es la misma respuesta del inciso b). ➤ (^) P ( 0.38 ≤ Z ≤ 1.25) es el área bajo la curva normal estándar sobre el intervalo cuyo punto extremo izquierdo es -0.38 y cuyo punto extremo derecho es 1.25. La P ( a ≤ X ≤ b )= F ( b )- F ( a ). Por lo tanto, P ( 0.38 ≤ Z ≤ 1.25)=Φ(1.25)-Φ(-0.38)=0.8944 - 0.3520 = 0.5424.

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA

➤ (^) Sea 𝜈 un entero positivo. Se dice entonces que una variable aleatoria X tiene una distribución ji cuadrada con parámetro si la función de densidad de probabilidad de X es la densidad gama con 𝛼=𝜈/2 y 𝛽=2. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria ji cuadrada es por lo tanto ➤ (^) El parámetro se llama número de grados de libertad (gl) de X. A menudo se utiliza el símbolo 2 en lugar de “ji cuadrada”

f (x; ⌫) =

1 2 ⌫/ 2 (⌫/2)

x

(⌫/2) 1

e

x/ 2

x 0

0 x < 0

➤ (^) Propiedades de distribuciones t. Sea t 𝜈 , la curva de función de densidad para el grado de libertad 𝜈. ➤ (^) Cada curva t 𝜈 tiene forma de campana y con su centro en 0. ➤ (^) Cada curva t 𝜈 está más esparcida que la curva ( z ) normal estándar. ➤ (^) Conforme 𝜈 se incrementa, la dispersión de t 𝜈 correspondiente disminuye. ➤ (^) A medida que 𝜈→∞, la secuencia de curvas t 𝜈 tiende a la curva normal estándar (así que la curva z a menudo se llama curva t con grado de libertad = ∞ ).

➤ (^) Notación ➤ (^) Sea t 𝛼 , 𝜈 = el número sobre el eje de medición con el cual el área bajo la curva t con 𝜈 grados de libertad a la derecha de t 𝛼 , 𝜈,^ es 𝛼 ; t 𝛼 , 𝜈 ,^ se llama valor crítico t. ➤ (^) El uso de está distribución la veremos cuando construyamos los intervalos de confianza y la prueba de hipótesis